2022年上海市普陀区高考数学二模试卷（附答案详解）

2022年上海市普陀区高考数学二模试卷

一、单选题(本大题共4小题，共20.0分)

已知点M(2,2),直线I：x—y-1=0,若动点P到I的距离等于|PM|,则点P的轨迹

是()

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线

2.“x>y>0”是“X—工>y一工”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

3.数列｛an｝的前n项的和Sn满足%+i+Sn=n(n€N*),则下列选项中正确的是()

A.数列｛即+1+而｝是常数列

B.若％<:，则｛斯｝是递增数列

C.若为——1,则52022=1013

D.若%=1,则｛即｝的最小项的值为一1

4.已知定义在R上的偶函数f(x),满足Lf(x)]3-[/(乃]2一//。)+/=0对任意的

实数X都成立，且值域为[0,1],设函数g(x)=|x-刑-|x-1|,(m<1),若对任意

的%6(-2,1),存在物>与，使得g(%2)=f(%)成立，则实数小的取值范围为()

A.[-6,1)B.C.[0,1)D.[-1,0]

二、填空题(本大题共12小题，共54.0分)

5.若匕2；|=2,则实数小的值为.

6.若复数z在复平面内对应的点为贝岭=.

7.已知等差数列｛an｝(neN*)满足&3+。7=磋+1，则.

8.在(2x+y)5的展开式中，含炉丫2项的系数为.

9.若增广矩阵为(1:j的线性方程组无实数解，则实数巾=.

10.已知一个圆锥的侧面积为会若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为.

11.设函数/。)=三的反函数为/TQ),若集合4=｛幻/-1。)22,%62｝,则由4中

所有元素所组成的一组数据的中位数为.

12.设椭圆r；式+乃=1的左、右两焦点分别为F1，F2,P是r上的点，则使得APF1F2

84

是直角三角形的点P的个数为.

13.从集合｛a,b,c｝的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N,则使得MnN=。的

不同取法的概率为(结果用最简分数表示).

14.若(一手,兀)，则等式巴上堂+吧啜=2成立的一个X的值可以是____.

ncosxsinx

15.设直线Z：3%-丫一。=0(>€/\/*)与函数/(%)=《尸+2和90)=《尸+3的图像分

别父子七，Qn两点，则几学8岛Qn|=------

16.如图，动点。在以48为直径的半圆。上(异于4B),乙。。8=a且。C=CB,若

\AB\=2,则沆•丽的取值范围为.

三、解答题(本大题共5小题，共76.0分)

17.如图所示，正四棱柱aBCC-aBiCiDi的底面边长为2,侧棱长为4,设屁=

4西(0<4<1).

(1)当;l=g时，求直线&E与平面4BCD所成角的大小.(结果用反三角函数值表示);

(2)当;1=即寸，若瓦苒=£瓦乙且丽•瓦差:。，求正实数t的值.

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4Di

18.设土是各项为正的等比数列｛即｝的前n项的和，且$2=3,a3=4,n&N*.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)在数列｛厮｝的任意以与耿+1项之间，都插入6N*)个相同的数(一1)9,组成

数列｛%｝,记数列｛与｝的前n项的和为〃，求A。。的值.

19.如图所示，等腰直角AABC是某大型商场一楼大厅的局部，商场管理部门拟用围栏

在其中围出一个三角形区域OEF,供商家开展促销活动.已知4B=AC=20(米)，

E,9分别是4B,4c上的动点，。为BC的中点，且乙6。尸=拳设4OEA=a.

(1)当a=］时，求围栏EF段的长度(精确到0.01)；

(2)求区域OEF面积的最小值(精确到0.01),并指出面积达到最小值时的相应的a值.

20.设Fi，尸2分别是双曲线「：接一\=1(£1>0,/7>0)的左、右两焦点，过点尸2的直

线I：尤-my-t=0(m,teR)与「的右支交于M,N两点，厂过点(一2,3),且它的虚

轴的端点与焦点的距离为近.

