2022年中考数学专题复习：二次函数综合题（角度问题）

2022年中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)

1.如图，抛物线产加+灰-3与x轴交于A(-1,0),8(3,0)两点，与＞轴交于点C,

(1)求抛物线的解析式.

(2)点N是y轴负半轴上的一点，且。7=血，点。在对称轴右侧的抛物线上运动，连

接Q。，Q。与抛物线的对称轴交于点"，连接MN,当MN平分NOMZ)时，求点〃

的坐标.

(3)直线BC交对称轴于点E,尸是坐标平面内一点，请直接写出APCE与全等

时点P的坐标.

2.如图1,已知抛物线丫=以2+法+36,与x轴交于点A(-2,0),点8(6,0)与y轴交

于点C,抛物线的顶点为M,其对称轴与x轴交于。点.

(1)抛物线解析式为，顶点M的坐标为

(2)判断AMAB的形状，并说明理曲;

(3)如图2,点尸是线段MQ上的一个动点(点尸与点〃、点。不重合)，连结B4、

PB,过点B作8DLAP,射线8Z)交射线AP于点。，交抛物线于点E;过点E作

EFLAB,垂足为点F,EF交射线3P于点G.

①当经尸时，请求出此时点P的坐标；

BF

②当NAP3=135。时，请你直接写出"的值.

3.如图，已知抛物线工浸+灯+c经过4-1,0),5(2,0)8(0,2)三点，点。在该抛物

线的对称轴/上.

(1)求抛物线的表达式；

(2)若D4=DC,求/AOC的度数及点。的坐标；

(3)若在(2)的条件下，点尸在该抛物线上，当NP3C=NZMB时，请直接给出点P的

坐标.

4.如图1,二次函数y=ax2+/jx+c的图象交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交)，轴

于点C(0,-3),直线/经过点8.

图3图4

(1)求二次函数的表达式和顶点。的坐标;

(2)如图2,当直线/过点力时，求ABC。的面积；

(3)如图3,直线/与抛物线有另一个交点E,且点E使得NBAC-NCBE>45。，求点E

的横坐标机的取值范围；

(4)如图4,动点F在直线/上，作/CFG=45。，FG与线段A8交于点G,连接CG,

当△A8C与△CFG相似，且LCFG最小时，在直线/上是否存在一点”，使得NF/7G

=45。存在，请求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图，抛物线尸漏+(苏+3卜-(6〃7+9)与x轴交于点4、B,与y轴交于点C,

己知8(3,0).

(1)求〃?的值和直线BC对应的函数表达式；

(2)P为抛物线上一点，若SgBC=SA^c，请直接写出点尸的坐标；

(3)。为抛物线上一点，若ZACQ=45。，求点。的坐标.

6.抛物线y=-；x2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交V轴于C,直线

y=-x+4经过B,C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,P为直线BC上方的抛物线上一点尸。〃》轴交8c于。点，过点。作

。£_14(7于£点.设机=尸。+冬。£,求加的最大值及此时户点坐标；

(3)如图2,点N在旷轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛

物线上点"处，且NAMW+NACN=180。，求N点坐标.

图1图2

A

7.已知直线丁=一43+〃交x轴于点4,交y轴于点C(0,4),抛物线y=工/+笈+。经

过点A,交y轴于点8(0,-2),点尸为抛物线上一个动点，设尸的横坐标为

0),过点P作x轴的垂线PD,过点B作于点。，联结P艮

(1)求抛物线的解析式；

(2)当ABOP为等腰直角三角形时，求线段P。的长；

(3)将ABOP绕点B旋转得到△B0P,且旋转角NP8〃=/0AC,当点P对应点P'落

在y轴上时，求点P的坐标.

8.如图1,已知直线y=-gx+l与x轴交于点8,与y轴交于点A,将直线48向下

平移，分别与x轴、y轴交于。、C两点，且OC=Q4,以点B为顶点的抛物线经过点

A,点M是线段AB(不含端点)上的一个动点.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,Mi,M2分别是点M关于直线CA,C8的对称点，连接CMi,CM2,

M1M2,求证：ACMiM2s△CDB；

(3)如图2,作分别交抛物线和直线CO于P,E两点.点。是QE上一动

点，当线段PE长最小且NEPQ=/C£>。时，求点。的坐标.

