2022年中考数学图形的旋转翻折平移问题

【中考命题猜想2】图形的旋转（旋转、翻折、平移）问题

【考纲解读】

平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或

其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系.这类实体的特点是：结论开

放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题

和解决问题的能力.在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，这一部分的分值比前

两年大幅度提高。

为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问

题，下面以近几年中考题为例说明其解法，供大家参考。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.“一定的方向”

称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。

平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等。

旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图

形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角.

旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角

翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180。后所形成的新的图形的变化。

翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重

合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。

解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。

翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多.另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般

的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得

大家留意。

图形沿某条线折叠，这条线就是对称轴，利用轴对称的性质并借助方程的的知识就能较快得到计算结

果。

由此看出，近几年中考，重点突出，试题贴近考生，贴近初中数学教学，图形运动的思想(图形的旋转、

翻折、平移三大运动)都一一考查到了.因此在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导我们的

复习，将是一种事半功倍的好方法。

平移与旋转实际上是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好

素材，也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容。题型多以填空题、计算题呈现。在解答此类问题时，

我们通常将其转换成全等求解。根据变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的

目的。

旋转具有以下特征：

(1)图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；

(2)对应点到旋转中心的距离相等；

(3)对应角、对应线段相等；

(4)图形的形状和大小都不变。

利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如

数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归

结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：

1、对称的思想：在平移、旋转、对称这些概念中，对称这一概念非常重要.它包括轴对称、旋转对

称、中心对称.对称是一种种要的思想方法，在解题的应用非常广泛.

2、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形

按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。

考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。旋转性质--对应线段、对

应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

【命题形式】

1.从考查的题型来看，本知识点主要以填空题或选择题的形式考查，题目简单，属于低档题.

2.从考查内容来看，涉及本知识点的重点有平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质；中心对称与中心对

称图形的概念；轴对称与轴对称图形的概念

3.从考查热点来看，

86

涉及本知识点的主要有平移、旋转、轴对称的性质；轴对称与轴对称图形；中心对称与中心对称图形；

用轴对称、平移、旋转的性质作图

【满分技巧】

一、图形的旋转变换：几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多于三角形、四边形结合。解决旋转变换问

题。首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后对应的两个图形全等

来解题。

旋转

一、单选题

例L如图，在矩形力中，NABD=60。,80=16,连接将绕点。顺时针旋转相（0。<〃<90。），

得到/9。。，连接59，CC,延长CC交59于点N,连接49，当NB<B，=NBNC时,贝必459的面积为（）

8V13-16>/3921

DB.—

510

【答案】c

【解析】

【分析】

过点。作DE_L力夕，交B'A的延长线于点E,利用直角三角形的边角关系可得的长，由旋转可知：DC=DC,

DB=DB',NCDC=NBDB\得到则/。CC=/089，利用三角形的内角和定理可得

NCDB=60。,于是NB/1B，=6O。；在中利用宜角三角形的边角关系可得DE,在R/A/TDE中，利用勾

股定理可求B'E，则/*=8£-/氏利用平行线之间的距离相等可得AXBB'中18'边上的高等于DE,利用三角形的

面积公式结论可求.

【详解】

解：过点。作次，交"/的延长线于点E,如图，

87

在矩形48。中，

VZABD=60°fBD=\6,

n

:・AD=BC=BD・sinZABD=i6x—=8^3.

2

由旋转可知：DC=DC,DB=DB\/CDC=/BDB1

.CDBD

^~CD~^D9

:•△CDCS^BDB:

：./DCC=NDBB：

：.4BNC=NCDB.

,:/CDB=/ABD,/BNC=4BAB\ZABD=60°f

・•・NBAB，=60。・

V/B4D=90。,

：.ZEAD=\SO°-/BAB'-ZBAD=30°.

>\DE=^AD=46,

AE=AD^cosZEAD=SGx走=12.

2

・•・"£=^Dr-DE1=4A/13•

：.WB，E-AE=4屈-12.

•:/BAB』/ABD=6。。,

：.ABf//BD.

・・・夕中ZQ边上的高等TDE.

SJBK=；*AB&DE

88

=/X（49-12）X4百

=8a-24G.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，过点。

作。E_L4B',添加适当的辅助线，利用直角三角形的边角关系求得4B'的长皑解题的关键.

例2.如图，在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,。为AMC内一点，分别连接以、PB、PC,当

ZAPB=NBPC=NCR4时，PA+PB+PC=421，则BC的值为（）

CB

A.1B.夜C.x/3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

将△8/%顺时针旋转60°,到"MN处，得至必8尸W,△/8N是等边三角形，证明C、P、例、N四点共线，且/C/N=90。,

设8C=x,贝I]/8=8N=2x,AC=y/3x,利用勾股定理计算即可.