(1)求双曲线r的方程；

(2)当IMF/=典&|时,求实数m的值;

(3)设点M关于坐标原点。的对称点为P,当丽=之可7时，求APM/V面积S的值.

21.对于函数/'(x)和g(x),设集合4=｛x|/(x)=0,xeR｝,B=｛x|g(x)=0,xeR｝,

若存在与”,x2&B,使得Z-wl《k(k>0),则称函数f(x)与g(x)“具有性

质M(£)”.

(1)判断函数f(x)=sinx与g(x)=cosx是否“具有性质”(]”，并说明理由；

2

(2)若函数f(x)=2*T+x—2与g(x)=x+(2—m)x—2m+4"具有性质

M(2)”，求实数m的最大值和最小值；

(3)设a>0且ar1,b>1,若函数f(*)=一"+比叱与以为=-x+logx"具

bab

有性质M(l)”,求：％1-不的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：由点M(2,2),直线，：x—y—1=0,所以点M不在直线上，

又动点P到1的距离等于|PM|，由抛物线的定义知点P的轨迹是抛物线.

故选：C.

由抛物线的定义可判断点P的轨迹是抛物线.

本题考查抛物线的定义，属基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由x—宁一宁="三产，又x>y>0,

所以》—《一(y—?>o,即x—：>y—；，充分性成立；

当》一：>'一：时，即吐沪2>0,显x=2,y=—1时成立，必要性不成立；

故"x>y>0”是的充兀分非y必要条件.

故选：A.

应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题

的关键.

3.【答案】D

［解析］解：当n=1时，S2+S］=2al+a2=1>

当nN2时，由己知可得%+Sn-i=n-1,所以即+1+即=l(zi22),

而。2+%=1不一定成立，故数列｛即+1+即｝不一定是常数列，故A错误；

由an+i+an=an+an_!=an_x+an_2='•-=a3+a2=1,显然有an+i=an-i=

册_3=…且与=%t-2=斯-4=…，即｛an｝不是单调数列，故8错误；

若的=-1,则a2=3,a3=-2,故nN2时，数列｛an｝的偶数项为3,奇数项为一2,

而52022=%+(。2+。3)+(a4+«5)+…+(a2020+a2021)+。2022=11+1000+

3=1012,故C错误；

若0=1,则=-1,a3=2,故71>2时，数列｛a“｝的偶数项为-1,奇数项为2,故｛。工

的最小项的值为-1,故。正确.

故选：D.

由题设可得202+=1且Q"+1+Qn=1(几32),进而可知几之2时，数列｛册｝的偶数

项的值，奇数项的值分别相等，再结合各选项的条件判断即可.

本题考查数列的递推公式，涉及数列的求和，属于中档题.

4.【答案】D

【解析】解：[f(切3-[/(X)]2-x2fM+%2=0变形为[f2(%)-x2][/(x)-l]=0,

所以f(x)=1或产(乃=X2,即/(%)=1或/(%)=|x|,

因为/(%)为偶函数，且值域为[0,1],

(1,%<—1

所以/(久)=出|,一1<x<19

(1,%>1

m-l,x<m

因为m<1,所以g(x)=\x-m\-\x-1\=2x-m-l,m<x<1,

—m-Fl,x>1

要想满足若对任意的£(-2《)，存在>与，使得g(%2)=/Qi)成立，

贝ij当%>1时，g(x)=-m+1>1,所以?n<0,

且无6(-8弓)时，g(%)的图象要位于/(%)的下方，

故只需()4/©),即一小耳，解得:m>-1,

综上：实数m的取值范围是[—，()].

故选：D.

1,xv—1

先根据函数满足的关系式及奇偶性，值域，得到/(%)=|X|,-14工41,再写出

lfx>1

m—l,x<m

g(x)=2x-m-lfm<x<1,同一坐标系中画出两函数图象，结合当久>1时，g(%)=

—m+1,%>1

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—m+121及xe(-8,J时，g(x)的图象要位于f(x)的下方，得到g(》＜/(},求出实

数m的取值范围.

