2023学年完整公开课版《比例》共15讲

第四单元比例第3节解比例（1）一、内容点拨解比例的过程就是按照题目条件设出未知项，列好比例式，然后运用比例的基本性质解方程，求出未知项。。二、课本解疑例1把下面的等式改写成比例。（1）3×40=8×15（2）×=×2思路分析观察等式，联想比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。3,40同为外项，8,15同为内项或3,40同为内项，8,15同为外项。解（1）3:8=15:40(或3:15=8:40，40:8=15:3，15:40=3:8)（2）:=2:（或:2=:，:=2:，2:=:）温馨回顾根据比例的基本性质两内项之积等于两外项之积，可以直接把等式两边的因数一边都为内项，另一边都为外项。三、课后延伸例2把下面的等式改写成比例（写出所有可能）。（1）51×7=17×21（2）×9=×51思路分析怎样才能写出所有可能？尝试写出尽可能多的可能，比较发现它们之间的区别和联系。解（1）51:17=21:77:17=21:5151:21=17:721:7=51:17（2）:=9:5151:=9::9=:519:51=：温馨回顾根据比例的基本性质，先把等式改写成一个正确的比例，再外项互换，内项互换，左右项互换，从而得到四个不同的比例。四、大显身手把下面的等式改写成比例：5×28=4×3515×=5×（写出所有可能）答案：:4=35:28（或28:4=35:5,5:35=4:28,35:28=5:4）:5=::5=:1010:=5::=10:5配音频：第1题根据比例的基本性质两内项之积等于两外项之积，确定两内项为4,35，两外项为5,28。因此，答案是:4=35:28。同理，答案是28:4=35:5,5:35=4:28,35:28=5:4亦可。第2题根据比例的基本性质，先把等式改写成一个正确的比例10:5=:，再外项互换:5=:10，内项互换10:=5:，左右项互换:=10:5，从而得到四个不同的比例。第2节解比例（2）一、内容概述根据比例的基本性质，如果已知比例中的任三项，就可以求出这个比例的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。如果已知比例中的一内项和一外项，就可以求出这个比例另外一个内项和外项的比。二、教材选讲例1李老师买了6个足球和8个篮球，买两种球所花钱数相等。足球与篮球的单价之比是多少？足球的单价是40元，篮球的单价是多少？你能提出其他数学问题并解答吗？思路分析1.因为，篮球总价=篮球单价×篮球个数，足球总价=足球单价×足球个数，所以，篮球单价×篮球个数=足球单价×足球个数。2.篮球单价=足球单价×足球个数÷篮球个数。解（1）篮球单价×篮球个数=足球单价×足球个数足球单价：篮球单价=8:6=4:3（2）篮球单价=足球单价×足球个数÷篮球个数40×6÷8=30（元）（3）（问题不唯一）足球的单价比篮球的单价贵多少元？40-30=10（元）温馨回顾两种球所花钱数相等，即可构建乘法等式，再根据比例的基本性质求解。解题的关键是抓住题目中的不变量。三、课后延伸例2甲数的2倍与乙数的3倍相等，已知两数的和是170，求甲、乙两数分别是多少？思路分析甲数的2倍与乙数的3倍相等，可以构建乘法等式：2×甲数=3×乙数。又有两数和是170，甲数+乙数=170，两式整合，方程求解。解解：设甲数为x，乙数为170-x。2×x=3×（170-x）x=102乙数：170-102=68温馨回顾找准题目中的不变量，构建乘法等式。四、拓宽视野孙悟空巧解比例话说唐僧和三个徒弟为普渡众生去西天取经，要经历九九八十一难，困难重重，关卡层层，是常人很难办到的。师徒四人走了一天，觉得累了，便休息一下。八戒把钉耙一丢，倒地便睡，唐僧与沙僧打坐，悟空舞动金箍棒。只见悟空一声“变”，金箍棒由原来的“绣花针”变成了高耸入云的“大柱子”。悟空叫道：“八戒，你猜我的金箍棒现在有多长？”八戒懒懒地说：“能有多长，不过10米罢了。”悟空说：“俺这金箍棒可神了，5秒能变10米。”“那25秒能变15米”的八戒随口说道。沙僧说：“这肯定算错了，5秒比10米小，25秒比15米大……”八戒说：“扯淡，这个理由一点也不充分。”悟空说：“那我就说说理由，让你们心服口服。”八戒说：“愿闻其详。”悟空说：“用解比例的方法，设25秒能变x米，比例是5：10＝25：x，5x＝250，x＝50，答案应该是50米啊！”“这……这……”八戒哑口无言，“还有一种方法”，沙僧补充道：“5秒能变10米，10÷5＝2米，意思是1秒能变2米长，25秒就能变25×2＝50米长。”八戒如醍醐灌顶，连连称是。唐僧在一旁听着，说道：“你们都很聪明，用不同的方法解开了这道题。凡事要深思熟虑，八戒，你以后可不能瞎掰了，要用理由说明问题。”“一定，一定，徒儿谨记师父教诲，今后要学好数学……”哈哈哈，师徒四人伴着笑声又启程了。五、大显身手1.甲车行了10小时，乙车行了15小时，两车所行路程相等。（1）甲车和乙车的速度之比是多少？（2）若甲车的速度为45km/h，乙车的速度是多少？、B两种商品的价格之比为7:4,若它们的价格分别上涨70元，价格之比变为8:5.这两种商品原来的价格各是多少元？答案：:2，30km/h元,280元。配音频：第1题：两车路程相等，则有甲车速度×甲车时间=乙车速度×乙车时间，求解出甲车和乙车的速度之比为3:2。