9.如图1,已知抛物线y=x2-l与x轴交于A,B两点,与y轴交于点£>.

(1)求直线的解析式；

(2)尸为抛物线上一点，当点P到直线2。的距离为20时，求点P的坐标；

(3)如图2,直线>=，交抛物线与M,N两点，C为抛物线上一点，当NMCN=90。

时，请探究点C到MN的距离是否为定值.

图1图2

10.在平面直角坐标系中，抛物线＞=：/+云+。经过点4-4,0),点"为抛物线的

顶点，点B在y轴上，且。4=03,直线AB与抛物线在第一象限交于点c(2,6),如

图.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线AB的函数解析式、点拉的坐标和NA8。的余弦值.

(3)连接OC,若过点0的直线交线段AC于点P,将△AOC的面积分成1:2的两部

分，求点P的坐标为.

11.如图1,抛物线)'=依2+乐+6与X轴交于点A(2,0)B(6,0),与y轴交于点

C,连接AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求N4CB的正切值；

(3)如图2,过点C的直线交抛物线于点。，若448=45。，求点。的坐标.

12.已知：抛物线丫=4f+2交x轴于A(-1,0),8两点

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点C是第二象限抛物线上的一个动点，连接AC,BC,设点C的横坐标

为1,AA8C的面积为S,求S与r之间的函数关系式(不要求写出自变量f的取值范

围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，点O在第一象限，连接AD,BD,且AT＞=Afi,在

A£)的上方作㈤=AE分别交BO的延长线，y轴于点E,F,连接£)尸，

且ZAFO=3FE,8c交AOF点G,若点G是A£＞的中点，求S的值.

13.综合与探究

如图，抛物线)，=-/+区+,经过A(TO),。(3,4)两点，直线AO与丁轴交于点

。.点尸(加,〃)是直线A£＞上方抛物线上的一个动点，过点P作PF_Lx轴，垂足为

F,并且交直线AD于点E.

(1)请直接写出抛物线与直线AZ)的函数关系表达式；

(2)当CP/AD时，求出点P的坐标；

(3)是否存在点尸，ZCPE=NQFE?若存在，求出加的值；若不存在，请说明理

由.

14.如图，己知点A（-1,O）,8（3,0）,。（0,1）在抛物线、=办2+法+0上.

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上求一点尸，使APBC的面积为1；

（3）若点〃是抛物线对称轴上一动点，当|AM-Q0|的值最大时，求M点的坐标;

（4）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q,使N80C=NB4C?若存

在，求出。点坐标；若不存在，说明理由.

15.如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与工轴交于

A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点

E,点P在对称轴上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线CM与x轴交于点D,若ZDME=，APE,求点P的坐标；

（3）请探索：是否存在这样的点P,使NANB=2-APE?若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

16.抛物线y=/+云+c与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴负半轴

交于点C,08=OC,点。（2,—3）在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点打!加,如7+1)(n为任意实数)，当m变化时，点P在直线1上运动，若点

A,D到直线1的距离相等，求k的值；

(3)M为抛物线在第二象限内一动点，若NAA">45。，求点M的横坐标与的取值

范围.

17.已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+2与x轴交于点A,与y轴交

于点B,抛物线y=-gx2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.

(1)直接写出点A和点B的坐标

(2)求抛物线的解析式

(3)D为直线AB上方抛物线上一动点

①连接DO交AB于点E,若DE：0E=3：4,求点D的坐标

②是否存在点D,使得NDBA的度数恰好是NBAC的2倍，如果存在，求点D的坐

标，如果不存在，请说明理由.

缶用图

18.如图，抛物线^="-2奴+'与x轴交于点A(-2,0)和B两点，点C(6,4)在抛物

线上.

(1)直接写出B点坐标：,抛物线解析式为

(一般式);

(2)如图1,。为y轴左侧抛物线上一点，且NDC4=2NC4B,求点。的坐标；

(3)如图2,直线N=〃a+"与抛物线交于点E、F,连接CE、CT分别交y轴于点

M.N,若OM-ON=3,求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标.

