2023年新高考数学一轮复习奔驰定理与四心问题含答案

2023年新高考数学一轮复习奔驰定理与四心问题

奔驰定理与四心问题

【考点预测】

一、四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二、奔驰定理——解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知的顶点人（。1,小），佻），。（两，纳），则AABO的重心坐标为G（叁土登土生，"飞十仇

注意：⑴在△力中，若O为重心，则冏+砺+定=。

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=^-AB+^-AC.

oJ

奔驰定理：SA-（51+S1团+Sc•丸=6,则△力08、AAOC、ABOC的面积之比等于A^.A,

奔驰定理证明：如图，令4O<=OX,A2OB=OBX,=5^,即满足++=0

St^AQB=]SMOC--A-,5AB0c=，故S^AOB-S^AOC-S^BOC~442：儿

SMOBI41义2'S^AiOCi人143DgiOCi人243

三、三角形四心与推论：

（1）0是△ABC的重心：S11goe:SA8A：S/\4O8=1：1：1oOA+OB+OC=。.

(2)0是△48。的内心：SABoc-S^COA-S^AOB=。山:。=OA+OB+OC=6.

(3)0是ZkABC的外心：SABoc：SAca4：Sz^408=sin2Asin2B:sin2cosin2AoA+sin2JBOB+sin2coe=0.

(4)0是AABC的垂心：S^BOC'S^COA-S^AOB=tanX:tanjB:tan(7»tanAOA+tanBOB+tan。。。=0.

•【方法技巧与总结】

4DA（^>

（1）内心：三角形的内心在向量,——>,+।——►,所在的直线上.

明阿|

\AB\-PC+\BC\-PC+•丽=6OP为AABC的内心.

（2）外心：|尹司=|两|=\PC\oP为AABC的外心.

（3）垂心：成•丽=而•用=圮・以=2为△ABC的垂心.

（4）重心：户N+厢+户方=6=P为△ABC的重心.

•［题型归纳目录】

题型一:奔驰定理

题型二:重心定理

题型三:内心定理

题型四:外心定理

题型五:垂心定理

【典例例题】

题型一:奔驰定理

例1.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对

应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已

知O是4ABe内的一点，4BOC、XAOC、/\AOB的面积分别为S〃、SB、S0,贝U01+SB•赤+

Sc・0方=6.若O是锐角XABC内的一点，ABAC.AABC.NACB是4ABC的三个内角，且点O满

足见•两=亦五=弧加则（）

A.O为△ABC的垂心

B.AAOB^n-ZACB

C.|OA|:|OB|:|OC|=sinZBAC:sinZABC:sinZACB

D.tanZBAC-OA+tanZABC-OB+ta.nZ.ACB-OC=6

例2.（多选题）（2022•全国•商三专题练习）点。在△4BC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

AB_AC'

A.若动点P满足方=。4+4+仅＞0）,则动点P的轨迹一定经过△ABC的

JABkinb|AC|sinC,

垂心;

ACBA

B.若=0,则点。为△ABC的内心;

C.若（52+加）•荏=（9+文）♦团=0,则点O为△ABC的外心;

ABAC\

D.+（/I>0）,则动点P的轨迹一定经过△ABC

|AB|cosB\AC\cosC)

的重心.

例3.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）奔驰定理：己知。是△ABC内的一点，△BOC,A4OC,AAOB

的面积分别为SA，SB,S0,贝USK51+Sp•加+苑=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美

的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地称其为“奔

驰定理”.若O、P是锐角△4BC内的点，4、B、。是的三个内角，且满足且4+两+用=

^-CA,OA-OB=OB-OC=OC-OA,^\（）

o

A.SAPAB：SAPBC：SAPCA=42.3B.ZA+ZBOC=TT

C.|O>1|：|OB|：|OC|=cosX：cosS：cosCD.tanA-OA+tanB-O5+tanC-OC=(5

例4.（多选题）（2022•淅江•高三专题练习）如图，已知点G为△4BC的重心，点O,E分别为4B,上的

点，且O,G,E三点共线，/=zn戏，AE=nAC,m>0,九>0,记△4DE,AABC,四边形BDEC

的面积分别为S1，S2，S3,则（）

A.—m+—n=3B.-p-=mn

D.-^<4

C，-S3>-—5

o3o

例5.（河南省安闲市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试（五）数学试卷）己知。是△ABC内的一