代入甲车速度45，求得乙车速度为30千米每小时。第2题：根据A、B两种商品的价格之比为7:4，解设A的价格为7x元，B的价格为4x元。由题列得方程：（7x+70）:(4x+70)=8:5.解得x=70，A的价格为490元，B的价格为280元。第3节正比例和反比例（1）内容概述正比例的图像成一条直线，而反比例的图像成一条光滑的曲线。根据两个相关的量构成的图像，判断两个量是否成正比例关系或反比例关系。教材选讲例1下图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？长颈鹿呢？（2）估计一下，两种动物18分钟各跑多少千米？（3）从图像上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑得快？思路分析1.根据图像，将两个相关的量每个对应点上的数据列举出来。2.根据列举的数据去计算，看两个量是乘积相等还是比值相等，从而判断出是否成正比例关系。3.估计斑马奔跑18分钟的路程，肯定介于15分钟奔跑的18千米和20分钟奔跑的24千米之间；估计长颈鹿奔跑18分钟的路程，肯定介于15分钟奔跑的12千米和20分钟奔跑的16千米之间解（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间情况表奔跑路程（千米）6121824奔跑时间（分）5101520不变量6÷5=12÷10=18÷15=24÷20=长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间情况表奔跑路程（千米）481216奔跑时间（分）5101520不变量4÷5=8÷10=12÷15=16÷20=两种动物都是奔跑路程与奔跑时间的比值不变，也就是速度不变，所以奔跑路程与奔跑时间成正比例关系。（2）斑马18分钟奔跑的路程大于18千米小于24千米，大约21千米，长颈鹿18分钟奔跑的路程大于12千米小于16千米，大约14千米。（3）从图像上看，斑马跑得快。温馨回顾当两个相关联的量的图像成一条直线时，这两个相关联的量成正比例关系，根据图像可以找出某一个点大约的数据。三、课后延伸例2 下面方格纸上的“点”表示轮船的航行速度。（1)时间和路程成什么比例关系,为什么,（2)不计算，看图回答:这艘轮船小时行驶了多少千米,8小时能行驶多少千米？思路分析1.根据图像上对应的点上的数据完成表格，然后计算，看时间与路程这两个量是比值相等还是成绩相等，再判断成什么比例关系。2.判断小时行驶的路程是在2小时和3小时行驶的路程之间，8小时行驶的路程可以接着规律描点连线，就可发现答案。解时间（时）0123456路程（千米）020406080100120（1）20÷1=40÷2=60÷3=80÷4=100÷5=120÷6=20（千米），比值一定，所以时间和路程成正比例关系。（2）小时行的路程大于40千米小于60千米，也就是50千米，8小时行的路程在6小时的120千米再往后描两个点，即160千米。温馨回顾当两个相关联的量的图像成一条直线时，这两个相关联的量成正比例关系，不需要计算根据图像可以找出某一个点大约的数据。配音频因为20÷1=40÷2=60÷3=80÷4=100÷5=120÷6=20（千米），比值一定，所以时间和路程成正比例关系。小时行驶的路程是在2小时和3小时行驶的路程之间，这个路程大于40千米小于60千米，也就是50千米；8小时行驶的路程可以接着6小时的120千米再往后描两个点，即160千米。四、大显身手一辆汽车准备从甲地开往乙地。根据下表提供的信息，把表格填写完整（1)行驶的时间和速度成什么比例关系,说明理由。（2)如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时，根据上面表格估计这辆汽车的速度大约是多少,（3)试着在方格纸上画图表示表中的数据。答案：时间（时）81016203240速度（千米/时）1008050402520（1）反比例，他们的乘积一定，也就是路程一定。（2）大约45千米/时配音频（1）行驶的时间和速度的乘积总是800，也就是路程一定，所以时间和速度成反比例（2）如果从甲地到乙地一共用了18小时，因为总路程不变，所以速度会在50千米/时和40千米/时之间，也就是45千米/时。第4节正比例和反比例（2）内容概述两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示:=k（一定）；如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系,用字母表示：xy=k（一定）。能把确定不变的量作为结果，看另外两个相关联的量能够列出乘法还是除法算式，从而判断出是成正比例还是反比例。教材选讲例1、有x、y、z三个相关联的量，并有xy=z.当z一定时，x与y成（）比例关系。当x一定时，z与y成（）比例关系。当y一定时，z与x成（）比例关系。思路分析1.已知三种相关联的量x、y、z都是用字母表示的，我们知道字母可以代替任何数，因此三个量中一定要有一个是固定不变的。2.已知x乘y的积为z,由乘法和除法的关系可以推出两个除法算式：=y=x.3.把三个相关联的量中一定的那个量作为结果，看另外两个量怎样得到一定的那个量，如果是列的乘法算式，就成反比例关系，如果是列的除法算式就成正比例关系。解（1）当z一定时，xy=z（一定），x与y成（反）比例关系。