对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，

求出参数的取值范围.

5.【答案】2

【解析】解：由R2；|=2,可得：2x3-lx2nl=2,解得：m=2.

故答案为：2.

根据矩阵的运算法则列式计算即可.

本题考查矩阵的运算，是基础题.

6.【答案】1+i

【解析】解：•.•复数z在复平面内对应的点为(1,-1),

r.222(l+i)1.

故答案为：l+i.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共辅复数的概念得答案.

本题考查了复数的儿何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

7.【答案】1

【解析】解：•••等差数列{an}(neN*)满足+a7=al+l,

2

•••(a5—l)=0,解得(Z5=1.

故答案为：1.

利用等差中项的性质可得2a5=磅+120,进而可求结果.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.【答案】80

【解析】解：二项式(2x+y)5的展开式的通项公式为4+1=C025-r.x5-r.yr,

令r=2,所以含％3y2项的系数为鬣X23=80,

故答案为：80.

先求得二项式展开式的通项公式，再令y的幕指数等于2,求得r的值，即可求得含二丫2

项的系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

9【答案】-2

【解析】解：增广矩阵为（1;力的线性方程组无实数解，

所或：卜。，峭行。，

所以zu?_4=0且47n—8。0,

解得：m=—2.

故答案为：-2.

由片=0,且17夕彳0求解即可.

Im411441

本题考查矩阵的运算，是基础题.

10.【答案】亘

24

【解析】解：••・其左视图为正三角形，・•.设圆锥底面半径为r,则高为小r,母线为2r,

所以［x2rx2nr=1,贝ijr=%

故圆锥的体积为工xV3rxnr2=亘.

324

故答案为：叵.

24

由圆锥侧面积公式求得底面半径r=g圆锥的高为式，应用圆锥的体积公式求体积.

22

本题考查圆锥的体积公式，属于基础题.

11.【答案】5

【解析】解：?=三，则yx-y=3x,即％=£，

•••集合4={x|/T(x)22,xeZ},

x

・••一-N2,xEZ

x-3f

解得3<%W6,%GZ,

:.A={456},

・•・由4中所有元素所组成的一组数据的中位数为5.

故答案为：5.

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先求出反函数，再求出集合4根据中位数的定义可得.

本题考查了反函数的定义和中位数，属于基础题.

12.【答案】6

】

【解析】解:由椭圆性质知:当P为「上下顶点时，NFPF2最大，此时|P&|=\PF2\=2V2.

|F/2|=4,

8SNFJF2=温然=0,故焦点三角形中NaPF2最大为90。，故有2个；

又P6I6F2,PF?_La尸2对应直角三角形各有2个；

综上，使得△P&F2是直角三角形的点P的个数为6个.

故答案为：6.

根据椭圆的性质，判断P为r上下顶点时N&PF2的大小，从而判断直角三角形个数，再

加上P&J.F1F2,PF?_LF/2对应直角三角形个数，即可得结果.

本题考查椭圆的性质，属于中档题，焦点三角形是关键.

13.【答案】1

【解析】解:集合｛a,b,c｝的非空子集有23-1=7个，

从中任取两个不同的集合M和M共有用=42种，

要使MnN=。，

①M中含有1个元素，N中也含有1个元素，有禺6=6种，

②M中含有1个元素，N中含有2个元素，有已戏=3种，

③M中含有2个元素，N中含有1个元素，有或盘=3种，

满足MnN=0的集合M,N的取法有6+3+3=12种，

故使得MnN=。的不同取法的概率为P=g=|.

故答案为：\

先求出集合｛a,b,c｝的子集，依题意对集合M,N中元素的个数分类讨论，最后利用古典

概型的概率公式计算能求出结果.

本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】姜（答案不唯一）

1O

【解析】解：...吧遭+理逋=2，

cosxsinx

sE"cos（x+$+sin（x+》cosx=sin（x+x+》=?,即$也（2》+四）=sin2x,

sinxcosxsinxcosxsinxcosx4

A2x+74-2%=7T4-2kn,解得％=三〃+与〃，kEZ,

4162

当k=0时;%=5乃符合题意.

lo

故答案为：碧（答案不唯一）.