点，若△BOC,A4OC,A4OB的面积分别记为,WJ-04+S2-OB+S;5-OC=0.这个定理对

应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知。是△力BC的垂心,

且9+2OB+3OC=6,则tanZBAC：tanZABC：tanZACB=(

A.1:2:3B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

例6.（2021•四川稳阳•高一期末）己知P是△ABC内部一点，且9+3屈+5形=6,则△PAB、

△PC4、APBC面积之比为（）

A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1

例7.（2022•安热花湖一中三模（a））平面上有AABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△OAB,

△OBC,△OC4的面积分别记作Sa,S&,则有关系式Sa-OA+Sb-OB+Sc-OC=^.因图形和奔

驰车的log。很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,

c,若满足a•。才+b•而+c•五=6,则。为△48。的（）

A.外心B.内心

C.重心D,垂心

例&（2022•云南•一模（a））在AABC中，。是直线4B上的点.若2前=3+4刀,记A4CB的面积为

§

Si，A4CD的面积为S2,则苍)

A.卷QJLD

BT。3l

例9.（2022•全国•方三专题练习）在平面四边形ABCD中，已知A4BC的面积是XACD的面积的2倍.若

存在正实数使得AC=（^~A）AB+（1-—）AD成立,则2x+y的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

例10.（2022•上海•高三专题练习）如图，P为△48。内任意一点，角4,B,C的对边分别为a,6,c.总有优

美等式S^PBCPA+S^ACPB+S^ABPC=6成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现

有以卜命题：

①若P是△ABC的重心，则有巨牙+丽+同=6；

②若aA4+b两+c司=6成立，则P是△ABC的内心；

5

③若由=^-AB+^-AC,则S^ABPS4ABe=2:5；

OD

④若P是△ABC的外心，4=?=m屈+九㈤，则m+mC[一2,1）.

则正确的命题有.

例11.（2022•江西宜春•南三期末（＜））已知S&ABC=3,点M是&ABC内一点且加+2MB=为7,则

△MBC的面积为（）

A.2B.号C.[D.y

例12.（2022•全国♦南三专题练习）已知点M是△ABC所在平面内一点，若疯=J赤+4加，则△ABM

与"以0的面积之比为（）

A.B.C.2D.春

例13.（2022♦全国•南三专题练习）已知点。为正所在平面上一点，且满足CX+归行+（1+2）定=

。，若△OAC的面积与△OAB的面积比值为1:4,则4的值为（）

A.JB.C.2D.3

【方法技巧与总结】

弄装定理:如图，已知P为4ABC内一点，则有SAPBC•PA+屈+S^AB-PC=O.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似,我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面

向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

题型二:重心定理

例14.（2022•浙江绍兴•模拟（测）已知△一月是圆心为。，半径为R的圆的内接三角形，河是圆O上一

点，G是△ARC的重心.若两_1_0苕,则AM2+BM2+CM2=.

例15.（2022•江苏南京•模拟覆测）在△力中，荏.正=（）,|荏|=3,|廊|=4,O为△ABC的重心，D

在边上，且A。_LBC,则AD-AO.

例16.（2022•全国•方三专题练习）在△ABC中，回=4,西=隹且药=^+m不—+3一，

I|a|smB\b\smAJ

mCR,则点P的轨迹一定通过△力5。的（）

A.重心B.内心C.外心D.垂心

例17.（2022•全国病三专题练习）已知4B,。是平面上不共线的三点，。为坐标原点，动点P满足加=

《［（1—4）04+（1—4）加+（1+2»0己］"6H,则点r的轨迹一定经过（）

A.ZVLBC的内心B.ZVIBC的垂心C.ZVIBC的重心D.AB边的中点

例18.（2022•河北•石家庄二中模拟预测）在AABC中，G为重心，AC=24，BG=2,则而•宓=

例19.（2022•四川达州♦二#（文））在△4BC中，G为重心，AC=2V3,BG=2,则巨？•宓=

例20.（2022•全国•高三专题练习（«））在△ABC中，点G是4ABC的重心，过点G作直线分别交线段AB,

于点N,M（M,N不与A4BC的顶点重合）,则善色的最小值为________________.

'△CMG

例21.（2022•全国•高三专题练习）在△4BC中，AB=1,NABC=60°,而•而=一1,若。是△48。的重

心,则BOAC=.

例22.（2022•全国通三专题练习）如图，O是的重心，AB^a,左=立D是边上一点，且加=

3DC,历=%+”氏则4+〃=.

