2022年上海市春季高考数学试卷含答案解析

2022年上海市春季高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1•已知z=2+i（其中i为虚数单位），贝！］八—.

2.已知集合4=（一1,2）,集合8=（1,3）,贝!|40|8=.

3.不等式3<0的解集为—.

X

4.若tana=3,则tan（a+2）=.

4

5.设函数/（x）=%3的反函数为（x）,贝！I（27）=.

6.在（丁+1严的展开式中，则含二项的系数为—.

XX

2

7.若关于x,y的方程组卜'*o有无穷多解，则实数，〃的值为

•［如+16），=8----

8.已知在AA8C中，ZA=-,AB=2,AC=3,则AA8c的外接圆半径为

3----

9.用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个

数为—.（用数字作答）

10在AABC中，NA=90。，AB=AC=2点M为边45的中点点P在边BC上^MP-CP

的最小值为一.

11.已知勺（王，%）,，%）两点均在双曲线「:二-丁=1（4>0）的右支上，若中2>

a~

恒成立，则实数。的取值范围为一.

12.已知函数y=/（x）为定义域为/?的奇函数，其图像关于x=l对称，且当XG（0,1］时，

/（x）=Inx,若将方程/（x）=x+l的正实数根从小到大依次记为X1,马，鼻，…，xn,则

lim（x„+I-x„）=.

ZT-X»

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生

应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.下列函数定义域为R的是（）

121

A.y=x^B.y=x~1C.y=x^D.y=x^

14.若则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b-］-dC.ac>bdD.ad>bc

15.上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧

面，则每天0点至12点（包含。点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（

）

A.0B.2C.4D.12

16.已知等比数列｛a,,｝的前〃项和为S.，前〃项积为T„,则下列选项判断正确的是（）

A.若反侬>S?⑶,则数列是递增数列

B•若（旧>%，则数列仅“｝是递增数列

C.若数列｛$“｝是递增数列，则—।

D.若数列区｝是递增数列，则的四4⑼

三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必

要的步骤.

17.（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、C»,,A4,为圆柱的母线，底面

半径长为1.

（1）若AA=4,M为例的中点，求直线MO,与上底面所成角的大小；（结果用反三角函

数值表示）

（2）若圆柱过OO|的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积.

18.（14分）已知在数列0｝中，4=1，其前〃项和为S,.

（1）若｛%｝是等比数列，1=3,求nl—i>omoS,,；

（2）若｛4｝是等差数列，邑”..〃，求其公差4的取值范围.

19.（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空

线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块458,AB=30m,49=15m.为

保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史

古迹封闭区.若空线入线口为回边上的点E,出线口为8边上的点尸，施工要求研与

封闭区边界相切，断右侧的四边形地块8C正将作为绿地保护生态区.（计算长度精确到

0.1加,计算面积精确到0.01”广）

（1）若ZA£>E=20。，求斯的长；

（2）当入线口£在川上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

20.(16分)已知椭圆「:二+y2=l(a>I),A、3两点分别为「的左顶点、下顶点，C、

a~

。两点均在直线/：X=Q上/且。在第一象限.

(1)设尸是椭圆「的右焦点，且4阳=三，求「的标准方程；

6

(2)若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆V上，

并说明理由；

(3)设直线AD、BC分别交椭圆「于点P、点Q,若AQ关于原点对称，求IC。的最

小值.

21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对/(x)变换的操作：e变换：

。变换：,其中,为大于0的常数•

(1)设/(x)=2*,t=\,g(x)为/(x)做e变换后的结果，解方程：g(x)=2；

(2)设/。)=小,/i(x)为f(x)做0变换后的结果,解不等式：f(x)../z(x)；

(3)设/(x)在(9,0)上单调递增，f(x)先做9变换后得到“(X),“(X)再做。变换后得到

々(X)；/(X)先做3变换后得到v(x),v(x)再做9变换后得到也(X).若九(》)=似x)恒成立，

证明：函数/(X)在R上单调递增.

2022年上海市春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)

1•已知z=2+i(其中i为虚数单位)，则彳=

【思路分析】根据已知条件，结合共辗复数的概念，即可求解.

【解析】•/z=2+z,z=2—i.故答案为：2-i.

【试题评价】本题主要考查共较复数的概念，属于基础题.

