全等三角形经典习题汇集学而思

全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例1】如图，AC〃DE,BC〃EF,AC=DE.求证：AF=BD.E【补充】如图所示：AB//CD,AB=CD.求证：AD//BC.【例2】已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,OA=OD.ZB=ZC.求证:【补充】已知：如图，AD=BC,AC=BD，求证：ZC=ZD.【补充】如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F.求证：FC=AD.【例3】如图，AB,CD相交于点O,OA=OB,E、F为CD上两点，AE/BF,CE=DF.求证:AC//BD.【补充】已知，如图，AB=AC,CE1AB,BF1AC,求证：BF=CE.【例4】如图，ZDCE=90。，CD=CE,AD1AC,BE1AC,垂足分别为A,B，试说明AD+AB=BE【例10］如图所示，已知AB=DC,AE=DF,CE=BF，证明：AF=DE.【例11】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BE=CF.求证:【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE1EF,GE=EF.求证:BG+CF=BC.【例12］在凸五边形中，/B=ZE,ZC=ZD,BC=DE,M为CD中点.求证：AM1CD.【补充】如图所示：AF=CD,BC=EF,AB=DE,ZA=ZD.求证：BC//EF.【例13](1)如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断^ABC与^AEG面积之间的关系，并说明理由.(2)园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是。平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米?条小路一共占地多少平方米?【例14］如图，^ABC中，AB=BC,ZABC=90。,D是AC上一点，且CD=CB=AB,DE1AC交AB于E点.求证：AD=DE=EB.【例15】AABC中，/B=90。,M为AB上一点，使得AM=BC,N为BC上一点，使得CN=BM，连AN、CM交于P点.试求ZAPM的度数，并写出你的推理证明的过程.【例16]如图，I是4ABC的内心，且CA+AI=BC.若ZBAC=80。，求/ABC和ZAIB的大小.【例17】已知：BD、CE是AABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB,求证：⑴AP=AQ；(2)AP1AQ.【例18]⑴如左下图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点.求证：BF1FD.⑵如右下图，在AABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DM1EF于M.求证：FM=EM.18.补充：如图，已知ZABD=ZACD=60。,等腰三角形.且ZADB=90。—1ZBDC.求证：AABC是

2【例19］如图，^ABC为边长是1的等边三角形，ABDC为顶角(ZBDC)是120。的等腰三角形，以D为顶点作一个60。角，角的两边分别交AB于M,AC于N，连接MN，形成一个AAMN.求AAMN的周长.【习题1］已知：如图，AB〃DE,AC〃DF,BE=CF.求证：AB=DE.【习题2】已知：△DEF/△乂雁，且EF=NP,/F=ZP,/D=48°,ZE=52°,MN=12cm,求：ZP的度数及DE的长.【习题3】如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，CE1EF交AB于F点，若DE=2，矩形周长为16,且CE=EF，求AE的长.【备选1】如图所示：AB=AC【备选1】如图所示：AB=AC，ABD【习题4】在四边形ABCD中，AD//BC，ZA的平分线AE交DC于E.求证：当BE是/B的角平分线时，有AD+BC=AB.AD=AE，CD、BE相交于点O.求证：OA平分/DAE.【备选2】如图所示，在△ABC中，AD1BC于点D,ZB=2ZC.求证：AB+BD=CD.【备选3】如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点,DE±DF,交AB于点E,连结EG、EF..(1)求证：BG=CF.(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】在^第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】在^ABC中，AB=5,AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【补充】已知：AABC中，AD是中线.求证：AD<2(AB+AC).【例2】已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC,点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F.求证：ABCE经AFDE.【例3】如图，在AABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线上的点，CF//BE.求证:ABDE0ACDF.【例4】如图，AABC中，AB<AC,AD【例4】如图，AABC中，AB<AC,AD是中线.求证:【例5】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，长BE交AC于F,AF=EF，求证：AC=BE.ZDAC<ZDAB.ADBE是AD上一点，延【例6】AC=A'C,【例6】AC=A'C,AD=AfD',AABC0AA'BC.求证如图所示，在AABC和AA'BC中，AD、A'D'分别是BC、BC上的中线，且AB=AB，,【例7【例7】如图，在AABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF//AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为AABC的角平分线.【例8】已知AD为AABC的中线，ZADB,ZADC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:BE+CF>EF.【例8】【例9】在RtAABC中，ZA=90。，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED±FD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】已知^ABC,ZB=ZC,D,E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE,连接DE交底BC于G,求证GD=GE.