19.综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x2+fer+c(c<0)的顶点为A,

且与y轴的交点为B,过点B作5C//X轴交抛物线于点C(-4,-4),在CB延长线上取

点D,使=连接OC,OD,AC和AD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)试判断四边形ADOC的形状，并说明理由；

(3)试探究在抛物线上是否存在点P,使得NPOC=45。.若存在，请求出符合条件

的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

20.已知抛物线过点A(-4,0),顶点坐标为C(-2,-1).

(1)求这个抛物线的解析式.

(2)点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1,点P在x轴上方抛物线上一点，且

NPAB=45。，求点P的坐标.

(3)点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于

点D.连结MD交两坐标轴于E、F点.求证：OE=OF.

参考答案:

1.(1)M(1，D或%(I)

(2)y=x2-2x-3

(3)R(-3,Y)或旦(-1,-6)或Q(2,I)或《(4,-1).

【解析】

【分析】

(1)用待定系数法，直接将48代入解析式即可求解；

(2)由MN平分NO〃。，MZ)平行ON即可求出QM=QN=V5,继而得出M点坐标；

(3)由4C,。三点的坐标可得AACD三边长，由CE坐标可得APCE和A4CD中

CD=CE,则另两组边对应相等即可，设P点坐标为(x,y)；利用两点间距离公式即列方程

求解.

(1)

解：•.•抛物线丫=奴2+灰-3经过8(3,0)两点，

a-h-3=0

9a+3b—3=0

抛物线的解析式为：y=/-2x-3.

⑵

解：如图1,设对称轴与X轴交于点H,

MB

答案第1页，共56页

・・・MV平分NOMD,

:.ZOMN=QMN,

又:DMIION,

:.ADMN=ZMNO,

:./MNO=NOMN,

OM=ON=叵.

•••抛物线解析式为y=d-2x—3=(X-1)2—4,

抛物线对称轴为直线x=1,

在Rt\OHM中，4JHM=90°,0/7=1.

HM=y/OM2-OH2=J(扬-I=1,

；历式1,-1).

(3)

解：由题意可知：4-1,0),0(0,-3),D(l,-4),

AC=7(-l-O)2+(O+3)2=Vio，

AD=7(-l-D2+(0+4)2=2>/5,

CD=7(0-l)2+(-3+4)2=V2，

••・直线BC经过8(3,0),C(0,-3),

二直线BC解析式为y=x—3,

,•・抛物线对称轴为x=l,而直线8c交对称轴于点E,

；.£坐标为(1,-2)；

CE=7(0-1)2+(-2+3)2=V2,

设尸点坐标为(x,y),

则C产=(x-0f+(y+3)2,

贝IJE产=(x-l)2+(y+2>,

■.CE=CD,若APCE与AACD全等，有两种情况，

当尸C=AC,PE=AD,B|jAPCEsAACD.

答案第2页，共56页

.j(x-0)2+(y+3)2=10

"|(x-l)2+(y+2)2=20*

Aj=-3x,=-1

解得:

>1=_4'>2=-6

即尸点坐标为6(-3,-4),々(-1,-6).

当PC=AD,PE=AC,g|JAPCEsAACD.

f(x-0)2+(y+3)2=20

'[(x-l)2+(y+2)2=10，

即P点坐标为1(2,1),学4-1).

故若APCE与AACD全等，P点有四个，坐标为率-3,T),鸟(-1,-6),6(2,1),乙(4,-1).

【点睛】

本题主要考查了二次函数与几何图形的综合.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形

结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

2.⑴y=-乎/+也%+3>/^,倒，46)；

(2)AMAB为等边三角形，理由详见解析；

【解析】

【分析】

(1)把A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；求解顶点坐标直接代入顶点坐标公式即

可.

(2)点M在函数对称轴上，故tan/M4Q=丝&=迪=6,即/M4Q=60。，即

AQ4

可得到△MA5的形状.

(3)①△A3。名WEB尸时，BF=BD,即点E在点M重合，即可求解：②如下图，设

答案第3页，共56页

_a

PD=a,则8D=a,PB=J^“=AP,在四△A3。中，tana="厂=应-1,分别计算GF、

a+>j2a

E尸的长度即可求解.