【详解】

将顺时针旋转60。，到A8A/N处，则△8PA/,△48N是等边三角形，

ZBPM=ZBMP=60°,ZBAN=60°,PM=PB,BA=BN,PA=MN,

,：ACPB=ZBPA=Z.APC=ZBMN=120°,

ZBMP+ZBMN=180°,ZBPC+NBPM=180°,

89

；.C、P、M、N四点共线，

CP+PM+MN=CP+PB+PA=721，

VZBAC=30°,NBAN=60。,

：./04290°,

设8C=x,WlJAB=BN=2x,心底，

A(>/3X)2+(2X)2=(V21)2,

解得％=e，x=-V5,舍去，

故选c.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的

关键.

二、填空题

例3.如图，在AABC中，ZACB=45°,AB=4,ABAC=60°,。是边BC上的一个动点，连接仞，并将线段AD绕

点4逆时针旋转60。后得线段47,连接50,在点。运动过程中，线段8。'长度的最小值是.

【答案】76-72

【解析】

【分析】

过点8作3GJ.AC于点G,在AC上取点E,使AE=AB=4,连接DE，先根据直角三角形的性质、勾股定理可

得AG=2,8G=2百，根据等腰直角三角形的判定与性质可得CG=BG=2>/5,从而可得CE=2后-2,再根据旋

转的性质可得AD'=AD,ZDAD'=60°,然后根据三角形全等的判定证出根据全等三角形的性质可

得匹=3",最后根据垂线段最短可得当ED1.5C时，ED的长度最小，在RtaCDE中，解直角三角形即可得.

【详解】

解：如图，过点8作BGLAC于点G,在4c上取点E，使A£=43=4，连接OE,

90

・・・A8=4,NB4C=60。，

AG^-AB=2,BG=yjAB2-AG2=243,

2

vZACB=45°,

Rt@CG是等腰宜角三角形，

CG=BG=2s[3,

:.AC=AG+CG=2+2y/3,

:.CE=AC-AE^=2+2y/3-4=2>j3-2,

由旋转的性质得：AD'=AD,ZDAD'=60°,

：.ABAD+Z.BAD-f^°,

-.•Zfi4C=60°,

/.ZE4D+ZfiAD=60°,

：.ZEAD^ZBAiy,

AE=AB

在AADE和^ADB中，，/EAD=ABAD',

AD=AD'

:必ADE=AAO'B(SAS),

：.ED=Biy,

如图，由垂线段最短可知，当EDLBC时，EQ的长度最小,

6

在RtZ\C£>E中，DE=CEsmZACB=(2y/3-2)x—=y/6-42,

2

即线段班＞'长度的最小值是卡-灰,

故答案为：76-72.

91

【点睛】

本题考查了含3(r角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、解直角三角形

等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

例4.如图，AABC为边长为6的等边三角形，点D,E分别为AC和8c的中点，点F为AABC内部一点，且。尸=2,

连接防，将线段所绕点B按逆时针方向旋转60°得到BG,连接EG.

(1)当8、F、。三点共线时，线段所的长度为；

(2)在旋转过程中，线段EG的最小值为.

【答案】36-21

【解析】

【分析】

(1)在等边三角形ABC中，D为AC中点，可得NADB=900,由勾股定理可得BD的长，又B、F、0三点共

线，即可求得8尸：

(2)作线段AB的中点H,连接DH,作DF=2，连接防,将线段BF绕点B按逆时针方向旋转60°得至UBG，连接EG,

此时EG的值最小，根据旋转性质可知8F=BG.NF8C=60。，可得NHBF=/EBG,进而证明AfiHF三ABEG,即

可求出EG的值.

【详解】

解：(1)是等边三角形，边长为6,

.・.A8=AC=6,

QD为AC的中点，

AD=CD=^AC=3,BD±AC,

.\ZADB=90°,

：.BD=yjAB2-AD2=762-32=373，

•••点8、F、。三点共线，DF=2,

92

BF=BD-DF=36-2,

二线段8尸的长度为36-2:

(2)如图,作线段AB的中点H，连接,作OF=2，连接所,将线段BF绕点B按逆时针方向旋转60°得到BG，连接

EG,此时EG的值最小，

A4BC是等边三角形,边长为6,

：.AB=AC=6,Z/WC=60°,

・・,点。为AC的中点，点E为8c的中点，点，为AB的中点:，

.-.BDYAC,BE=-BC=3,BH=-AB=3,

22

:.ZADB=9Q°、BH=BE,

:.DH=-AB=3,

2

,:DF=2,

：.HF=DH-DF=3-2=1,

由旋转可知：BF=BG,ZFBC=60°,

.•.ZABC=NF6G=60°,

:.NHBF=/EBG,

在^BHF和MEG中，

BH=BE

，NHBF=NEBG,

BF=BG

:.\BHF三/^BEG〈SAS),

:.HF=EG=l,

・••在旋转过程中，线段EG的最小值为1.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、三角形的全等，旋转的性质，正确地理解题意并且作出

93

辅助线是解题的关键.