2.已知集合A=(—1,2),集合8=(1,3),贝！］40|8=_(1,2)_.

【思路分析】利用交集定义直接求解.

【解析】•.•集合A=(-l,2),集合8=(1,3),8=(L2).故答案为：(1,2).

【试题评价】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

3.不等式土土＜0的解集为_(0/)_.

X

【思路分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.

【解析】由题意得x(x-l)v0t解得Ovxvl,故不等式的解集(0,1).故答案为:(0,1).

【试题评价】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

4.若tana=3,则tan(a+^)=-2.

4一一

【思路分析】由两角和的正切公式直接求解即可.

71

tana+tan一鼻

【解析】若tana=3,则tan(a+f)=--^-=-^-1=-2.故答案为：-2.

4l-tanatan^—xl

4

【试题评价】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题.

5.设函数=/的反函数为广匕),贝！］广'(27)=2.

【思路分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值.

【解析】函数析功=倍的反函数为尸⑶，整理得尸(%)=吩；所以尸(27)=3.

故答案为：3.

【试题评价】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学

思维能力，属于基础题.

6.在(V+’产的展开式中，则含-4项的系数为66.

XX

【思路分析】求出展开式的通项公式，令X的次数为T,求出4的值即可.

【解析】展开式的通项公式为4中=G；(V严T(3*=G%36…，由36-4%=-4，得软=40,

X

得上=10,即6=誓，即含［项的系数为66,故答案为：66.

【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用'的次数建立

方程是解决本题的关键，是基础题.

7.若关于x,y的方程组有无穷多解，则实数，〃的值为4.

[mx+loy=8

【思路分析】根据题意，分析可得直线X+my=2和,nr+16y=8平行，由此求出”?的值,

即可得答案.

【解析】根据题意，若关于x,丁的方程组厂+“?：2有无穷多解，

[g+16y=8

贝U直线％+〃2y=2和〃zr+16y=8重合，贝(]有lxl6=mxm,即〃，=16，解可得加=±4,

当机=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，

当〃?=T时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故帆=4.故答案为：4

【试题评价】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题.

8.已知在AABC中，ZA=-,AB=2,AC=3,则AABC的外接圆半径为—.

3一3一

【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.

【解析】在AABC中，ZA=-,AB=2,AC=3,

3

利用余弦定理BC-=AC2+AB2-2AB-ACcosA,整理彳导BC=H,

所以生=2R,解得R=".故答案为：胆.

sinA33

【试题评价】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学

思维能力，属于基础题.

9.用数字L2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个

数为17.(用数字作答)

【思路分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【解析】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,

当其千位数字为3或4时，有2A；=12种情况,即有12个符合题意的四位数,

当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134,则有6-1=5个比2134大的四

位数，

故有12+5=17个比2134大的四位数,故答案为：17.

【试题评价】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题.

10在AABC中，/4=90。，AB=AC=2点用为边钻的中点点P在边3c上^MP-CP

的最小值为-2.

—8-

【思路分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出MPCP=2X2-3X,再利用

二次函数求最值即可.

【解析】建立平面直角坐标系如下，则B(2,0),C(0,2),M(l,0),

直线8c的方程为二+上=1,即x+y=2,

22

点户在直线上，设P(x,2-x),

A/P=(x-l,2-x),CP=(x,-x),

—•—-、3,99

・•.MPCP=XU-1)-X(2-A:)=2X2-3X=2(X--)2,

M户・c户的最小值为-2.故答案为：-2

AMBx

【试题评价】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题.

2

11.已知6(占，y),P2(x2,y2)两点均在双曲线r:=1伍＞0)的右支上，若X[W＞Xy2

恒成立，则实数。的取值范围为_U,+oo)_.

【思路分析】取鸟的对称点鸟(与，-%)，结合国马＞乂%，可得o['oR＞o,然后可得渐

近线夹角ZMON”9()。，代入渐近线斜率计算即可求得.

【解析】设乙的对称点鸟(％,-%)仍在双曲线右支，由，

彳导%%—乂%＞。，即。+oR＞o恒成立，

•.NROP、恒为锐角，即4MoN,,90°,

.•.其中一条渐近线的斜率L1,

a.A,所以实数。的取值范围为U,-KO).故答案为：11,+00).

