高考数学专题复习精-反函数

反函数精选ppt一、定义设函数y=f(x)定义域为A,值域为C.如果从式子y=f(x)

解得x=(y),且对于y在C中的任何一个值,x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子

x=(y)

就表示

x

是变量y的函数,把x=(y)叫做函数y=f(x)的反函数,记作:x=(y)=f-1(y).x=f-1(y)一般改写成y=f-1(x),其定义域为C,值域为A.二、定义理解1.函数存在反函数的条件:映射f:A→C为一一映射.2.函数在其定义域区间上可能不存在反函数,但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数.3.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.注意:反函数的定义域不能由其解析式来求.精选ppt三、简单性质1.互为反函数的两个函数的图像关于直线

y=x

对称;2.单调函数一定存在反函数,但有反函数的函数不一定是单调函数;3.奇函数不一定有反函数,偶函数在一般情况下无反函数;4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的单调性;5.若

b=f(a),则

a=f-1(b);若

a=f-1(b),则

b=f(a),即:若

a∈A,b∈C,则f-1[f(a)]=a,f[f-1(b)]=b.精选ppt四、求函数的反函数的步骤2.由y=f(x)解出x=f-1(y)(即用y表示x);3.交换

x=f-1(y)

中的字母

x,y,

得

f(x)

反函数的表达式

y=f-1(x),1.求函数

y=f(x)

中

y

的取值范围,得其反函数中

x

的取值范围;五、函数与其反函数图像的交点问题如果一个函数与其反函数的图像有公共点,则公共点在直线

y=x

上,或者关于直线

y=x

对称地成对出现.4.

标出

y=f-1(x)

中

x

的取值范围.例如函数y

=-3x+7;又如函数y

=()

.161x精选ppt六、典型例题例1函数y=(x∈R,且x

≠)的反函数是()2x-1x-212(A)y=(x∈R,且x

≠)2x-1x-212(B)y=(x∈R,且x

≠2)2x-1x-2(C)y=(x∈R,且x

≠)2x-1x+212(D)y=(x∈R,且x≠-2)2x-1x+2-11xoy-11xoy1xoy1-11xoy(D)(A)(B)(C)

例2设函数f(x)=1-1-x2(-1≤x≤0),则函数y=f-1(x)的图像可能是()AB精选ppt例3求下列函数的反函数:(2)y=x|x-2|+4x.(1)y

=()2(≤x<).x+13x-22332(2)y

=

x+1

-1(x≥8),3-

9-x(x<8).(1)y=(0≤x<1);3-

x2+

x

精选ppt例4解答下列关于反函数的问题:(1)已知函数f(x)

=的图像关于直线

y=x

对称,求实数a

的值;3x+2x+a

(2)求函数

y=1-x与它的反函数图像的交点坐标.例5已知f(x)=,x∈R,求f-1(

)的值.1+2x2x

134.(1)a=-3;5.f-1(

)=

-1.13答案(2)(,);(1,0);(0,1).5-125-12精选ppt七、课堂练习2.试求使函数y=4x-2x+1存在反函数的定义域区间,并求相应区间上的反函数.1.若映射f:A

B

中,A=B={(x,y)

|

x∈R,y∈R},f:(x,y)

(x+2y+2,4x+y),试求:(1)

A

中的元素

(5,5)

的象;(2)

B

中的元素

(5,5)

的原象.

3.已知

f(x)

=(x≠-a,a

≠).(1)

求

f(x)

的反函数

f-1(x);(2)

若f(x)=f-1(x),求

a

的值;(3)作出满足(2)中条件的

y=f-1(x)

的图象.2x+1x+a

12答案1.(17,25);(1,1)2.(-∞,0],f-1(x)=log2(1-

x+1

)(-1≤x<0);[0,+∞),f-1(x)=log2(1+

x+1

)(x≥-1).3.f-1(x)=(x≠2);x-21-ax

a=-2.精选ppt4.求函数

y=x|x|+2x

的反函数.解:原函数可写成:y=x2+2x,x≥0,-x2+2x,

x<0.即

y=(x+1)2-1,x≥0,-(x-1)2+1,

x<0.当

x≥0

时,y≥0,由

y=(x+1)2-1

得:x=-1+y+1

;当

x<0

时,y<0,由

y=-(x-1)2+1

得:x=1-1-y

.故所求反函数为

y=-1+x+1,

x≥0,1-1-x

,x<0.精选ppt解得

a=-1.∴-4≤f(x)≤1.5.已知点

(-2,-4)

在函数

f(x)=1-

ax2+25(-5≤x≤0)

的反函数f-1(x)

的图象上,试讨论

f-1(x)

的单调性.解:

由已知,点

(-4,-2)

在函数

f(x)=1-

ax2+25

的图象上.∴

-2=1-16a+25.∴f(x)=1-

25-x2.∵-5≤x≤0,x=-25-(y-1)2(-4≤y≤1).由

y=f(x)=1-

25-x2得∴

f-1(x)

=-25-(x-1)2(-4≤x≤1).令

t(x)=25-(x-1)2,易知,t(x)

是

[-4,1]

上的增函数.又

y=-

t是减函数,∴

f-1(x)

=-25-(x-1)2是

[-4,1]

上的减函数.精选ppt解:(1)∵x≥1,故

f-1(x)

的定义域是

[0,1).∴f(x)

的值域是

[0,1).又对任意的

x1,x2[0,1),且

x1<x2,有:6.已知函数

f(x)=()2(x≥1),f-1(x)

是

f(x)

的反函数,

g(x)=+x+2,求:(1)f-1(x)

的定义域和单调区间;(2)g(x)

的最小值.x+1

x-1

f-1(x)1∴0≤

<1.x+1

x-1

∴0≤()2<1.x+1

x-1

即

0≤f(x)<1.由

y=()2(x≥1)得:x+1

x-1

=y,x+1

x-1

解得:x=(0≤y<1).1+y

1-

y

∴f-1(x)=(0≤x<1).1+x

1-

x

x1<x2<1.∴1-

x1>1-

x2>0,1-

x121-

x22∴<.1-

x121-

x22∴

-1+<-1+.即为:f-1(x1)<f-1(x2).∴

[0,1)

是

f-1(x)

的单调增区间.精选ppt解:(2)由已知

g(x)=

+

x+21-

x

1+x

≥22.仅当

x=3-22时取等号.∴当

x=3-22时,g(x)取得最小值22.2

1+x

+1+x(0≤x<1).=由均值不等式,有:

g(x)6.已知函数

f(x)=()2(x≥1),f-1(x)

是

f(x)

的反函数,

g(x)=+x+2,求:(1)f-1(x)

的定义域和单调区间;(2)g(x)

的最小值.x+1

x-1

f-1(x)1精选ppt7.已知

f(x)=

(aR)

是

R

上的奇函数.

(1)求

a

的值;(2)求

f(x)

的反函数

f-1(x);

(3)对任意给定的k>0,解不等式:f-1(x)>log2.1+2x

a·2x-1

k

1+x

解:(1)由已知

f(0)=0,解得a=1;(2)当

a=1

时,f(x)=(xR),2x+1

2x-1

设

y=f(x),则

2xy+y=2x-1,∴

2x(1-y)=1+y(y1),∴

2x=,1-y

1+y

1-y

1+y

∴x=log2,2x+1

2x-1

=1-

(-1,1),2x+1

2又∵∴

f-1(x)=log2(-1<x<1).1-x

1+x

(3)由不等式

f-1(x)>log2,得

k

1+x

k

1+x

1-x

1+x

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