【例11］如图所示，在AABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求AB D C证AD2=1(AB2+AC2).(勾股定理的内容，选做)4AB D C【例10］在RtAABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足ZDFE=90。.若AD=3,BE=4，则线段DE的长度为

【习题1】如图，在等腰AABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作AE±DE,AF±DF，且AE=AF.求证：ZEDB=ZFDC.【习题3】如右下图，在AABC中，若ZB=2ZC，AD1BC，E为BC边的中点.求证：AB=2DE.BDE C【备选1】如图,求证：已知AB=DC,AD=BC,【习题3】如右下图，在AABC中，若ZB=2ZC，AD1BC，E为BC边的中点.求证：AB=2DE.BDE C【备选1】如图,求证：已知AB=DC,AD=BC,O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E,F.NE=ZF【备选2】如图,

与ACAABC中，AB=AC,ZBAC=90。,D是BC中点，ED1FD,ED与AB交于E,FD交于F.求证：BE=AF,AE=CF.DC【例1【例1】第三讲全等三角形与角平分线问题在AABC中，D为BC边上的点，已知ZBAD=ZCAD,BD=CD，求证：AB=AC.【例2【例2】已知AABC中，AB=AC,BE、CD分别是ZABC及ZACB平分线.求证：CD=BE.【例3【例3】如图，在AABC中，ZB=60。,AD、CE分别平分ZBAC、ZBCA,且AD与CE的交点为F.求证：FE=FD.【例4【例4】如图，已知AABC的周长是21,OB,OC分别平分ZABC和ZACB,OD1BC于D，且OD=3,求AABC的面积.【补充】如图所示：AB=AC,AD=AE,CD、BE相交于点O.求证：OA平分ZDAE.【例5】已知AABC中，NA=60,BD、CE分别平分乙ABC和乙ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，。并加以证明.【例6】如图，已知E是AC上的一点，又Z1=Z2，Z3=Z4.求证：ED=EB.【例7】如图所示，OP【例7】如图所示，OP是ZAOC和ZBOD的平分线，OA=OC,OB=OD求证：【例8】如图所示，已知AABC中，AD平分ZBAC,E、F分别在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求证：EF〃ABAED

ED【例10］如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD，过C作CE±AB于E，并且AE=|(AB+AD)，则ZABC+ZADC等于多少?【补充】长方形ABCD中，AB=4,BC=7,ZBAD的角平分线交BC于点E,EF±ED交AB于F,则【补充】在AABC中，AB>AC,AD是ZBAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB-AC>PB-PC.【例11］如图，在AABC中，ZB=2ZC,ZBAC的平分线AD交BC与D.求证：AB+BD=AC.【例12］如图，AABC中，AB=AC,^A=108。,BD平分ZABC交AC于D点.求证：BC=AC+CD.C【巩固】已知等腰AABC,NA=100。,ZABC的平分线交AC于D，则BD+AD=BC.A【例13］如图所示，在AABC中，AD平分ZBAC,AD=AB,CM1AD于M，求证AB+AC=2AM.BACMBACM【例14］如图，AABC中，AB=AC,BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD1BD于D,AE1CE于E.求证：AD=AE.【例15］如图，ZA+ZD=180。,BE平分ZABC,CE平分ZBCD，点E在AD上.探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.探讨线段BE与CE之间的位置关系.需薪遂庭作业2【习题2】如图，在AABC中，AB+BD=AC,D一B CZBAC的平分线AD交BC与D.求证：ZB=2ZC.【习题3】AD是AABC的角平分线，BE±AD交AD的延长线于E,AAxB D CeEF//AC交AB于F.求证：AF=FB.【习题4】如图所示,AD平行于BC,ZDAE=ZEAB,ZABE=ZEBC,AB EAD=4,BC=2,那么AB= .【习题5】AABC中，D为BC中点，DE1BC交ZBAC的平分线于点E,EF±AB于FEG1AC于G.求证：BF=CG.【备选1】在AABC【备选1】在AABC中，AD平分ZBAC,AB+BD=AC.求ZB:ZC的值.【备选2】如图，已知在AABC中，ZABC=3ZC，Z1=Z2，BE1AE.求证：AC—AB=2BE.【备选3】如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC,ZA的平分线AE交DC于E，求证：当BE是/B的平分线时，有AD+BC=AB.A BA B第四讲全等三角形与旋转问题【例1】已知：如图，点C为线段AB上一点，AACM、ACBN是等边三角形.(1)求证：AN=BM.(2)求证:CD=CE(3)求证：CF(2)求证:CD=CE(3)求证：CF平分NMCNC(4)求证：DE〃AB【例2】如图四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE【例2】如图四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.【例3】如图M等边三角形AABC与等边ADEC共顶点于C点.求证：AE=BD.【例4】如图，D是等边AABC内的一点，且BD=AD,BP=AB,乙DBP=ZDBC，问/BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.BCBC【例5】如图，等腰直角三角形ABC中，ZB=90。，AB=a,O为AC中点，EO1OF.求证：BE+BF为定值.【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、【例6】（2004河北）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA1AF.求证：DE=BF.【补充】如图所示，在四边形ABCD中，ZADC=ZABC=90。,AD=CD,DP±AB于P，若四边形ABCD的面积是16,求DP的长.【例7】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且NEAF=45。，AH±EF,H为垂足，求证：AH=AB.【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动，AE平分ZBAF交BC边于点E.⑴求证：AF=DF+BE.⑵设DF=%(0W%W1),AADF与AABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时％的值及S.若不存在，请说明理由.【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，/B=ND=90。,E、F分别是边BC、CD上的点，且NEAF=1NBAD.求证：EF=BE+FD;2