（2）当x一定时，=x（一定），z与y成（正）比例关系。（3）当y一定时，=y（一定），z与x成（正）比例关系。温馨回顾当确定一个量固定不变后，必须确定另外两个量是用乘法还是除法得到这个固定不变的量，如果是用乘法就成反比例，如果是用除法就成正比例。课后延伸例2已知9a=6b,a与b成（）比例思路分析1.根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积，把等式反过来改写成比例。和6是固定不变的，我们把它作为结果，看a与b可以怎样列式得到这个固定不变的值。解根据9a=6b，写成比例a:b=6:9,再写成分数的形式，=，也就是a÷b=,a与b成（正）比例。温馨回顾已知条件中a、b分别与一个常数相乘，那么a与b必然只能相除得到那个常数，所以a与b必定成正比例。配音频：因为9a=6b，根据比例的基本性质，可以将等式写成比例a:b=6:9,再写成分数的形式，=，也就是a÷b=,是一个固定不变的常数，所以a与b成（正）比例。大显身手1.已知8a=b，a与b成（）比例。2.已知a×=1,a与b成（）比例答案：1.正比例2.反比例配音频：第1题:a与8相乘等于b与相乘，所以a与b必定是相除才可得到题中的常数，因此成正比例。第2题:已知a与b相乘，所以a与b必定是相乘才可得到题中的常数，因此成反比例。第5节正比例和反比例（3）一、内容概述长方形的面积一定，它的长与宽成什么比例关系？他们的关系怎样用图像表示出来。二、教材选讲例1一个长方形的面积是36㎡，用x和y表示它的长和宽。y与x成什么比例关系？如果把它们的关系用图像表示出来，图像是一条直线吗？思路分析1.长方形的面积公式是：长×宽=面积2.长方形的面积一定，是36㎡，长x与宽y相乘可以得到363.将面积是36㎡的长方形的长与宽列举一些具体的数据，再绘制成一个图像去观察。解因为x×y=36,36是常数，固定不变，所以x与y成反比例关系。长（m）2346宽（m）181296面积（㎡）36363636根据以上列举的数据，绘制出图像再观察得到：图像不是一条直线，而是一条曲线。温馨回顾长方形的面积一定，长与宽成反比例关系，长与宽的图像是一条曲线。课后延伸例2一个三角形的面积的面积是18平方米，用a和h表示它的底和高，a和h成什么比例关系？思路分析1.三角形的面积公式是：底×高÷2=面积2.三角形的面积一定，是18平方米，2是一个固定不变的常数，我们可以根据等式的基本性质将它移到等式的右边变成乘2，这样的话就得到了a与h相乘等于36.解a×h÷2=18a×h=18×2=36,a与h的乘积一定，所以a与h成反比例关系。温馨回顾三角形的面积一定，它的底与高成反比例关系配音频：因为三角形的面积公式是：底×高÷2=面积，也就是a×h÷2=18，根据等式的基本性质可以将左边的除以2移到等式的右边变成乘2，也就是a×h=18×2=36,a与h的乘积一定，所以a与h成反比例关系。大显身手1.正方形的边长和周长成不成比例？如果成是什么比例关系？2.圆的面积和半径成不成比例？如果成是什么比例关系？答案成正比例关系不成比例配音频第1题：正方形的四条边相等，它的边长×4=周长，根据乘法算式可以得到周长÷边长=4，所以成正比例关系第2题：圆的面积s等于πr第6节比例尺(1)一、内容概述一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。根据比例尺可以用解比例的方法求出实际距离或图上距离。二、教材选讲例1学校要建一个长80m、宽60m的长方形操场。请在下图中画出操场的平面图（比例尺1:2000）。思路分析根据“图上距离：实际距离=比例尺”，推出“图上距离=实际距离×比例尺”。解80m=8000cm60m=6000cm长：8000×=4cm宽：6000×=3cm020m温馨回顾根据“”，用解比例的方法求出图上距离。注意单位之间的换算。三、课后延伸例2用1:200的比例尺，画出教室的平面图。思路分析测量教室的长和宽，再根据比例尺算得图上距离。解（以教室长9m,宽6m为例）9m=900cm6m=600cm长：900×=宽：600×=3cm02m温馨回顾借助卷尺测量出教室的长和宽，根据求解。四、拓宽视野淘淘爱地图淘淘平时很喜欢看地图，他从中学了很多有用的知识。比如非洲，亚洲的具体位置等等。但地图上有这样一个比例1:2000000，这表示什么呢？淘淘跑去问爸爸。爸爸说：“这是比例尺，你想，地球那么大，怎么可能画在一张纸上呢？于是，人们就想了一个办法，按比例缩小。就像地图上的1:2000000表示的是，地图上的1厘米是实际距离的2000000厘米。”“哦！原来是这样！”淘淘恍然大悟。淘淘在书中看到这样一段话：火山喷发时，岩浆能冲上3000米的高空。但是淘淘拿出直尺量了量书上的火山喷发图，只有2厘米。“也就是说，这幅图的比例尺是2:3000=1:1500。”淘淘自言自语。同学们，淘淘算出的比例尺对吗？五、大显身手1.小东家到学校的实际距离是1200米，图上距离是3厘米。那么，图上距离1厘米表示的实际距离是（）米，这幅图的比例尺是（）。2.用1:200的比例尺，画出你家房子的平面图。答案：400，1:40000图略。配音频：第1题：1200÷3=400米，因为400米=40000厘米，所以比例尺是1:40000。第2题：测量出房子长和宽，根据图上距离：实际距离=1:200求出平面图的长和宽。）