等效运用电像法解高考物理题例说

等效运用“电像法”解高考物理题例说【浙江永嘉县上塘中学325100钱呈祥】【北京市第八十中学100102韩叙虹】“电像法”由英国的数学、物理学家开尔文于1848年提出，是一种计算一定形状导体电荷分布所产生的静电场问题的有效方法。具体用处指的是将一大堆非常难以计算的物体产生的电场等效于在某一个点的一个电荷产生的电场。电像法也是高中物理中常用到的一种方法，主要应用于讨论导体周围有一个或几个点电荷时空间的电势和场强等问题。其核心思想是在不改变原来问题的边界条件基础上，用求解区域外的假想电荷代替导体上的感应电荷。掌握了这种方法，对学生解题思路的拓展和解题能力的提高都有很大的帮助。简单地说，比如有一个接地的薄导体板，这个导体板上面的电荷都是自由电荷，且这个导体板为无限长。这时，在板的一侧放上一个电荷量为q的电荷，这个电荷距离导体板的距离是r。这样导体板上面就会产生感应电荷，问：距离导体板长度为x的地方电场强度是多少？这个问题似乎很难做出来，因为这个导体板上面的电荷不是均匀的。但是其实不是这样的，注意到导体板的电势与地面的电势相同（都接地），这样，就可以做出来一个像电荷，来等效替代这个导体板。容易得到，这个电荷的位置恰好在与原来的电荷对称的位置，电荷的大小与原来电荷相同，正负相反。严格地说，是在一定条件下，可以用一个或多个虚设的等效电荷来代替非点电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，这些等效电荷称为像电荷，这种求解方法称为电像法。电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算的等效静电场，多用于求解在边界面（例如接地或保持电势不变的导体）前面有一个或一个以上点电荷的问题，在某些情况下，从边界面和电图1图1①一无限大接地导体板A前面有一点电荷Q，如图1所示，则导体板A有（图中左半平面）的空间电场，可看作是在没有导体板A存在情况下，由点电荷Q与其像电荷-Q所共同激发产生。像电荷—Q的位置就是把导体板A当作平面镜时，由电荷Q在此镜中的像点位置。于是左半空间任一点的P的电势为，式中和分别是点电荷Q和像电荷-Q到点P的距离，并且，此处d是点电荷Q到导体板A的距离。电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证，定性分析可从电场线等效的角度去说明。②一半径为r的接地导体球置于电荷q的电场中，点电荷到球心的距离为h，球上感应电荷同点电荷q之间的相互作用也可以用一像电荷替代，显然由对称性易知像电荷在导体球的球心O与点电荷q的连线上，设其电量为，离球心O的距离为，如图2所示，则对球面上任一点P，其电势图2o图2o要使此式对任意成立，则必须满足解得③对（2）中情况，如将q移到无限远处，同时增大q，使在球心处的电场保持有限（相当于匀强电场的场强），这时，像电荷对应的无限趋近球心，但保持有限，因而像电荷和在球心形成一个电偶极子，其电偶极矩。xyzqO无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场xyzqO【例1（2022年高考理综安徽卷题20）】：如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满的空间，的空间为真空。将电荷为q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上处的场强大小为（k为静电力常量）A.B.C.D.【解析】：用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即xOy平面为零势面。在z轴上处，q的场强大小为，-q的场强大小为，两个场强方向相同，其合场强E=，故D对，A、B、C错。qabcdQ【例2（2022年高考理综新课标=1\*ROMANI卷题15）】：如图，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(qabcdQA.B.C.D.【解析】：由于b点处的场强为零，根据电场叠加原理知，带电圆盘和a点处点电荷在b处产生的场强大小相等，方向相反。带电圆盘在中心轴上产生电场的效果相当于一个电荷量为q的点电荷Q1，这个Q1可以等效地代替原来的带电圆盘。带电圆盘在d点处产生的场强大小为，固定在a点的点电荷q在d点处产生的场强大小为，带电圆盘和a点处点电荷产生的场强方向相同，所以E=，所以B选项正确。电像法的根据是静电场的唯一性定理，只要区域内的电荷分布与边界各点电势给定，则区域内的电场唯一确定，所以可用区域外的一个或多个像电荷来取代边界及边界以外的复杂电荷分布，只要不改变边界条件，区域内与原问题同解。可见，电像法是等效思想的应用，当然，在高中阶段，要求深入理解等效思想的精髓，但并不需要去严格地推理论证。若遇到的问题与某种典型模型类似时，我们可以考虑用典型模型来等效替代。如一个正点电荷附近有一个巨大的平板，平板上的感应电荷在各点产生的电场可以看做是一个负点电荷产生的电场。这个负点电荷就如同正点电荷通过平板成的像，二者关于平板对称，电荷量相等。等效的原因是：平板是等势面，任何一点的电场都是垂直于平板的，这个电场与异性电荷形成的电场一致。运用电像法解题时，还需注意：一般先根据题目的边界条件来确定像电荷的位置和大小，然后再根据场的叠加原理求出电势、电场强度等物理量。学生对于使用电像法并不困难，而问题出在总是“滥用”电像法。每遇到导体在电场中的情况时，就去使用电像法，其实很多问题是无法用电像法解决的。在此，一定要强调电像法的适用条件和使用范围：=1\*GB3①所求区域有少数几个或一个点电荷．如果点电荷过多，就很难利用边界条件求出像电荷的电荷量与位置。=2\*GB3②导体或者介质的边界形状比较规则（球面，平面，圆柱面），具有一定的对称性。如果没有很好的对称性，像电荷是很难找出来的。=3\*GB3③边界条件必须给定．如果没有确定的边界条件，那么唯一性定理也就不成立了，电像法就无从谈起。=4\*GB3④像电荷是一些假想的电荷，它的