(1)

把点A、B坐标代入二次函数表达式得,

0=40-26+3石

0=36〃+6b+3石

解得"4

b=5/3

•••二次函数表达式为：y=-@f+Gx+36.

4

顶点M坐标：X=--^-=2,y=4aC~b=4^/3

2a'4a

⑵

△MAB为等边三角形.

理由如下：在对称轴上，

：.MA=MB,tanZMAg=^-=：-Ji

AQ4

ZMAQ=60°

...△M48为等边三角形.

(3)

①△AB。丝CEBF时，BF=BD,即点E在点”重合,

止匕时，AP在MB的中垂线上，则/%。=30。，

贝|JPQ=AQ“an3(r=(2+2)*¥=^,

即点心,明

②设44Q=a,则NPBQ=a,ZFEB=a

VZAPB=135°,贝lJ/OPB=45°,

设尸。=。，则BD=a,PB=0〃=AP，

答案第4页，共56页

SRtAABD,tana="厂=啦-1

a+\J2a

在RtAGBF中，GF=BF.tana

BF

在中，EF=-------,

tana

EG=EF-GF=BF(———tana)=2,

tana

BF1

n即iI——=-.

EG2

【点睛】

本题考查了二次函数的综合知识，涉及到三角形全等、解直角三角形等知识点，综合程度

较高.

3.(1)y=-x2+x+2

⑵乙M>C=90。，点。的坐标为

⑶点尸的坐标为(1,2)或\;

【解析】

【分析】

(1)由A、B、C的坐标，待定系数法求函数解析式即可；

(2)根据抛物线的对称轴x=；,设点。的坐标为(；,，")，由D4=DC,利用两点距离

公式列方程求得m,再由△D4c的三边关系计算NCD4即可；

(3)点尸的位置有两种情形，分别在直线8c的上方和下方：①当点P在直线BC的上方

时，由N《BA=NC4B,根据抛物线的对称性片和C关于对称轴/对称，即可解答；②当点

P在直线BC的下方时，根据BC_Ly轴，得△CE8丝△CP/8(ASA),则CE=CP/,求得E

点坐标，再与B点坐标得出直线8E的表达式；进而与抛物线联立求得P2坐标；

(1)

解：：抛物线y=a%2+bx+c经过A(-LO),8(2,0),C(0,2)三点,

。一〃+c=0a=-\

<4。+25+c=0,解得：b=T,

c=2c=2

答案第5页，共56页

.•.抛物线的表达式为y=-丁+X+2.

(2)

解：抛物线的对称轴/为x=g,设点。的坐标为

VA(-l,0),3(2,0),C(0,2),

由两点距离公式可得：

DA2=-+m2,DC2=-+(m-2]2,AC2=5,

44

1

z2

+/2=-+(m-1

VDA=DC,则Z)A2=OC2,T»4\—

解得：即o(g,|),

，DAr=~,DC2=-,

22

,?DA2+DC2=AC-,：.ZADC=90°；

⑶

解：如图：点尸在直线BC的上方时，记为《，点P在直线3c的下方时，记为鸟，抛物线

对称轴为/,与x轴交于点E,连接AC,

①当点P在直线8c的上方时，

VZP,BC=ZDAB,又NC4D=ZABC=45。，N[8A=NCAB,

：A和B关于对称轴/对称，.•.直线[B和C4关于对称轴/对称，

又P,和C均在抛物线上，...A和C关于对称轴I对称，

答案第6页，共56页

vc(o,2),对称轴/为X=<的坐标为(1,2)；

②当点P在直线BC的下方时，

,/P/C_Ly轴，则NECB=NPiCB=45。,

'：ZEBC=ZPiBC,BC=BC,

：.^CEB^/\CP,B(ASA),：.CE=CPi,

R的坐标为(1,2),.•.€：£=C6=l,又0C=2,的坐标为(0,1),

•••8(2,0),.•.直线26的表达式为y=-gx+l,

则由,y=~2X+i,解得鸟的坐标为';(另一点为8),

y=-x2+x+2'J

综上所述点P的坐标为(1,2)或(-；,：).