第7节比例尺（2)内容概述一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，所以比例尺=图上距离÷实际距离。例如：一幅中国地图的比例尺是1：100000000，这是数值比例尺，也可以写成1100000000又如，一副北京地图的比例尺是这样表示050km，这是线段比例尺，表示图上1厘米相当于地面上50千米的实际距离。二、教材选讲例1团结路的实际长度是18000m。（1）量一量团结路在图上的长度，求出这幅图的比例尺。（2）将这幅图的比例尺用线段比例尺表示出来。思路分析1.利用直尺，测量出团结路在图上的线段长度。2.保留测量整数，进而根据图上距离÷实际距离=比例尺的计算公式，求出此图的比例尺，注意单位的转化。3.将数值比例尺用线段比例尺表示出来，注意线段比例尺只需要画长度为1厘米的线段图，并在线段图上面标记出图上1厘米相当于实际多少千米。解（1）用直尺测量出团结路长度为6厘米。首先进行单位转化：18000m=1800000cm,根据图上距离÷实际距离=比例尺的计算公式，比例尺=6÷1800000=1300000（2）130000003km。温馨回顾求比例尺时一定要注意单位是否统一，否则要进行单位转化；将数值比例尺转换成线段比例尺也要注意单位转化，将厘米转化成千米。三、课后延伸例2一辆汽车从A城开往B城，每小时行驶70千米，4小时能到达B城吗？（先测量，再计算）思路分析1.利用直尺，测量出A城和B城的线段长度。2.观察线段比例尺，得出这幅图比例尺的大小。3.根据实际距离=图上距离÷比例尺，求出A城和B城的实际距离。4.根据速度×时间=距离，比较两者距离的大小，得出结论。解1.经测量得出图上距离是6cm,观察得出比例尺为1:5000000,根据计算公式得出A城和B城的实际距离为6÷15000000×4=280km,280km<300km,所以4小时不能到达B城。温馨回顾一般我们根据题目需要进行单位的换算，使解题更加简便，所以这题我们统一单位为千米，根据速度×时间=距离，我们可以很快比较出距离大小，从而得出答案。配音频1.线段比例尺如果有多个小线段，我们只需观察第一个小线段，就可以知道图上1cm表示实际多少米或多少千米。2.在解题过程中我们要熟记常用的计算公式：实际距离=图上距离÷比例尺，速度×时间=距离，这样能帮助我们更快解题。3.在解决比例尺的题目中，要时刻观察单位是否需要转换，在计算过程中，是否统一单位，这样能提高解题效率。四、大显身手一块长方形地，长和宽的比是3：2，将其按1：1000的比例尺画在图上，所得平面图形的周长是40cm。这块长方形的地占地面积是多少平方米？答案：9600m2。配音频1.根据实际距离=图上距离÷比例尺，长方形的实际周长=40÷110002.长方形的周长=（长+宽）×2，根据题意，（长+宽）×2=400m，所以长+宽=200m。根据前面已学比的相关知识，我们可以求得长=200×=120m,宽=200-120=80m。3.占地面积就是长方形的面积，所以这块长方形的地占地面积=120×80=9600m2。第8节比例尺（3）内容概述在前面的学习中，学生已经学完了《位置与方向》，知道根据方向和距离确定物体的位置，在这个单元的学习中，把前面学过的知识与比例尺建立联系，让学生根据题目情境选择合适的比例尺，再画出平面图。但是，在绘图时，比例尺一般是不知道的，这就要视图纸大小这个具体情况，自己确定适当的比例尺。这是因为：如果比例尺选择的太大，图纸就可能不够画；如果比例尺选择的太小，画出的图只占图纸的很小部分，则图纸没有得到充分利用。这样画出的图，即不美观、大方，也不匀称、清楚。所以，在绘图时，选择“适当”的比例尺，则是重要的前提条件。二、教材选讲例1小明家正西方向500m是街心公园，街心公园正北方向300m是科技馆，科技馆正东方向1km是动物园,动物园正南方向400m是医院。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。北1000米是动物园。动物园正南方向北1000米是动物园。动物园正南方向400米是医院。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。小明家科技馆正东方向1000小明家科技馆正东方向1000米是动物园。动物园正南方向400米是医院。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。思路分析1.图上距离=比例尺×实际距离，当实际距离一定时，比例尺和图上距离成正比例关系，所以比例尺越大，图上距离就越大，反之亦然。2.已知平面图中各地点的位置与方向，我们首先要进行单位的转化：500m=50000cm,300m=30000cm,1km=100000cm,400m=40000m。3.通过单位转化，我们可以发现距离后面都带有4个“0”，所以我们在确定比例尺时要充分考虑题目情境，可以尝试选择比例尺为1:10000或1:20000的比例尺，这样容易约分便于口算，平面图才会画得漂亮。解500m=50000cm,300m=30000cm,1km=100000cm,400m=40000m。如果选择比例尺为1:10000的比例尺，图上距离分别为：50000×=5cm,30000×=3cm,100000×=10cm,40000×=4cm，然后根据方向和图上距离画出平面图。