1O

根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解.

本题主要考查三角函数的恒等变换公式，属于基础题.

15.【答案】V10

如图，学„呼

n8|%（2nl=8^77^1yplt-yQ“|=Jl+；x3=V10.

故答案为：V10.

两条曲线一条无限接近x轴，另一条无限接近y=3,画出图像分析即可.

本题考查了函数极限，属于基础题，数形结合是关键.

16.【答案】（1,2]

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【解析】解：设NBOC=20,贝IJOG(0,》作DE1OE交OC的延长线于点E,

由余弦定理SC?=1+1-2cos2。=2-2cos2。=4sin26,

所以BC=2sinO,即DC=2sin0,

乙OCB=上券=三一仇因为4DCB=],所以4OCE=0,

所以CE=DC-cosO=2sin6cos0=sin20G(0,1],

所以次OD=OCOE=lx(l+sin2。)=1+sm26e(1,2],

故答案为：(1,2].

利用NBOC=20,把向量内积通过投影转化为三角函数问题进行求解即可.

本题主要考查数量积的运算，平面向量的坐标运算等知识，属于中等题.

17.【答案】解：(1)以4为坐标原点，AB,AD,441分别为坐标轴，建立如图所示的空

则点E(0,2,2),%(2,0,4),即瓦^=(-2,2,-2)，

平面4BC0的一个法向量元=(0,0,4),

设直线&E与平面ABC。所成角为0,

则s讥”鉴合=3=今即"arcsin争

则直线&E与平面力BCD所成角的大小为arcsin今

(2)由(1)中所建坐标系得E(0,2,1),々(2,0,4),C(2,2,0),

则瓦？=(0,2,—4)，

又瓦H=t瓦1，则G(2,2t,4-4t),则前=(2,2t-2,3-4t)，

又EG-B[C=0>则0x2+2,(2t-2)+(-4)-(3-4t)=0,解得t=

【解析】(1)以4为坐标原点，AB,AD,A4分别为坐标轴，建立如图所示的空间坐标

系，求得直线的方向向量与平面4BCD的一个法向量，利用向量法可求线&E与平面

ABC。所成角的大小.

(2)求得跖:=(0,2,-4)，方=(2,2t-2,3-4t)，利用数量积可求t的值.

本题考查直线与平面所成的角的求法，利用向量的数量积求参数的值，属中档题.

18.【答案】解：(1)设等比数列｛一｝的公比为q>0,

2

则由(l+q)=3,arq=4,ax=1,q=2.

则等比数列｛an｝的通项公式为即=2"T,nG/V*.

(2数列｛bn｝中在以+i之前共有k+(1+2+3+…+k)=/c+丝罗=忙产项

当k=12时.=90<100.当k=13时.=104>100

22

则Aoo=(1+2+22+…+212)+(-12+22-32+42-…+122)-13x9,

=+(1+2+3+4+…+12)-117=2-40=8152.

则所求的数列｛b｝的前100项和为8152.

【解析】(1)设等比数列｛aj的公比为q>。，由已知建立方程组求解可得数列的通项公

式

(2)数列｛九｝中在纵+i之前共有人+(1+2+3+…+k)=手项，再分组,分别利用等

差.等比求和公式可求得答案

该题考查了等比数列的基本运算和等比数列求和公式的应用，属于较难题型.

19.【答案】解：⑴由。“，可得。E=10,OC=10V2.乙OFC=限,"=也

在△。%中，可得，黑=缶

即09=0c.sme=变3,

sinzOFC3

在4OEF中，可得，EF2=OE2+OF2-2OE-OF-cosZ.EOF=100+(―)2-2x

K37

《八、

10x-20-7-3x(,--)1

3I2/

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即EF=J7OO+；OO0x18.68，则EF=18.68米.