,/P\

*

【试题评价】本题考查了双曲线的性质，是中档题.

12.已知函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe(0,1]时，

/(X)=Inx,若将方程/(x)=x+l的正实数根从小到大依次记为X,工2，，…，尤〃，则

lim(x-xJ=_2_.

〃一＞00ZI+I

【思路分析】f(x)是周期为4的周期函数，作出图象，X,,)的几何意义是两条渐

〃一＞00

近线之间的距离，由此能求出结果.

【解析】•.•函数y=/(%)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=1对称，且当xe(0,1J时,

/(x)=Inx,

・•・/(x)是周期为4的周期函数，图象如图：

将方程/（x）=x+l的正实数根从小到大依次记为X,々，了3，…，R〃，

则lim-―乙）的几何意义是两条渐近线之间的距离2,

“一>8

，-％）=2.

M-40C

故答案为：2.

【试题评价】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生

应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.下列函数定义域为R的是（）

,11।

A.y=x2B.y=x''C.y=x3D.y=后

【思路分析】化分数指数幕为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.

..1

【解析】y=x2=-j=,定义域为{x|x>0},

y=x-'=-,定义域为{xlx/0},

X

y=x3=y/x,定义域为R,

2

y=x2=4x，定义域为{x|x..O}.

.•.定义域为A的是y=）.故选：C.

【试题评价】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

14.若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

【思路分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解析】对于A,令。=2,b=\tc=-\,d=-2,满足，但a+d=〃+c,

故A错误，

对于8,\-a>b>c>d,SPa>b,c>d,

..由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故3正确，

对于C,令a=2,b=\.c=-l,d=-2,满足a>b>c>cl，但ac=bd,故C错误,

对于D，令a=2,h=\,c=-l,d=-2,满足a>h>c>d，但advbc，故。错误.

故选：B.

【试题评价】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题.

15.上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧

面，则每天。点至12点（包含。点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（

）

A.0B.2C.4D.12

【思路分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.

【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，

,每天0点至12点（包含0点，不含12点），

相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,

故选：B.

【试题评价】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系，考查推理论证能力，是中档题.

16.已知等比数列｛叫的前〃项和为5„,前“项积为T„,则下列选项判断正确的是（）

A.若S2必〉与⑼，则数列｛《,）是递增数列

B.若小2＞加「则数列｛”,｝是递增数列

＜：.若数列｛5“｝是递增数列，则a2022--4021

D.若数列｛7；｝是递增数列，则出*此⑼

【思路分析】反例判断A；反例判断8；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推

出数列公比以及数列项的范围，即可判断。.

【解析】如果数列4=-1,公比为-2,满足S2022f，但是数列｛为｝不是递增数列，所

以A不正确；

如果数列q=1,公比为，满足T2O22＞7一但是数列｛q｝不是递增数列，所以B不正确；

1-（1）n

如果数列4=1,公比为g,S„=—^-=2（1-^），数列｛S,,｝是递增数列，但是a2Mqm，

2

所以C不正确；

数列《｝是递增数列，可知方＞%,可得4,＞1，所以/」，可得%）22”诬正确，所以D正

确；

故选：D.

【试题评价】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题.

三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必

要的步骤.

17.(14分)如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、。一M为圆柱的母线，底面

半径长为1.

(1)若伍=4,M为的中点，求直线M()t与上底面所成角的大小；(结果用反三角函

数值表示)

(2)若圆柱过。日的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积.

【思路分析】(1)转化为解直角三角形问题求解；(2)用圆柱体积和侧面积公式求解.

【解析】(1)因为你为圆柱的母线，所以的垂直于上底面，

所以NMO]A是直线MOt与上底面所成角,tanZMO,4="=2=2,

GA1

所以NMQ4=arctan2.

(2)因为圆柱过的截面为正方形，所以44,=2,

所以圆柱的体积为V=7tr2h=乃•F.2=2%，

圆柱的侧面积为S=2zrr/i=27c-1-2=4万.

【试题评价】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于

中档题.

18.(14分)已知在数列｛4｝中，。2=1,其前〃项和为S“.

(1)若｛%｝是等比数列，邑=3,求limS“；

(2)若｛4｝是等差数列，S2n..n,求其公差d的取值范围.