如果选择比例尺为1:20000的比例尺，图上距离分别为：50000×=,30000×=,100000×=5cm,40000×=2cm，然后根据方向和图上距离画出平面图。温馨回顾当要我们自己确定比例尺时，我们可以先进行单位的转化，统一成厘米为单位，再看看每个数字后面有没有相同数量的“0”，我们根据相同数量的“0”确定比例尺中“0”的数量，这样便于约分，计算变得简便，画图也会变得简单。三、课后延伸例2学校正东方1km处是图书馆，正西方处有一个公交车站，公交车站西偏南450千米处是科技馆，科技馆西偏北40°2km处是一个公园。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。北1000北1000米是动物园。动物园正南方向400米是医院。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。学校学校1000米是动物园。动物园正南方向400米是医院。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。思路分析1.已知平面图中各地点的位置与方向，我们首先要进行单位的转化：3km=300000cm,=250000cm,=150000cm,2km=200000m。2.通过观察，我们可以发现，这题中图上距离都是用“千米”做单位，所以我们可以选择1:100000的比例尺，这样便于口算。3.这题出现了西偏南450、西偏北40°的方向，所以我们需要借助量角器来确定方向。解3km=300000cm,=250000cm,=150000cm,2km=200000m。如果选择1:100000的比例尺，图上距离分别是：300000×=3cm,250000×=,150000×=,200000×=2cm，借助量角器和直尺，我们可以把这个平面图画出来。温馨回顾我们首先要进行单位的转化，根据转化后的单位选择合适的比例尺进行约分；借助量角器我们能更准确的确定偏角方向，从而得到准确的平面图。配音频：在进行单位转化后，我们发现每个数字后面都有4个“0”，但是如果比例尺选择1：10000的比例尺，就会出现300000×=30cm的图上距离，这样会超出题目给我们的平面图的大小，所以我们在选择比例尺时可以优先考虑最大的距离是否在平面图内，如果图上距离太大了我们要进行调整。四、大显身手有一张长为40cm的正方形纸,要将一块长120m,宽90m的长方形操场的平面图画在上面,你觉得合适的比例尺是（）。答案：3:1000或1:300配音频：1.首先统一单位：120m=12000cm,90m=9000cm。2.如果选择1:1000的比例尺，图上距离为12000×=12cm，9000×=9cm，但是这样平面图就会浪费很多，考虑到正方形图纸余量，可以取长为36cm或40cm,这样比例尺可以调整为3:1000或1:300，则长方形的长为12000×=36cm，宽为9000×=27cm或者长为12000×=40cm，宽为9000×=30cm。第9节比例尺（4）一、内容概述比例尺表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺。图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即：图上距离：实际距离=比例尺；比例尺分类：比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或。为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比。（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离。二、教材选讲例1在一幅比例尺1:2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间高速公路的距离是。另一副比例尺是1:5000000的地图上，这条公路的图上距离是多少？思路分析（1）根据题意可知比例尺再怎么变，甲乙两个城市的实际距离不变，在比例尺1：2000000的地图上，量得甲、乙两个城市间的距离是厘米，根据图上距离÷比例尺=实际距离，求出实际距离；把它画在比例尺是1：5000000的地图上，再根据图上距离=实际距离×比例尺即可求出。解答：另一副比例尺是1:5000000的地图上，这条公路的图上距离是？温馨回顾比例尺再怎么变，甲乙两个城市的实际距离不变,根据图上距离÷比例尺=实际距离，求出实际距离；把它画在比例尺是1：5000000的地图上，再根据图上距离=实际距离×比例尺即可求出。三、课后延伸例2在比例尺1:2000的地图上，量得一块长方形的地，长是5厘米，宽是3厘米，这块的面积是多少平方米？思路分析图上距离和比例尺已知，依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积S=ab，即可求出实际面积。解,答：这块的面积是6000平方米。配音频图上距离和比例尺已知，依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出长和宽的实际长度，长,宽：，进而利用长方形的面积S=ab，即可求出实际面积。所以作答这块的面积是6000平方米。