阶段质量检测圆锥曲线与方程

阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程质(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·浙江高考)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()\f(\r(13),3) \f(\r(5),3)\f(2,3) \f(5,9)解析：选B根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆解析：选C由于θ∈R，对sinθ的值举例代入判断．sinθ可以等于1，这时曲线表示圆，sinθ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sinθ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为()\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1\f(x2,2)＋y2＝1 \f(x2,4)＋y2＝1解析：选A∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2∴a＝2，c＝1，∴b＝eq\r(3).∴椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.4．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x解析：选C∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，则C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x.5．设P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5 B．6C．7 D．8解析：选C双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.6．已知直线y＝kx－k(k为实数)及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点解析：选C因为直线y＝kx－k恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．7．已知双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq\r(3)，y0)在双曲线上，则eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝()A．－12 B．－2C．0 D．4解析：选C由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1)．不妨取点P(eq\r(3)，1)，则eq\o(PF1,\s\up7(→))＝(－2－eq\r(3)，－1)，eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(2－eq\r(3)，－1)．∴eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＋1＝0.8．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2))) B．(eq\r(2)，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)解析：选D由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0⇒a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0⇒a2所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，则a2＝eq\f(1,e2－1)，从而e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．9．已知|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为坐标原点，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，则动点P的轨迹方程是()\f(x2,4)＋y2＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1\f(x2,9)＋y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,9)＝1解析：选A设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝eq\f(1,3)(0，y0)＋eq\f(2,3)(x0,0)，即x＝eq\f(2,3)x0，y＝eq\f(1,3)y0，所以x0＝eq\f(3,2)x，y0＝3y.因为|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝9，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x))2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1.10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y解析：选C如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝eq\f(45,2)，所以所求抛物线方程为y2＝eq\f(45,2)x.虽然选项中没有y2＝eq\f(45,2)x，但C中的2p＝eq\f(45,2)符合题意．11.我们把离心率为黄金分割系数eq\f(\r(5)－1,2)的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：选A设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，则eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－c，－b)，eq\o(BA,\s\up7(→))＝(a，－b)．∵离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴c＝eq\f(\r(5)－1,2)a，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)a))2)＝eq\r(\f(\r(5)－1,2))a，∴eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)\f(2,3) \f(2\r(2),3)解析：选D将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1),B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8－4k2,k2)，x1x2＝4，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得xeq\o\al(2,2)＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，eq\f(8－4k2,k2)＝5，解得k2＝eq\f(8,9)，又因为k>0，所以k＝eq\f(2\r(2),3).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．以双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝114．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝eq\f(1,4)y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于eq\r(5)，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线x＝eq\f(1,4)y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)，则得a2＋b2＝1，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，易求得a2＝eq\f(1,5)，b2＝eq\f(4,5)，所以该双曲线的方程为5x2－eq\f(5,4)y2＝1.答案：5x2－eq\f(5,4)y2＝115．已知二次曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m∈[－2，－1]，∴曲线方程化为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－m)＝1，曲线为双曲线，∴e＝eq\f(\r(4－m),2).∵m∈[－2，－1]，∴eq\f(\r(5),2)≤e≤eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(5),2)，eq\f(\r(6),2)16．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋eq\r(6－32＋42)＝15.答案：15三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，∵点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在抛物线上，∴6＝2p×eq\f(3,2).∴p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在双曲线上，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,\f(9,4a2)－\f(6,b2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(3,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝－8))(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x2－eq\f(4,3)y2＝1.18．(本小题满分12分)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1及直线l：y＝eq\f(3,2)x＋m，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.Δ＝36m2－36(2m2∵直线l与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3eq\r(2)≤m≤3eq\r(2).故所求实数m的取值范围为[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]．(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得：x1＋x2＝－eq\f(6m,9)，x1x2＝eq\f(2m2－18,9)，故|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6m,9)))2－4×\f(2m2－18,9))＝eq\f(\r(13),3)·eq\r(－m2＋18)，当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为eq\r(26).19．(本小题满分12分)双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为eq\f(π,2)，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝eq\r(3)，若直线l的斜率存在，且(eq\o(F1A,\s\up7(→))＋eq\o(F1B,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，求l的斜率．解：(1)设A(xA，yA)．由题意得F2(c,0)，c＝eq\r(1＋b2)，yeq\o\al(2,A)＝b2(c2－1)＝b4，因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝eq\r(3)|yA|，即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.(2)由题意知F1(－2,0)，F2(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，显然k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,3)＝1，,y＝kx－2))得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.设AB的中点为M(xM，yM)．由(eq\o(F1A,\s\up7(→))＋eq\o(F1B,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0即eq\o(F1M,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·而xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k2,k2－3)，yM＝k(xM－2)＝eq\f(6k,k2－3)，kF1M＝eq\f(3k,2k2－3)，所以eq\f(3k,2k2－3)·k＝－1，解得k2＝eq\f(3,5)，故l的斜率为±eq\f(\r(15),5).20．(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，求|PQ|的最大值．解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为x2＝4y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x2＝4y，当直线l2的斜率为0时，|PQ|＝4eq\r(2).当直线l2的斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有xeq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，两式作差得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝4(y1－y2)，即得k＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(t,2)，则直线方程为y－2＝eq\f(t,2)(x－t)，与x2＝4y联立得x2－2tx＋2t2－8＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，则|PQ|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(t2,4)))[4t2－42t2－8])＝eq\r(8－t24＋t2)≤6，当且仅当t＝±eq\r(2)时取等号．所以|PQ|的最大值为6.21.(本小题满分12分)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(\r(6),3)，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0.依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,\f(ab,\r(a2＋b2))＝\f(\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝1.))∴椭圆方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)假设存在这样的k值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＋3y2－3＝0，))得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.①设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(12k,1＋3k2)，,x1x2＝\f(9,1＋3k2).))②而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时，则eq\f(y1,x1＋1)·eq\f(y2,x2＋1)＝－1.即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k＝eq\f(7,6).经验证k＝eq\f(7,6)使①成立．综上可知，存在k＝eq\f(7,6)，使得以CD为直径的圆过点E.22．(本小题满分12分)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2eq\r(6).过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))同向．(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.