三、解答题

例5.如图1所示，在菱形/8C。和菱形中，点B,E在同一条直线上，P是线段C/的中点，连接P£»,

PG.

(1)若/BAD=ZAEF=120°,请直接写出ADPG的度数及标的值______.

(2)若ZBAD=ZAEF=120°,将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线ZC恰好与菱形AEFG的边

/E在同一直线上，如图2,此时，(1)中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明.

⑶若N8W=NA£F=180。-2a(0。<夕<90。)，将菱形绕点4顺时针旋转到图3的位置，求出得的值.

【答案】(1)立；

(2)(1)中的两个结论不发生改变，理由见解析：

(3)tana.

【解析】

【分析】

(1)延长GP交CO于"，由菱形的性质得出A8=a>=A£>,BE"CD,AG=FG,FG//BE,得出尸G〃CD,

得出内错角相等NPFG=NPC〃，由ASA证明△尸产G=APC”,得出FG=C",PG=PH,证出AG=C”，延长

DG=DH、山等腰三角形的三线合一性质得出。P_LG”，得出N3PG=90。：求出NA£)C=60。，得出

1PG

NPDG=NPDH=-ZADC=30。，由三角函数即可得出，•的值；

2PD

(2)延长GP交CE于"，连接£>〃、DG,由菱形的性质得出FG//EC,得出NGO=NHCP,由ASA证明

APFGWCH,得出尸G=C”，PG=PH,证出AG=C〃，AACD是等边三角形，得出4)=8,得出

ZEAG=ZADC=O)°,ZZMC=ZDC4=60°,求出NG4£>=60°,由册S证明AAPG三ACE>〃，得出DG=DH,

ZADG=NCDH,由等腰三角形的三线合一性质得出。尸_LG”,因此NOPG=90°,求出NGOP=30。，由三角函

数即可得出贵的值；

(3)延长GP到H,使得尸"=GP,连接CH、OG、。〃，延长QC交E4的延长线于点M,同(2)可证^PFG^PCH,

得出NGFC=NHCF,FG=CH,证出NGAD=Z£>C〃，AG=CH,由SAS证明

94

△ADG*CDH,得出NA£>G=NCr>〃，DG=DH、因此NG£>H=ZAZ)C=2a,得出NOPG=90。,

1PG

/GDP=—/GDH=a,即可得出一=tan«.

2PD

(1)

延长GP交CO于”，如图1所示：

・・・在菱形A8CD和菱形AEFG'P,

AB=CD=ADfBE//CD,AG=FG,FGHBE,

：,FG//CD.

;.APFG=/PCH,

・・・尸是线段。尸的中点，

;.PF=PC,

在△2打；和△「四中，

ZPFG=ZPCH

PF=PC,

ZFPG=ZCPH

:APFG=APCH(ASA),

:.FG=CH,PG=PH,

・,.AG=CH,

:.DG=DH,

s.DPLGH(三线合一),

ZDPG=90°；

vZBAE>=120°,

,\ZADC=60°t

ZPDG=ZPDH=-ZADC=30°,

2

二.—=tanZ.PDG=tan30°=—；

PD3

ffll

(2)

(1)中的两个结论不发生改变；理由如下：

延长G尸交CE于“，连接Q”、DG,如图2所示：

•・•四边形AEFG为菱形，

95

：.FG//EC,

NGFP=NHCP,

・・・P是线段C尸的中点，

:.PF=PC,

在和△PCM中，

VGFP=ZHCP

<PF=PC,

NFPG=/CPH

：APFG三4PCHIAS0,

:.FG=CH,PG=PH,

vFG=AG,

AG=CH,

•・•四边形ABC。是菱形，

AC=CD,

-ZBAD=ZAEF=120°,

/.ZACD=60°,

.•.△ACO是等边三角形，

:.AD=CD,

/.ZEAG=ZADC=60°fZDAC=ZDCA=60°f

/.ZGAD=180O-ZEAG-ZDAC=60°,

在△AOG和△CM中，

AD=CD

<Z.GAD=4DCH,

AG=CH

.•.△ADG*CDH(SAS),

:,DG=DH,ZADG=NCDH,

・,.DPLGH,

•.NDPG=90。,NGO"=ZADC=60。，

.•.NGDP=30。,

.PG2八。6

••=ftan30°=—；

96

图2

(3)