例23.(2022•直庆•三模)已知。为ZV1BC的重心，记51=4,赤=；，则冠=()

A.-2a—bB.—a+26C.a-2bD.2a,+b

例24.（2022•安微蚌埠•模拟覆测（理））已知点P是△ABC的重心,则下列结论正确的是（）

A.(sin2A)PA+(sin2B)PB+(sin2C)FC=0

B.(sinA)PX+(sinB)丽+(sinC)圮=G

C.(tanA)Pl+(tanB)P^+(tanC)PC=0

D.PA+PB+PC=(5

例25.（2022•辽宁•二#）已知点P为A4BC的重心，43=3,4。=6,4=警,点。是线段BP的中点，则

I而|为（）

A.2B.4C.V3D.4

例26.（2022•全国•高三专题练习）设。是平面上一定点，A、5、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

加=04+4（也+态）＜C[0,+8）,则p的轨迹一定通过△4吕。的（）

A.外心B.内心C,重心D.垂心

例27.（2022•宁夏石嘴山•一模（理））已知G是△ABC重心，若司=2,|而|=何，则/.后守的值为

（）

A.4B.1C.-2D.2

例28.（2022♦黑龙江•哈九中高三开学考试（＜））数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次

指出：△ABC的外心O,重心G,垂心H,依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距

离的一半,该直线被称为欧拉线.若4B=4,4C=2,则下列各式不正确的是（）

A.AG-BC-4^0.B.2GO^-GHC.AO-BC+6=0D.OH^OA+OB+OC

例29.（2022•湖北霍鄂州高中高三期末）在△力BC中，A=与，G为△ABC的重心，若怒•南=怒•就

O

=6,则△ABC外接圆的半径为（）

A.V3B.C.2D.2瓜

O

例30.（2022•全国•高三专题练习（理））在&4BC中，A=告，O为△48。的重心，若•荏=ZS•/=

2,则△ABC外接圆的半径为（）

A.圣B.岑^C.V3D.

OOO

例31.（2022•全国•南三专题练习）已知△ABC的三个内角分别为ABCO为平面内任意一点，动点P满足

ABAC

OP=OA+A"6（0,+8）则动点P的轨迹一定经过△AB。的（）

|而卜inB+|AC|sinC

A.重心B.垂心C.内心D.外心

【方法技巧与总结】

三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还

需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点.

题型三:内心定理

例32.（2022•全国•高三专题练习）若O在ZVIBC所在的平面内，且满足以下条件OA-

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

例33.（2022•全国•赤三专题练习）已知点。是平面上一定点，4,B,。是平面上不共线的三个点，动点P满

足加=52+4+Qe（0,+8））,则点p的轨迹一定通过△48。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

例34.（2022•全国•高三专题练习）已知Rt&ABC中，45=3,AC=4,BC=5,/是△力的内心，P是

MBC内部（不含边界）的动点.若#=AAB+〃冠（九〃CR）,则/I+〃的取值范围是.

例35.（2022•广西柳州•方一期中）设O为△46。的内心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+

nBC（,m,nWR）,贝ljm+九=

例36.（2022♦全国•高三专题练习）△ABC中，a、6、c分别是BC、AC.的长度，若a•示+b•加+c•

定=0,则。是△48。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

例37.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，4B=2AC,动点M满足AM■（BC+AC]=0,则直线AM

一定经过△48。的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

例38.（2022•全国•高三专题练习）已知A4BC的内角力，B,。所对的边分别为a,b,C.A4B。内一点“满

足：a•祝+b•屈+c•破=0,则M一定为△48。的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

例39.（2022•全国鹏三专题练习）已知。是△4BC所在平面上的一点，角4B、C所对的边分别为a,b,c,

若冏=。，力十代翌。股（其中P是△ABC所在平面内任意一点）,则。点是AABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【方法技巧与总结】

角平分做定理:若①砺=5,则乙408平分线上的向量两为娼+春），4由前决定.

tA

-b

Q+和

一

角平分线定现证明：令卷和卷分别为函和帚方向上的单位向量,⑹一_⑹£为一组邻边的

1。1\b\同lal

平行四边形过。点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故在Z.AOB平分线上，但Z.AOB平

囱\b\

分线上的向量加终点的位置由而决定.当/!=1时，四边形OAMB构成以ZAOB=120°的菱形.

题型四:外心定理

例40.（2022•全国鹏三专题练习）在△ABC中，=4,4C=3,力■，点。为△ABC的外心，若彩=

O

AAB+/1AC,入〃GR,贝ij4=.