温馨回顾图上距离和比例尺已知，依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积S=ab，即可求出实际面积。四、大显身手1.在比例尺是1:5000000的地图上，量的甲乙两地的距离是,一辆汽车以每小时90千米的速度从甲地开往异地，请问几个小时能到达乙地？2.一个长方形运动场，用1:200的比例尺画在图纸上，图的周长是36cm，长和宽的比是5:4，这个运动场的实际面积和实际周长各是多少？答案小时和72cm配音频图上距离和比例尺已知，依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可甲乙两地的实际距离为，然后根据“路程=速度×时间”，即可求出时间为小时，一辆汽车以每小时90千米的速度从甲地开往异地，则3个小时能到达乙地。第2题，要求实际面积和实际周长，那就先求出长和宽的图上长度，根据比例求出长和宽的实际长度。图上的长：cm；图上的宽:cm。依据“实际距离=图上距离÷比例尺”，实际的长为：，实际的宽为：，根据周长和面积公式即可求出，实际周长为；实际面积为第10节图形的放大与缩小一、内容概述在日常生活中看到图片中的物体要么是放大的要么就是缩小的，其实图形也是可以放大和缩小的。在画图形的放大与缩小图时，关键数准格，图形放大或缩小后，大小改变，形状不变。二、教材选讲例1先按4:1把下面的三角形放大，再把放大的图形按1:2缩小。思路分析1.图中是一个直角三角形，它的短直角边是1，长直角边是2，把它按4：1放大后，它的短直角边是4，长直角边是8，画出它的两条直角边，再连接另外两点，得到图形A，图形A就是按4：1放大后的图形，把放大后的图形A再按1：2缩小，短直角边是2格，长直角边是4格，连接另外两点，得到图形B，图形B就是图形A按1：2缩小后的图形．解如下图温馨回顾抓住直角三角形的特点，先画出放大或者缩小后两条直角边，再画斜边。注意图形放大或缩小后，大小改变，形状不变。三、课后延伸例21.在方格图中“自己设定一个比”并画出按比放大后的图形B或者缩小后的图形C。2.观察图形A和图形B，它们的面积有什么变化？面积与边长是按相同比例变化的吗？AA思路分析1.这题是一个开放性的题，不是直接给定比，而是需要自己设定一个比，然后根据自己设定的比来画出放大或者缩小后的图形。首先，设定一个比，例如设定比是3:1和1:2，根据比就可知，比3:1是画放大后的图形，比1:2是画缩小后的图形。首先，按3：1的比画出平行四边形放大后的图形B。就是把已知的平行四边形的底与高分别放大3倍，原来的底与高分别是4格、2格，所以放大后的底与高就是4×3=12格，2×3=6格，据此即可画图。接着，按1：2的比画出平行四边形缩小后的图形C。就是把已知的平行四边形的底与高分别缩小倍，原来的底与高分别是4格、2格，所以放大后的底与高就是4÷2=2格，2÷2=1格，据此即可画图．2.从图中观察就可知，图形B的面积相对图形A来说明显变大了，图形A的面积等于8个小方格的面积，图形B的面积等于72个小方格的面积，由此可知，图形B的面积是图形A面积的9倍，明显面积与边长不是按相同的比例变化的。解1.假设给定的比是3:1和1:2BBCA2.由上图可知，图形A的面积是8个小方格的面积，图形B的面积是72个小方格的面积，72÷8=9，因此图形B的面积是图形A的面积的9倍，也可以说图形A按比例3:1放大后，面积扩大了9倍：图形B的边扩大了3倍，而面积扩大了9倍，因此图形B的面积和边长不是按相同比例变化的。配音频因为这题是要我们自己选定比，假设我们选定比是3:1和1:2,先把图形A按3:1的比进行放大得到图形B，再按1:2的比把图形A缩小得到图形C。由题1的图可知，图形A的面积是8个小方格的面积，图形B的面积是72个小方格的面积，72÷8=9，因此图形B的面积是图形A的面积的9倍，也可以说图形A按比例3:1放大后，面积扩大了9倍：图形B的边扩大了3倍，而面积扩大了9倍，因此图形B的面积和边长不是按相同比例变化的。温馨回顾1.抓住平行四边形的特点，先画出放大或者缩小后底和高，再画出其他边。注意图形放大或缩小后，大小改变，形状不变。2.通过先直观观察图形的边长和面积变化，然后通过数方格来得出图形的边长和面积的变化规律。在比较面积和边长的变化规律是否相同。四、拓宽视野小欧拉智改羊圈欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。有一回，他就帮爸爸放羊，爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只，原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新羊圈。他量出了一块长方形土地，长40m，宽15m，面积正好是600m2，平均每头羊占地6m2，正打算动工时，他发现他的材料只够围100m的篱笆，不够用。若要围成长40m，宽15m的羊圈，其周长将是110m，这让父亲很为难。因为他不想缩小面积，还希望原材料够用。小欧拉却向父亲说，他有办法。父亲不信，在小欧拉的努力说服下，父亲同意让小欧拉试一试。小欧拉跑到准备动工的羊圈旁，他以一个木桩为中心，将原来的40m边长截短，缩短到25m，父亲着急了，说：“那怎么成呢？这个羊圈太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来的15m边长延至25m，经这样一改，原计划中的羊圈变成了正方形。