延长GP到”，使得尸〃=GP,连接CH、DG、DH,延长。C交必的延长线于点M,如图3所示:

同(2)可证/fG三△PC”，

:"GFC=/HCF,FG=CH,

:.FG//CHf

-FG//AE,

:.CHI/EM,

Z.DCH=ZM,

QCD//AB,

.,.ZM=ZMAB，

.\ZDCH=ZMAB,

•・•ZBAD=ZAEF=180°-2a,

：.ZEAG=ZADC=2a,

ZGAM=180°-2«,

/.ZGAD=ZBAM,

・•./GAD=/DCH,

•/AG=FG,

:.AG=CHf

在ziADG和△CDF/中，

AD=CD

<ZGAD=ZDCH,

AG=CH

：.^ADG^CDH(SAS),

:.ZADG=4CDH,DG=DH,

・•./GDH=ZADC=2a,

:"DPG=90。，NGDP=>/GDH=a,

97

PG

：.-----=tana.

PD

【点睛】

本题是几何变换综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数、等边三

角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线，并且需要多次证明三角形全等才能得出

结果.

例6.新定义：如图1（图2,图3）,在AABC中，把边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得

到△AB'C',若4AC+/a4'C=180。，我们称△AB'C'是AABC的“旋补三角形"，△AB'C的中线AD叫做AABC

的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”

（1）【特例感知】

①若AABC是等边三角形（如图2）,8c=4,则AD=；

②若/B4C=90。（如图3）,BC=6,AD=；

（2）【猜想论证】

在图1中，当是任意三角形时，猜想AO与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点8'作且

B'E=AC,连接C'E,则四边形他'EC是平行四边形.）

（3）【拓展应用】

如图4,点A,B,C,。都在半径为5的圆尸上，且AB与CO不平行，4）=6,△〃>£>是的“旋补三角

形”，点P是“旋补中心”，求BC的长.

【答案】（1）①2；②3

（2）AD=^BC,理由见解析

98

(3)8

【解析】

【分析】

(1)①根据等边三角形的性质可得出AB=AC=4、Z£E4C=60o,结合“旋补三角形”的定义可得出AB'=AC'=4、

ZB'AC=120°,利用等腰三角形的三线合一可得出NAOC=90。，通过解直角三角形可求出AD的长度；

②由“旋补三角形”的定义可得出NB'AC'=9()o=/54C、Ag=AB，、AC=AC',进而可得出△ABC四△AB'C'(S45),

根据全等三角形的性质可得出8C=BC=6,再利用直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半即可求出AO的长

度；；

(2)AD=^BC,过点B'作B'E〃AC,8'E=AC',连接C'E、OE,则四边形AB'EC是平行四边形，根据平行

四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出/BAC=ZA9E、BA=Aff，CA=EB,进而可证出△BACZzVlB'E

(SAS),根据全等三角形的性质可得出BC=AE,由平行四边形的对角线互相平分即可证出AO=gBC：

(3)过点P作PF_LBC于点/，由(2)的结论可求出P尸的长度，在RABPF中,利用勾股定理可求出所的长

度，进而可求出8c的长度.

(1)

解：①是等边三角形，BC=4,

二AB=AC=4、ZBAC=60°,

AB'=AC=4,ZB'AC'=120°,

；AO为等腰△AB'C"的中线，

AADIB'C',NC'=30。，

NA£)C'=90。，

在RAADC'中，ZADC'=90°,AC=4,NC'=30°,

AD=-AC'^2；

2

②；4c=90°,

ZB'AC'=90°,

在“BC和△M'C”中，

AB=AB'

<ZBAC=/B'AC',

AC=AC

：./\ABC^/\AB'C(SAS),

：.BC'=BC=6,

：.AD^-B'C=3-,

2

故答案为：①2；②3

99

⑵

AD=^BC,理由如下：

证明：在图1中，过点8'作8右〃AC'且£E=AC',连接C'E、DE，则四边形AB'EC是平行四边形.

,?NBAC+ZB'AC'=180°,ZB'AC+ZAffE=180°,

ABAC=ZAB'S,

XVAC=AC

：.CA=Eff

在ABAC和AAB'E中，

,BA=AB'

-ZBAC=ZAB'E,

CA=EB'

:.ABAC冬AAEE(SAS),

：.BC=AE,

又；AD=LAE,

2

AD=-BC-,

2

图1

(3)

如图，过点P作尸FLBC,则BE=CF

VPB=PC,PFLBC,

P尸为ZXBC的中线，

PF=-AD=3.