例41.（2022•全国•方三专题练习）已知。是平面上的一定点，Z,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满

足赤=%远rABAC'

}入e（0,+8）,则动点p的轨迹一定通过的

.|AB|cosB|AC|COSC,

()

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

例42.（2022•全国•模拟fl测）在AABC中，AB=2,AC=2代，BC=4,点O为的外心，则初•或

=，。是三角形ABC外接圆圆心O上一动点，则加•（两+用）的最小值为.

例43.（2022•全国•高三专题练习）设O为AABC的外心，若才5=旗+2AC,则sinZBAC的值为

例44.（2022•全国•高三专题练习）在&4BC中，点O为△ABC的外心，|荏|=6,则荏•

例45.（2022•宁夏六叠山高级中学二模（理））已知△ABC中，43=4。=1,6。=四,点O是4ABe的外

心，则乃也=.

例46.（2022•全国•高三专题练习）已知在△ABC中，AB=1,BC=遍，4。=2,点O为△ABC的外心，若

AO=sAB+tAC,则有序实数对（s,t）为.

例47.（2022•淅江•宁波诺丁汉渐中模拟演浏）在AABC中，点。、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB|=

5,|AC|=3,则方面=.

例48.（2022•河南逐城县栽育体育局我学研究宣二模（文））已知ZVIBC的外心为O,若赤+ZU=2AO,

且=|屈|,则B=.

例49.(2022•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系rroy中，见=(1,3),加=(3,1),OC=xOA+yOB

(其中x€R,y6J?).

(1)若点。在直线4B上，且5d_L荏，求电"的值.

(2)若点C为^OAB的外心，求点。的坐标.

例50.(2022•全国♦高三专题练习)设。为△ABC的外心，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若b=3,c=

5,则。X•宓=()

A.8B.-8C.6D.-6

B

例51.(2022•全国•高三专题练习)己知△ABC的外心为。，2AC=5BC=10,2OC-AB=()

A.11B.10C.20D.21

例52.（2022•全国•模拟覆测（理））在△ABC中，NABC=仔，O为ZVIBC的外心，朗•丽=2,安♦汨=

O

4,则巨？屈=（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

例53.（2022•江•苏•华罗庚中学高三阶段练习）在中，C4=2CB=4,R为AABC的外心，则两•荏

=（）

A.-4B.4C.-6D.6

例54.（2022•江西上饶•二模（理））已知ZVLBC的外心为点O,A/为边上的一点，且丽=2面方2氏4。

=卷,用・疝=1』//1反7的面积的最大值等于（）

O

A.率B.V3C.D.

zo4

例55.（2022•全国•南三专题练习）在4ABC中，角B,。的边长分别为b,c,点O为△力BC的外心，若从+c2

=2b,则宓•前的取值范围是（）

A.[—1-,0）B.（0,2）C.[—D.[—十,2）

例56.（2022•全国•高三专题练习）已知平面向量OA,9满足OA-OB=0,\OB\=2,D为线段。4上一

点，E为△4QB的外心，则赤•丽的值为（）

44

A.—2B.—C.可D.2

例57.（2022•全国•高三专题练习）在中，设而?一月音=•宓，那么动点河的轨迹必通过

△48。的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

【方法技巧与总结】

外心定理:垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等.

(l)AO-AB^^-\AB\2,Ad-AC^^-\AC\2;Bd-BC=^-\BC\2-,

(2)AO-AF^^\AB\2+^-\AC\2,Bd-BE^^-\AB\2+^-\BC\2,Cd-CD+--\AC\2;

(3)AO-BC=^\AC\2-^\AB\1,Bd-AC^-\BC\2-^-\BA\2,CO-AB^^-\BS\2-^-\AC\2.

题型五:垂心定理

例58.(2022•全国•高三专题练习)已知。为4ABC的垂心，且引+2OB+3OC=G,则角4的值为()

例59.（2022•全国•方三专题练习）设。是平面上一定点，力，8,。是平面上不共线的三点，动点P满足而

ABAC

=OA+A.,|AB|cosB+\AC\cosC}'/le[o,+8）,则点p的轨迹经过八4口。的（）

A.内心B.夕卜心C.垂心D.重心

例60.(2022•全国•高三专题练习)若O是△力的垂心，ZX=sinScosCAB+sinCcosBAC=

o

msinBsinCAO，则m=()

A.1B.冬C.瓜D.空

oZ

例61.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中，若胡•丽=而•正=五•改,则下列说法正确的是