【思路分析】(1)由已知求得等比数列的公比，再求出前〃项和，求极限得答案；

(2)求出等差数列的前2〃项和，代入,对”分类分析得答案.

【解析】(1)在等比数列｛《,｝中，生=1,$2=3，则4=2,

二公比4，贝!JS.=^^=4(1-：),

Z1一12

limS„=lim4(l--)=4；

H-yxi2"

(2)若例｝是等差数列,

贝IJ昆“=(皈[、一)?”=242+(2_3d)n..n,

即(3-2〃)d,,l,当〃=1时，4,1;

当〃..2时，d...—'―恒成立，•••」一e[-l,0),：.d..O.

3-2〃3-2〃

综上所述，de[O,1].

【试题评价】本题考查等差数列与等比数列前"项和，考查数列极限的求法，考查数列的函

数特性及应用，是中档题.

19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空

线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块A8C£>,AS=30m,AD=\5m.为

保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史

古迹封闭区.若空线入线口为回边上的点E,出线口为8边上的点尸,施工要求砂与

封闭区边界相切，断右侧的四边形地块3CFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到

0.1w,计算面积精确到0.01m2)

(1)若ZA£>E=20。，求斯的长；

(2)当入线口£在川上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

【思路分析】(1)作。防，然后结合锐角三角函数定义表示出所，

(2)设“)3,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积，结合同角

基本关系进行化简，再由基本不等式可求.

【解析】(1)作。"，£尸,垂足为H,

则EF=EH+HF=15tan200+15tan50°®23.3m；

(2)设ZADE=6,贝!IAE=15tan6»,切=15tan(90。-26),

S四边形AOEF=2sl+SNXH=2X1X15X1StanO+gx15x155(90。-20},

=—(30tan。+15cot2。)="(30tan<9+15x1土=—(3tan0+,

222tan6^4tan。3

当且仅当3lan®=——,即1即。="时取等号,此时A石=15tan6=5\/5,最大面积为

tan。3

【试题评价】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问

题抽象出数学问题，属于中档题.

20.(16分)已知椭圆「:二+丁=15>1),A、8两点分别为「的左顶点、下顶点，C、

a

。两点均在直线/：x=4上，且C在第一象限.

(1)设厂是椭圆「的右焦点，且=5，求「的标准方程；

6

(2)若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆「上，

并说明理由；

(3)设直线4)、BC分别交椭圆「于点P、点。，若P、Q关于原点对称，求|8|的最

小值.

【思路分析】(1)根据条件可得tanZAFB=l,解出c,利用a2=62+c2,求得。，即可

C

求得答案；

(2)分别表示出此时直线8C、直线4)的方程，求出其交点，验证即可；

(3)设/"(acosasin。),Q-acosH-sin。)，表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D

坐标，表示出|8|,再利用基本不等式即可求出答案.

【解析】(1)由题可得仇0T),尸(c,0),

因为=M,所以tanNAFB」」=tan工=3,解得c=6,

6cc63

2

所以a2=l+(G)2=4,故「的标准方程为工+y2=l；

4

(2)直线4)与直线BC的交点在椭圆上，

由题可得此时A(-a,0),B(O,-1),C(a,2),D(o,l),

，满足号+

贝!J直线BC:y=』x-l,^^AD:y=—x+-,交点为(的，—)

a2a255CT

故直线与直线8c的交点在椭圆上；

sin9+1

(3)B(0,-l),P(acos6,sin。),则直线BP:y=x-i,所以cm,包丝—i),

acosOCOSJ

sin。+。)，所以£)(4,2si："),

A(-a,0),Q-acos。,-sin。)，贝！］直线AQ:y=«

acosO-arcos0-1

2si/8s*s加。+侬"人.60

4sin—cos—

所以|C0=独四T-当辿222222i

T，

COS。cos。一1o0

cos"—sm~—-2sin~—

222

nii

设tan-=f,则|C0=2(——+-)-2,

21-rt

因为4，-,所以—^―+L.~--=4,

aba+b\-tt\-t-vt

则IC0..6,即|8|的最小值为6.

【试题评价】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等

式的应用，属于中档题.

21.(18分)已知函数/(x)的定义域为R,现有两种对/3)变换的操作：9变换：

fM