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，勾股定理及其逆定理，一次函数与二次函数

的综合，此题综合性强难度大，结合对称的性质求二次函数与直线的交点是解题关键.

4.(1)二次函数的表达式为y=/-2x-3,顶点。的坐标为(1,-4)

(2)2

⑶-|<m<2

(4)存在，点77的坐标为：弓，g)或)

【解析】

【分析】

(1)运用待定系数法和配方法即可求得答案；

(2)先运用待定系数法求得直线/的解析式为y=2x-6,进而可得M(0,-6),CM=

3,OM=6,0c=3,OB=3,再运用-Sz1ABe-S.CDW,即可求得答

案；

(3)如图3,连接AC,在y轴上取点N(0,-9),连接3N交抛物线于点E,过点C作

d〃x轴交2N于点L在线段OC上截取CK=CL,连接BK交抛物线于点E",先证明

△AOC^/XBON,推出/BAC-/CBN=/O8C=45。，再运用待定系数法求得直线BN的

解析式为y=3x-9,通过联立方程组求得E，(2,-3)；再运用待定系数法求得直线BK的

答案第7页，共56页

解析式为y=gx-l,通过联立方程组可求得E"(-：，-y)；再根据N84C-NC8E>

45°,即可得出答案；

(4)过G作6/?_1_直线/于R,过，作〃TJ_x轴于T,过尸作FW_Lx轴于W,如图4,分

两种情况：①当△ABCs/\GFC时，②当△ASCsaCFG时，分别利用相似三角形的判定

和性质以及解直角三角形即可求得点H的坐标.

(1)

解：看，•.•二次函数y=ox2+fer+c的图象交工轴于点A(-1,0),8(3,0),

・・・设y=。(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入,

得：-3=〃(0+1)(0-3),

解得：。=1,

.\y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4,

・••二次函数的表达式为y=N-2x-3,顶点。的坐标为(1,-4)；

(2)

解：设直线/交)，轴于点M,如图2,

设直线/的解析式为y=H+d,把8(3,0),。(1,-4)代入，

「3女+d=0

得：7,一

\k+d=-4

图2

工直线/的解析式为y=2x-6,

令x=0,得＞=-6,

：.M(0,-6),

CM=3,OM=6,OC=3,03=3,

答案第8页，共56页

:.SABCD=SAOBM-SAOBC-SACDM=；X3X6-；x3x3-|x3xl=2；

(3)

解:'：B(3,0),C(0,-3),NBOC=90°,

；.OB=OC=3,

：.NOBC=NBCO=45。,

如图3,连接AC,在y轴上取点N(0,-9),连接BN交抛物线于点E,过点C作C乙〃x

轴交8N于点L,

在线段OC上截取CK=C3连接BK交抛物线于点E",

..OA\OB31

•~OC~3，~ON~9~3,

.OAOB

"''OC~ON

,/NAOC=NBON=90°,

：.△AOCS^BON,

：./Q4C=NOBN,即NBAC=NOBN,

：.ABAC-NCBN=NOBC=45°,

设直线8N的解析式为把8(3,0),N(0,-9)代入，得:

J3e+f=0

If=-9'

e=3

解得:

/=-9

直线BN的解析式为y=3x-9,

y=3x-9

联立方程组，得:

y=x2-2x-3

答案第9页，共56页

[I或广

解得:〔产一3[y=Q

・・・£(2,-3)；

TCL〃工轴，

・••点L的纵坐标为-3,

A3x-9=-3,

解得:x=2,

：.L(2,-3),

・・・CL=2,

・•・CK=2

：.K(0,-1),

设直线3K的解析式为把3(3,0),K(0,-1)代入，得:

\3m+n=0

[n=-\'