（）

A.O是△45c的外心B.O是△ABC的内心

C.O是△力的重心.D.O是△ABC的垂心

22

例62.（2022•全国*三专题练习）已知点。为A4BC所在平面内一点，且+月冷=+C4=OC+

反音，则O一定为△48。的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

例63.（2022•上海•高三专题练习）三角形4BC所在平面内一点P满足"♦丽=丽•玄=9•户江，那么

点尸是三角形4口。的（）

A.重心B.垂心C,外心D.内心

例64.（2022•全国•高三专题练习）点P为工ABC所在平面内的动点，满足而=

/y+F"C（0,+8）,则点P的轨迹通过△力5。的（）

I|71B|COSB|>1。卜050

A.外心B.重心C.垂心D.内心

（222

例65.2022•全国$三专题练习）若H为所在平面内一点，且|月司、|后讨2=|HB|+|CX|=|HC|

+|荏『则点"是AABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

例66.（2022♦金Bl•高三专题练习）在△ABC中，48=AC,tanC=■，旧■为△ABC的垂心，且满足而=

O

mAB+nBC，贝！Jm+n=.

【方法技巧与总结】

•赤=五•赤=左画一定）=0=诟耳=0,即无J_（5X

奔驰定理与四心问题

【考点预测】

一、四心的概念介绍，

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二、弃驰定理一一一解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知△ABC的顶点人(。1,小)，B(g,佻)，。(两，纳)，则AABO的重心坐标为G(叁土登土生，"飞十仇

注意：⑴在△力BC中，若O为重心，则冏+砺+定=。

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=^-AB+^-AC.

oJ

奔驰定理：SA-(51+S1瓦+Sc­丸=6,则△力08、AAOC、ABOC的面积之比等于而沏/li

奔驰定理证明：如图，令0彳，用小豆=(5瓦，方=5己，即满足04+(5百+(5百i=o

1S^oc1S^BQC1

故SdAOB：SAAOC：S^J3OC=

殳4OB|4向'S^AiOCiS^BiOCi

三、三角形四心与推论：

(1)。是4ABe的重心：Sgoc：SACOA.SMOB=1：1：1QOA+OB+OC=6.

(2)0是△48。的内心：S△映c；SACQA：SMOB=Q：b：。=OA+OB+OC=6.

(3)0是ZkABC的外心：SABoc：SAca4：Sz^408=sin2Asin2B:sin2cosin2AoA+sin2JBOB+sin2coe=0.

(4)0是AABC的垂心：S^BOC'S^COA-S^AOB=tanX:tanjB:tan(7»tanAOA+tanBOB+tan。。。=0.

•【方法技巧与总结】

4DA(^>

(1)内心：三角形的内心在向量,——>,+।——►,所在的直线上.

明阿|

\AB\-PC+\BC\-PC+•丽=6OP为AABC的内心.

（2）夕卜0:\PA\=I而I=\PC\oP为AABC的外心.

（3）垂心：成♦丽=闻•用=况•以oP为△ABC的垂心.

（4）重心：户N+厢+户方=6=P为△ABC的重心.

•［题型归纳目录】

题型一:奔驰定理

题型二:重心定理

题型三:内心定理

题型四:外心定理

题型五:垂心定理

【典例例题】

题型一:奔驰定理

例1.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对

应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已

知O是4ABe内的一点，4BOC、XAOC、/\AOB的面积分别为S〃、SB、S0,贝U01+SB•赤+

Sc・0方=6.若O是锐角XABC内的一点，ABAC.AABC.NACB是4ABC的三个内角，且点O满

足见•两=亦五=弧加则（）

A.O为△ABC的垂心

B.AAOB^n-AACB

C.|OA|:|OB|:|OC|=sinZBAC:sinZABC:sinZACB

D.tanZBAC-OA+ta.nZ.ABC-OB+tanZXCB,OC=（5

【答案】43。

【解析】首先可根据•丽=丽•定得出而_1,射，用相同的方式得出

示_1_五、文_1_而，即可得出力正确，然后作辅助线，根据乙乙40=90°—

“30、ZABO=90-ZBAC即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出寿%=菽雀而,即

婚=黑用器，用相同的方式得出褰=晨;光:，即可得出。错误，最后结合解三角形面积公式以

及3项得出S*、SB、Sc,根据“奔驰定理”得出吗军―・3+则件。.砺+吗刍部.历结

I。同|。。|

合。项即可得出。正确.