然后，小欧拉自信得对父亲说：“现在篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉的设计建好羊圈，心里很高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来定有大出息。后来，父亲想办法让小欧拉认识了一个大数学家贝努利。通过这位数学家的推荐，1720年小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉才13岁，是这所大学最年轻的大学生。五、大显身手1.先按1:3把下面的三角形缩小，再把缩小的图形按2:1放大。自己选定比例画图形，把三角形A放大后得到三角形B，再把三角形B2.自己选定比例画图形，把三角形A放大后得到三角形B，再把三角形B缩小后得到三角形C。（1）哪些三角形可以由A放大后得到？（2）哪些三角形可以由B缩小后得到？（3）观察三角形A和B，它们的周长和面积有什么变化？周长、面积与边长是按相同的比例变化的吗？答案：1、2、略第11节用比例解决问题（1）一、内容概述《用比例解决问题》是人教版教材六年级下册第三单元“比例”中一个重要的学习内容。主要是抓住同一时间，同一地点这个关键信息，从而可知测量物体与影子的比值相等。利用了正比例关系。二、教材选讲例1小兰的身高。她的影长是。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长4m，这棵树有多高？思路分析1.同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是小兰的身高与影子的比等于一棵树的高与影子的比，它们是成正比例关系。设这棵树的高为x米，列出比例，解比例即可。解设这棵树的高为x米。：=x：4=×4x=6÷x=答：这棵树有米。温馨回顾首先抓住同一时间，同一地点这个关键信息，从而可知测量物体与影子的比值相等。也就是小兰的身高与影子的比等于一棵树的高与影子的比。它们是成正比例关系三、课后延伸例2一根旗杆高8m。树的影长是，小明的身高,如果在同一时间、同一地点来量小明的影子，那么小明的影子有多长？思路分析根据小明的身高与影子的比等于旗杆的高与影子的比，依次列式解答即可。解设小明的影子有xm。8：=：x8x=×8x=X=答：小明的影子有。配音频依题意小明的身高与影子的比等于旗杆的高与影子的比，则设小明的影子有xm，可列式8：=：x，然后解得X=，小明的影子有。温馨回顾首先抓住同一时间，同一地点这个关键信息,可知小明的身高与影子的比等于一棵树的高与影子的比，然后依次列式解答即可。四、大显身手1.同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为米，则这棵槟榔树的高是（）米。答案配音频因在同一时刻，人和树与各自影子的比是相等的。可设这棵槟榔树的高为xm，列式为1:5=：x，解得x=，所以这棵槟榔树的高为。五、拓宽视野Q哥、Q妹和卡卡三人是好朋友，最近他们在学校学习了有关比和比阴的知识。周末，他们在Q哥家聚会，Q哥享出牛奶和果汁招待他们。Q妹灵机一动，说：“要饮料，先等等。”说着Q妹出两个一模一样的杯子，将牛奶和果汁混合倒满，其中第一个杯子倒入的牛奶和果汁的比是2：5，第二个杯子倒入的牛奶和果汁的比是3：7，接着，Q妹将两个杯子中的牛奶和果汁倒入一个更大的杯子，这个杯子足以装下原来两个杯子中的牛奶和果汁。Q妹说：“现在，你们门算算混合后的这个杯子中牛奶和果汁的比是多少？Q哥想了一会，说：“第一个杯子中，牛奶占杯子容星，果汁占；第二个杯子中，牛奶占杯子容量的，果汁占。两个环子相同，所以混合后牛奶有（＋）果汁有（＋）。接着，卡卡起笔在纸上写到因为＋=＋=

所以==

混合后杯子中牛奶和果计的比是41：99。第12节用比例解决问题（2）一、内容概述《用比例解决问题》是人教版教材六年级下册第三单元“比例”中一个重要的学习内容。若速度一定，可知路程和时间成正比例。二、教材选讲例1一列由北京开往武汉的动车，从早晨7时出发，11时到达安阳。北京到安阳的铁路大约是500km。按照这样的平均速度，北京到武汉的铁路长大约是1200km。从北京到武汉10小时能到吗?思路分析根据题意知道速度一定，路程和时间成正比例，依次列式解答即可。解设北京到武汉大约用时x小时。11时-7时=4时4：500=x：1200500x=1200×4x=4800÷500x=因为小时<10小时答：从北京到武汉10小时能到。温馨回顾这个题有个关键信息，就是速度一定，从而我们知道时间与路程成正比例关系，所以就可以依次列式解答。三、课后延伸例2我国发射的人造地球卫星在空中绕地球运行6周需要小时，运行14周要用多少小时？思路分析根据题意知道速度一定，路程和时间成正比例，依次列式解答即可。解设运行14周需要x小时。6：=14：x6x=×146x=x≈答：运行14周需要小时。配音频依题意知道速度一定，路程和时间成正比例，则设运行14周需要x小时，可列式6：=14：x，然后解得x≈，最后作答运行14周需要小时。温馨回顾抓住速度一定，可知路程和时间成正比例，然后依次列式解答即可四、大显身手1.王叔叔开车从甲地到乙地，前2小时行驶100km。照这样的速度，从甲地到乙地一共要用5小时，甲乙两地相距多远？2.一列火车前往灾区运送救灾物质，2小时行驶了30km。从出发地点到灾区有90km，按照这样的速度，全程需要多少小时？