1

,,m=一

解得：3,

，直线BK的解析式为y=gx-1,

1,

y=—x—1

联立方程组，得：’3

y=X2-2x-3

2

x=——

fx=33

解得：八或<

[y=0

•尸，，(二_u

39

・.・CL〃x轴，

・・・ZBCL=ZOBC=450=ZBCK,

在△BCL和△BCK中，

CL=CK

<ZBCL=/BCE,

BC=BC

:•△BCLQABCK(SAS),

答案第10页，共56页

...ZCBK=ZCBE,即ZCBK=ZCBN,

"：ABAC-NCBN=ZOBC=45°,

：.ABAC-NCBK=45。，

VABAC-ZCBE>45°,

2

.••点E的横坐标m的取值范围为〈机<2；

(4)

解：过G作6/?1_直线/于R,过，作〃7;Lx轴于T,过产作FWJLx轴于W,如图4,

VA(-1,0),B(3,0),C(0,-3),

.".AC=V10>AB=4,BC=3五,ZABC—45°,

NCFG=45。，△CFG相似，

AZABC=ZCFG,点尸对应点8,边AC对应边CG,

,；SaC尸G最小，且△CFG与△ABC相似，形状不变，

，边CG最小，即CGLx轴,G与。重合，CG=CO=3,

分两种情况：

AQ,ABBC

①当△ABCS/XGFC时，——

CG~~FG~~CF

.V1043>/2

••-----------=-----f

3FGCF

：.FG=^^-,CF=越，

55

设厂(”，〃)，而G(0,0),C(0,-3),

机2+〃2=(缙)2

m2+(〃+3)2=(^^-)2

|18

m=—

解得：:，

6

n=——

5

令,ow=MFW=g,

，5W=0W-08=|,

答案第II页，共56页

6

FW7

为△8尸W中，tan/F8W=——=-f

BW3

5

RSGRB中，tan/G3R=tan/FBW=2,BPGR=2BR,

：.cosZGBR=苴,sinNGBR=巫,

55

又BG=3,

.*.BR=述，G/?=—

55

NFHG=45°,GR_L直线/于凡

：.HR=GR=^-,

5

:.BH=HR+BR=^~,

5

RSB”T中，tan/GBR=2,cos/GBR=叵,sinZGB/?=—,

55

；.BT=BH,@=2,HT=BH»—=—,

5555

：.GT=GB-BT=-,

5

.„,618.

••nk—,—）,

55

②当△ABCs/\c尸G时，一=—=—

ABBCAC

.CFFG3

**V-372"^To

...CF=述，FG=述，

55

i«o

设/（s,r）,方法同①可得/（£,-1）,

39

：.BW=-FW=-

5f5f

・・・tanNFBW=3,

ois

同①方法可得y）,

综上所述，点H的坐标为：（（，y）或（（，y））.

答案第12页，共56页

图4

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次

函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积，

三角函数等综合知识，题目难度大，解题的关键是画出图形，确定〃坐标，熟练运用三角

函数求线段长

5.(1)，I,y=x-3,⑵「(2』)，尸(三普，士普)，,乎,三叵|；

(3)Q

【解析】

【分析】

(1)求出A,8的坐标，用待定系数法计算即可;

(2)做点A关于BC的平行线联立直线A＜与抛物线的表达式可求出々的坐标，设

出直线4片与y轴的交点为G,将直线8C向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直

线AH，联立方程组即可求出P；

(3)取点Q,连接CQ,过点A作ACCQ于点。，过点。作OFJ_x轴于点尸，过点C

作CEJ•用于点E,得直线对应的表达式为y=gx-3,即可求出结果；

【详解】

(1)将5(3,0)代入丁=如2+(＞+3)x-(6/H+9),

化简得加2+6=0,则机=0(舍)或m=-1,

/.m=—{,

得：＞=-/+4了-3,则C(0,-3).

设直线BC对应的函数表达式为了=丘+力，

答案第13页，共56页

将8(3,0)、。(0,-3)代入可得7',解得％=1,

—j=b

则直线对应的函数表达式为y=x-3.