【详解】

力项：（5/.9.文，即示.两一词.定=0,

OB\OA-OC'）=^,OB-CA=^,OBrCA,

同理可得_L而，OU，说，

故。为△ABC的垂心，A正确；

B:如图，延长49交BC于点。，延长BO交4c于点E,延长8交于点尸,

因为，丽，所以NADB=90\ZBAO=90°-ZABC,

因为9_L可，所以ZBEA=90°,ZABO=90°-ABAC,

则Z.AOB=兀-Z.ABO-Z.BAO=兀一（90°—NBA。）-（90°-NABC）

=ZBAC+AABC=n-ZACB,B正确；

C项：在△AOB中，由正弦定理易知..%c,

smZ.AJD（JsinZ-BAO

因为NBAO=90°-NABC,ZABO=90°-ABAC,

所以24=QB

sin（90。一Z.BAC）sin（90。一/AB。）’

04=OBOA=cos/BAC

即cos/BAC~cosZABC'~OB~cosZABC'

同理可得色旦=cos/'BC

"埋J付OCcos/ACB'

it|04|：|OB|：|OC|=cosZBAC-.cosZABC-.cosZACB,C错误;

。项：/403=兀一/46©,同理可得/40。=n一/43。，ABOC=n-ABAC,

则$八=/•\OB\-\OC\-sin/3OC=}•\OB\-\OC\-sin（兀-ZBAC）

=y•\OB\•\OC\•sin/BAC=4・阿・国|•国.晋等,

RI

.阿函可.阿.国.力舍,

同理可得SBQ.1.|g.q*,Sc=f|

因为a-9+SB+S0•五=。，

,^sinZABC,5gsinZACB,^

所以将&、Sp、SC代入，可得包jg丝++=a

|OA|\OB\|。。|

因为赤|：|五|=cos^BAC-.cosAABC-.cos^ACB,

所以sing^O：sinf吗今汨=tanNBACHanzSABCHan/ACB,

|\O明A\\OB\\OC\

故tan/RAC・OA+ta.nZ.ABC-OB+tanZACB-OC=0成立，。正确，

故选:ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、解三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的相关运算，考查向

量垂直的相关性质，考查学生对“奔驰定理”的理解与应用，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，是难

题.

例2.（多选题）（2022•全国•南三专题练习）点。在△4BC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

产一+_AC'

A.若动点P满足罚=01+1仅>0）,则动点P的轨迹一定经过△ABC的

|4C|sinC,

垂心;

B.若=0,则点。为&ABC的内心;

C.若（51+砺）•而=（9+五）•圮=0,则点O为△4BC的外心;

D.若动点P满足加=肉+4（^AC\

+\AC\cosC)（4>0）,则动点P的轨迹一定经过XABC

\AB\cosB

的重心.

【答案】BC

【解析】

A由正弦定理知MB|sinB=|AC|sinC=Tn,且OP—OA=/P,代入已知等式得AB+AC=mAP,即知P

的轨迹一定经过的哪种心；B、。分别假设O为△ABC的内心、外心，利用

向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即

可；。由o户-<54=存，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求

万♦有H的值，即知p的轨迹一定经过的哪种心；

【详解】

A:由正弦定理知|XB|sinB=\AC\smC=m,而OP—OA—AP,所以43

+前=mAP,即动点P的轨迹一定经过4ABC的重心，故错误.

■B：若。为△■ABC的内心，如下图示：“力——|J4£J|,同理_，旦~

\AC\\AB\

一时瞽"砒需=一两

OBtBCOB,BA।।八,

―-^=r----------——=\BD\-\BF\=0,故t正确&；

C:若O为△ABC的外心，D,E分别为AB,BC的中点，则OA+OB^2OD,而

OD-AB=0,同理方+5运=2砺，又就•郎=0,故（04+0面•通=

（加+正）•圮=0,正确；

。:由丽一51=而,故存.BC=A(^'BC+")=

\\AB\cosB\AC\cosC)

A(-\BC\+\BC\)=0,即而JL方方，动点P的轨迹一定经过△力BC的垂心，错

误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断

向量过三角形的何种心，或假设。为△ABC的内心、外心，再应用几何图形中

相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.

例3.(多选题)(2022•全国•高三寿题练习)奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,AAOB

的面积分别为SA，SB，Sc，则S「两+S?•加+So•正=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美

的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbe.)的logo很相似，故形象地称其为“奔

驰定理”.若O、P是锐角△ABC内的点，A、B、C是△ABC的三个