(2)由条件得，/.OFC=nr--zOE/4)=l+a,乙OEB=n-a,且aW碎,工］,

在AOFC中，可得黑=缶

10

即0尸=sin(a+^)>

在AOEF中，可得篝=缶

即。E=心10

sina'

所以△OEF的面积为S=|OExOFsin^EOF=

zs/in丹<z-sin忆(a+—、)

50机

可得S=V3,.,n.f

Y+sin(n2a--)

又a呜各即2a46生刑,

当2a-g=],即a=,时，S取得最小值，且值为200旧一300Z46.41,

则区域OEF面积的最小值为46.41(平方米)，对应的a值为工.

【解析】⑴在三角形。FC中，由正弦定理得，黑=缶，可求。凡再由余弦定理

可示EF；

(2)在三角形。“中，由正弦定理得黑=缶，可得"，在三角形OEF中，由正弦

定理得捐=一为，可求OE,可求△OEF面积的最小值，以及面积达到最小值时的相

SinBs\nz.OEB

应的a值.

本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题.

20.【答案】(1)因为双曲线「过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为近,

仁―2=1

可得：a,/，

U2+(a2+b2)=7

解得:俗：]

所以双曲线「的方程为"2一9=1.

(2)因为直线/：x-my-t=0,且过点尸2(2,0),

则2—THXO—t=0,解得：t=2,

由IMF/二尸2居|得：三角形KM4为等腰三角形,

所以等腰三角形F1MF2底边MF?上的高的大小为JMF；—（驾二产=反，

又因为点6到直线，：x-my-2=0的距离等于等腰三角形F1MF2底边上的高，

则&=号岩=皮，

y/m2+l

化简得：病=2，即6=+退.

15—15

（3）设N（X2，y2），

由直线与双曲线联立得：卜2一匕=1,

化简得：（3m2—l）y2+12my+9=0,

由韦达定理得：yi+y2=若躲，力力=-三/，

又丽=|E，即丫2=-2y「则一月=/源，2资=工占,

即2（1）2=备，则爪2=圭，

又点M关于坐标原点。的对称点为P,

则S=2SAOMN=2|yi-y2l=2，（乃+丫2）2-=2J（岩%）2_4（-三±5=

12dm2+1_9闻

l-3m2―4・

则所求的4PMN面积为逅.

4

【解析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；

（2）由点在直线上求得t=2根据居到直线八x-my-2=0与等腰三角形RMF?底边

MF2上的高相等，列方程求参数m；

（3）设M（xi，%）,N（X2/2），联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得力+火=三黑，

%，、2=-号7，由向量的数量关系可得加2=2，根据对称点，三角形面积公式5=

2S〃OMN=2M-、21，求APMN面积.

本题考查直线与双曲线的综合应用问题，利用韦达定理是解决本题的关键.

21.【答案】解：（1）不具有性质

设4=[x\sinx=0,久6/?）,B={x\cosx=0/6R},

7r

任取％16A,即sin/=0,则%]=七九，k€Z,任取不€B,^cosx2=0,贝九乃=忆2+

/€Z,

第14页，共16页

即%一%2l=IK-2)兀*1苗>%

则/(%)=s讥%与g(%)=cos%不具有性质M《)；

(2)设A={x|2z-1+x—2=0,xGR],B-[x\x2+(2—m)x-2m+4=0,%GR},

由函数y=2-1与y=2-x图像交点得，x=1是方程+x-2=0的解，

又y=2X-1与y=x-2皆为单调递增函数，则函数/(x)=2XT+x-2也为单调递增函

数，

即x=1是方程2*T+x—2=0的唯一解，

又函数f(x)与g(x)具有性质M(2),则存在占=15,X2&B,使得|%2-)W2,

即一1S小W3,即方程/+(2-m)x-2m+4=0在区间[1,3]上有解，

则7n=4：2管4=X2+2+-±--2>21(&+2).三_2=2,

又1工工2+2工5,则TH>2J(%2+2),~~-2=2,

4.

当且仅当=2+2=7石，即％2=。时，瓶的最