(2)如图，过点A作A《〃BC,设直线与y轴的交点为G,将直线BC向下平移GC

个单位，得到直线A2，

...直线AG的表达式为y=x-l,

联立U一3，

解得：\X=\(舍)，或1=；,

[y=0[y=i

：.4(2,1),

由直线AG的表达式可得G(-1,0),

AGC=2,CH=2,

直线3的表达式为y=x—5,

答案第14页，共56页

y=x-5

联立

y=-12+4X-3’

3+历3-V17

x,=---------

22

解得:

-7+717,-7-717'

x=---------

(3+717-73-V17-7-Vn'

:不，巴

2I22

'3+而-7+V173-V17-7-Vn'

/.P(2,l),P,P

22I22

(3)如图,取点Q,连接c。，过点A作AO_LC。于点。,

过点。作DF，x轴于点尸，过点C作CELDF于点E,

・.,ZACQ=45°,

:,AD=CD,

又・・・NADC=90。，

・・・ZADF+ZCDE=90°,

■:ZCDE+ZDCE=90°f

ZDCE=ZADF,

又「Z£=ZAf7)=90°,

/.\CDE^^DAF,则AF=£＞石，CE=DF.

设。E=Ab=a,

VOA=1,OF=CE,

答案第15页，共56页

CE=DF=a+\.

由OC=3,则OF=3-a,即a+l=3-a,解之得，a=l.

所以3(2,-2),又C(0,-3),

可得直线CD对应的表达式为y=；x-3,

设小-3)'代入y=_x2+4x—3,

।17

得一机-3=一m2+4加-3,—m=—nr+4m,nr——m=0,

222

又〃2H0,则，7?=g.所以

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键.

6.(1)y=~x2+^+4(2)加最大值是3,此时尸(3,2)(3)N(0,一

【解析】

【分析】

(1)由直线y=-x+4经过B,C两点，先求出点8,C的坐标，然后利用待定系数法求出

抛物线的解析式；

(2)根据表达式”?=P。+与。£,设出。点的坐标和P点的坐标，用含f的代数式分别表

达出线段P£>、DE,转化成m关于，的二次函数，再求出加的最大值及P点坐标；

(3)根据条件N/WM+NACM=180。，且AN=MN,利用三角形的全等去确定满足条件

的M、N点，再根据函数解析式求出坐标即可.

【详解】

解：(1)•.♦直线y=r+4经过B,C两点，当x=0时，y=4；当y=0,x=4；

.•.B(4,0),C(0,4),

:点、B,C在抛物线y=-gx2+/?x+c上,

[16八

----+4/7+c=0

.,.<3,

c=4

b=-

3,

c=4

答案第16页，共56页

11,

y=——x~2+—x+4；

33

(2)如图1,连接AO,延长产。交x轴于“，

•1,PDUy轴，

.♦.P”_Lx轴，

图1

设£>(f,T+4),+

PD=--r2+-z+4-(-/+4)=--r2+—r,

33'’33

S&ABC=^AADC+^/\ADB，

且A(—3,0),8(4,0),C(0,4),

x7x4=—AC.£>£+|x7x(-z+4),

22

VAC=V32+42=5>

:.DE=-t,

-.•m=PD+—DE,

21

.•…+2」5+3,

3321533V)

.•.当t=3时，〃，有最大值是3,此时P(3,2)；

(3)如图2,过N作NFLUC,交MC于点P,过N点作NG_LAC,交C4的延长线于

点G,

答案第17页，共56页

图2

则ZAGN=NCBV=NM/W=90。,

・•.ZACF+ZGNF=180°,

由旋转得:AN=MN,

・・・NAMW+NACW=18（）。，

•.NGNF=ZANM,

:.ZANG=ZMNF,

•;ZAGN=4MFN=哪,

:./\AGN=/\MFN（AAS）,

:.NG=NF,

二.NC平分ZACM

设直线CM交x轴于点K,

•.•CO±ABf

,\OK=OA=3f

・•.K（3,0）,

4

.tCK的解析式为：y=--x+4,

x+4=--x2-F-X+4,

333

解得：X=0,x2=5f

・•・M（5圄，

答案第18页，共56页

设N(O,y),

,/AN=MN,

•••由勾股定理得，(-3)2+/=52+fy+|

13

解得y=-§，

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图像与性质、

等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及

定理是解题的关键.