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，/B+/D=180。,E、F分别是边BC、CD上的点，且/EAF=1/BAD,（1）中的结论是否仍然成立？不用证明.2【习题1］如图，已知AABC和AADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与AC+CD相等的理由.【习题2］（湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF±DE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.【习题3】在梯形ABCD中，AB//CD,乙A=90。,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.【习题4】已知：如图，点C为线段AB上一点，AACM、ACBN是等边三角形.CG、CH分别是AACN、AMCB的高.求证：CG=CH.月测备选月测备选【备选1】在等腰直角AABC中，ZACB=90,AC=BC,M是AB的中点，点P从B出发向C运动,MQ1MP交AC于点Q，试说明AMPQ的形状和面积将如何变化.CPBCPB【备选2】如图，正方形ABCD中，/FAD=ZFAE.求证：BE+DF=AE.ADAD【备选3】等边AABD和等边ACBD的边长均为1,E是BE±AD上异于A、D的任意一点，F是CD上一点，满足AE+CF=1，当E、F移动时，试判断ABEF的形状.第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】在AABC第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】在AABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA.求ZA.【补充】在AABC中，AB=AC,BC=BD,AD=ED=EB.求ZA.C【例2【例2】AABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若ZBAC+ZDAE=150。，求ZBAC.【例3】如图，点O是等边AO=AD内一点，ZAOB=110,ZBOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转.，.190°-a=a-60°得4ADC，连接OD，则△COD是等边三角形；当a为多少度时，△【例3】【例4】如图，在AABC中，ZB=ZC，D在BC上，ZBAD=50，在AC上取一点E，使得ZADE=ZAED，求ZEDC的度数. °【例5】如图，AABC为等边三角形,延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：ACDE为等腰三角形.【例6】如图，在AABC中，/B,NC为锐角，M,N,D分别为边AB、AC、BC上的点，满足AM=AN,BD=DC，且ZBDM=ZCDN.求证：AB=AC.板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存 ・A在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明 p 理由.【例8】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？•A【例9】如图，ZAOB=45。，角内有点P，在角的两边有两点Q、R（均不同于O点），求作Q、R，使得APQR的周长的最小.【补充】如图，M、N为AABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使APMN的周长最短.

【例10】已知如图，点M在锐角/AOB的内部，在OB边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小.【补充】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得IAM-BMI最小.O*B【补充】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M,使得IAM-BMI最大.O*BN是AC上的一动点，求【例11］如图，正方形ABCD中，AB=8,M是DC上的一点，且DM=2,DN+MNN是AC上的一动点，求【补充】例题中的条件不变，求Dn-mn|的最小值与最大值.【补充】如图，已知正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值是 家庭作业KJtX-"t【习题1】（2007双柏中考）等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为.【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为（）A.17cm B.5cm C.17cm或5cm D.无法确定【习题3】已知等腰三角形的周长为20,腰长为％，求％的取值范围.【习题4】（2004天津）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）TOC\o"1-5"\h\z（A） （B） （C） （D）【习题5】判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴.$中丽舍£70⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼加圣月测备选【备选1】AABC的一个内角的大小是400，且ZA=ZB，那么NC的外角的大小是（ ）A.140。B.80。或100。 C.100。或140。 D.80。或