答案1、250km2、6h配音频第1题，知道速度一定，路程和时间成正比例，则设行驶5小时可以走xkm，可列式2：100=5：x，然后解得x=250，所以行驶5小时可以走250km。第2题，知道速度一定，路程和时间成正比例，则全程需要x小时，可列式2:30=x:90,然后解得x=6，所以全程需要6小时。五、拓宽视野你知道吗？人体中有趣的比。个人两臂展开的长度与自己身高的比大约是1：1；脚的长度与自己身高的比大约是1:7。绕头一周的长度与自己的脚的长度的比大约是1:1，脖子周长与腰围的比大约是1:2第13节用比例解决问题（3）一、内容概述《用比例解决问题》是人教版教材六年级下册第三单元“比例”中一个重要的学习内容。用所学的反比例解决生活中的实际问题。二、教材选讲例1小平的姐姐在上大学，妈妈每个月（按30天算）按每天10元的标准给她一笔零花钱。（1）如果姐姐每天花6元，一个月的零花钱够用多少天？（2）如果姐姐每天花15元，你能提出数学问题并解答吗？思路分析（1）根据题意知道妈妈每个月给小平的姐姐零花钱总数是一定的，小平的姐姐每天花的零花钱和能花的天数就成反比，根据这个比例关系就可以依次解答。（2）这一问是开放性的题，要先提问再解答，其实可以提跟第1问一样的问题，即一个月的零花钱够用多少天？解（1）一个月的零花钱够用天x天。10：6=x：306x=10×30x=300÷6x=50答：一个月的零花钱够用天50天。（2）问：一个月的零花钱够用天x天？设一个月的零花钱够用天y天。10：15=y：3015y=10×30y=300÷15y=20答：一个月的零花钱够用天20天。温馨回顾这个题有个关键信息，就是每个月给定的零花钱总数一定，从而我们知道每天用的零花钱与能用的天数成反比例关系，所以就可以依次列式解答。三、课后延伸例2小林读一本文学名著，如果每天读30页，8天可以读完，小林想6天读完，那么平均每天要读多少页？思路分析根据题意知道要读的书的页数一定，每天读的页数和天数成反比例，依次列式解答即可。解设平均每天要读x页。30：x=6：86x=30×8x=240÷6x=40答：平均每天要读40页。配音频根据题意知道要读的书的页数一定，每天读的页数和天数成反比例，则设平均每天要读x页，可列式30：x=6：8，然后解得x=40，最后作答平均每天要读40页。温馨回顾抓住总阅读量不变，可知每天读的页数和要读的天数成反比例，然后依次列式解答即可四、大显身手1.工程队修一条水渠，每天工作6小时，12天可以完成。如果工作效率不变，每天工作8小时，多少天可以完成任务？2.王叔叔开车从甲地到乙地一共用了3小时，每小时行50km，原路返回时每小时行60km，返回时用了多长时间？答案9天配音频第1题，知道工作总量一定和工作效率不变，每天工作的时间和工作的天数成反比例，则x天可以完成任务，可列式6：8=x：12，然后解得x=9，所以9天可以完成任务。第2题，知道路程一定，速度和时间成反比例，设返回时用了xh，可列式3:x=60:50,然后解得x=，所以返回时用了。五、拓宽视野啊！双胞胎丈夫临死前，给怀孕的妻子留下遗言，说：“如果生的是男孩就给他财产的三分之二，如果生的是女孩就给她财产的四分之一，剩下的给妻子。”妻子说：“放心吧，我会遵照你的遗愿。”

几个月后，妻子进了产房，结果生出来的是孪生兄妹一双胞胎。这下妻子可难坏了，抓耳挠腮地说：“噢！我的天啊！谁来帮帮我呢？”

医生走过来对她说：“你们三个人平均分，多公平呀！”数学家则说：“不能平均分，要按遺言上的比例来分，这最公平。”这位妻子说：“怎样接比例来分呢？”数学家说：“根据遠言，你和儿子的分配比是1：2，而你的女儿和你的分配比是1：3，因此，你的儿子分遺产的，你的女儿分遠产的，而你分遠产的。”妻子说：“妙！妙！妙！你真不愧为数学家。”

第14节用比例解决问题（4）一、内容概述《用比例解决问题》是人教版教材六年级下册第三单元“比例”中一个重要的学习内容。用所学的反比例解决生活中的实际问题。二、教材选讲例1小东家的客厅是正方形，用边长的方砖铺地，正好需要100块。如果改用边长的方砖铺地，需要多少块砖？思路分析由题意可知，小东家的客厅总面积是一定的，那么每块方砖的面积和铺的方砖数量成反比例关系，首先我们求出两种方砖的面积：,，我们可以设如果用边长的方砖铺地，需要x块砖。可列式:=x：100，解得x=144。所以如果改用边长的方砖铺地，需要144块砖。解如果用边长的方砖铺地，需要x块砖。,:=x：100=100×x=36÷x=144答：如果用边长的方砖铺地，需要144块砖。温馨回顾这个题有个关键信息，就是小东家的客厅总面积是一定的，从而每块方砖的面积和铺的方砖数量成反比例关系，而方砖的面积没有直接告诉我们，要先求出两种方砖的面积，然后依次列式解答。三、课后延伸例2某公园的一块正方形地需要铺上草皮,用边长米的正方形草皮铺地，正好需要9000块。如果改用边长米的正方形草皮铺地，要多少块?思路分析由题意可知，需要铺草皮的地的总面积是一定的，那么每块草皮的面积和铺的草皮数量成反比例关系，解设如果改用边长米的正方形草皮铺地，要x块。,:=x：9000=9000×x=360÷x=4000答：如果改用边长米的正方形草皮铺地，要4000块。配音频根据题意知道，需要铺草皮的地的总面积是一定的，那么每块草皮的面积和铺的草皮数量成反比例关系，可设如果改用边长米的正方形草皮铺地，要x块。不同草皮面积是,，接