7.（I）y=3-1x-2；（2）；或3；⑶P（F，r或（J一桨）

【解析】

【分析】

（1）用点C，求一次函数解析式，再求点4的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式即

可；

24

（2）设点尸的横坐标为，小可得P（机，DCm,-2）,根据△BP。为等腰

24

直角三角形，则PD=BD；分两种情况：①当点尸在直线的上方时，PD=-m2--m,

24

列方程求解即可；②当点P在直线8。的下方时，m>0,BD=m,PD=--nr+-m,列方

33

程求解即可；

4

（3）由NP3户=NOAC,04=3,0C=4；可得AO5,继而可得sin/P3P=不，

3

f

cosZPBP=-f然后根据顺时针与逆时针旋转使点P，落在y轴上，构造直角三角形，利用

锐角三角函数求解即可.

【详解】

4

解：（1）由直线y=与x+〃过点C（0,4）,

得72=4,

4

・•・直线广一铲+4,

答案第19页，共56页

4

当尸0时，0=-铲+4,解得户3,

・・・A(3,0),

2

♦・•抛物线〉=§—+法+，经过点A(3,0),B(0,-2),

.[6+3〃+c=0

[c=—2

解得3,

（2）由题意设P（帆，gm2-gm-2）,D（加，-2）,

若为等腰直角三角形，贝l」PZ>8D,

2

①当点P在直线8。的上方时，PD=^m-mf

・・・加>0,・••点尸在y轴的右侧，BD=m,

.224

・,一m~——m-m,

33

7

解得m尸。(舍去)，加2=5,

24

②当点P在直线8。的下方时，m>0,BD=m,PD=--/n2,

.24

・・——m2+一二机,

33

解得加尸0（舍去），机2=g,

答案第20页，共56页

・・・当ABPO为等腰直角三角形时，尸。的长为|■或《；

(3)•:NPBP=NOAC,0A=3,0C=4,

43

：.AC=5,sinZPBP'=sinZOAC=-,cosNPBP'=±,

55

当点〃落在y轴上时，如图，过点©0作Z/VLx轴交BZ)于点M,过点P'作轴，

交的延长线于点N,

•••逆时针旋转，

:.ADBD="BP,PD=PD,BD=BD',

；NBD'M+NP'D'N=180°-NBD'P'=90°,ZD'BM+ZBD'M^90°,

：.ZP'D'N=ZD'BM,

：.ZDBD'=ZND'P1=ZPBP,

2.24,

/.P'D=PD=-m——m,BD=BD=xP=m9

33

在RtAPND中，P'N=P'D'.sinNN0尸=*|/-g机)，

3

在RtABMD，中，BM=BD'-cosZDBD'^^m,

'：PN=BM,

4243

即：一x(-iT?--in)--m,

5335

25

解得：m=—^m=O(舍去)，

o

2511

将，〃==代入抛物线得：y=E，

o32

答案第21页，共56页

当点P'落在y轴上时，如图，过点屏作DM_Lx轴交3。于点M,过点P作pR_Ly轴,

交MD的延长线于点M

:顺时针旋转

:.ADBD'=APBP,PU=PD,BD=BD',

NBD'M+NP'D'N=1800-NBDP=90。,/DBM+/BD，M=9。。,

：.4P'D'N=/D'BM,

：.ADBD'=Z/VD'P=/PBP,

42

/.P'D'=PD--m——rrT,BD=BD'=x=m,

33p

在用△P'M7中，PN=PO'・sinNN£>'P'=1(gm-|m2),

3

在Rt/\BMD'中，BM=BD'-cosZDBD'=^m,

'：PN=BM,

即：

5(33)5

7

解得：根=d或%=0(舍去)，

o

将机=/7代入抛物线得：y=-25会5，

X96

答案第22页，共56页

，当点尸对应点P'落在y轴上时，点尸的坐标(2二5，三11)或(7(，-冬255).

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，图形旋转，解直角三角形的应用等

知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想的运用.

8.(1)尸"1一x+1；(2)证明见解析；⑶(113,―25)或(35，23

【解析】

【分析】

(1)利用直线与坐标轴的交点，确定48的坐标，根据点8为抛物线的顶点，设出解析式

求解即可;

(2)利用对称的性质，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可；

(3)设点p的坐标，用点P的横坐标表示PE,转化为二次函数的最值，后根据等角的正切

值相等，分