2

在R/ABPF中，NBFP=90。,PB=5,PF=3,

BF=JPB'-PF?=4，

：.BC=2BF=8.

100

A

图4

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理以及全等

三角形的判定与性质.解题的关键是：（1）①利用含30。角的直角三角形求出A£>=；AC'；②牢记直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半；（2）构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分找出AO=3AE=3BC；（3）

利用（2）的结论结合勾股定理求出班"的长度.

二、图形的翻折变换：图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多于三角形、四边形结合。翻折变换的实质是

对称，翻折部分得两图形全等，找出对应边、对应角；再结合勾股定理、相似的性质和判定解题。

一、单选题

例1.如图，在AMC中，AB<AC,ZC=45°,AB=5,BC=4近,点。在AC上运动，连接B。，把△88沿8。

折叠得到△BC'O,BC交AC于点E,CD//AB,则图中阴影部分的面积是（）

BC

【答案】D

【解析】

【分析】

过点Z作AFLBC,交BC十点F；延长C'£>,交8c于点G,设=根据勾股定理和等腰直角三角形的性质,

通过列一元二次方程并求解，从而推导得NC和工,亦；设=根据轴对称、全等三角形和相似三角形的性质,

分别计算得CD、AE,从而完成求解.

【详解】

解：如图，过点/作AF_LBC,交BC于点、F；延长CZ）,交BC于点、G

101

TSLBF=X,

AF=yjAB2-BF2=,25-x2，

ZC=45°,

ZFAC=90°-ZC=45°,

FC=AF=>j25-x2-

BC=4近,

：■FC=BC-BF=4丘-x,

•，-4A/2-X=V25-X2>

；.2x2-8历+7=0,

.7血一72

••x=------或x=-----,

22

当x=时，FC=BC-BF=45/2-^^=—,

222

AC=>JAF2+FC2=1>

■:AC<ABf

・・.x=逆不符合题意，故舍去；

2

当％=立时，FC=BC-BF=4V2--=—,

222

；・AC=dAF?+FC2=7，

*：AC>ABf

・・.x=4l符合题意；

2

/.5A48C=-XBCXAF=-X4V2X-^-=14,

设DE=加，

,/把△BCD沿8。折叠得到ABC'D，8C交AC于点E,

102

:.CD=CD,NC'=NC,

在AC'OE和ACOG中,

ZC'DE=ZCDG

"CD=CD,

NC'=ZC

△C'DE丝△CDG,

DE=DG=m.

•/CD//AB,

：.ZABC=ADGC,ZABE=NC',

：./\CDGsCAB,

.DGCDwCD

：.——二——,即AII——二——

ABAC57

•••一

・••83g

r

VZABE=ZCfZAEB=NDEC',

:./\AEBs/\DEC,

AE5

.AEAB

即二TIm,

*DE

V

AE=—

7

*.*AE+DE+CD-FmH.......-7,

75

m=一

7

10

...图中阴影部分的面积&DE720,

-----=14x—=—

△"BCAC77

故选：D.

【点睛】

本题考查了轴对称、全等三角形、相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形、一元二次方程的知识；解题的关键是

熟练掌握轴对称、相似三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解.

例2.如图，在菱形ABCO中，ZZMB=60°,4）=26，点P为对角线AC上的一个动点，过P作瓦'_LAC交AD于

点、E,交A8于点尸，将沿EF折叠，点工的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若ACBG是等腰三角形

时，则AP的长为（）

103

c

33

A.3-6或5B.3-6或2C.6-2石或4D.6-26或万

【答案】B

【解析】

【分析】

分CG=CB和GC=GB两种情形，分别求解即可.

【详解】

解：连接交/C于点O,则。8_L4C.

'：EFLAC,

：.EFHDB

Z£>Afi=60°,

ZCAB=ZCAD=ZBCA=30°,

"：AD=2&

:.AD=AB=BC=DB=2上,DO=BO=也

'：DB±AC

AO=yjAD2-OD2=3，即”C=6

当GC=C8=2石，AP=^CAC-CG)=1(6-243)=3-石;

当G8=GC时，过点G做GHJ_8C,则C〃=g8C=后

ZBCA=30°

.CH丛丛

•・cosZ.BCA===——

GCGC2

:.GC=2,

：.AP=^(AC-CG)=y(6-2)=2；

综上，/P的长为3-石或2.

故选B.

104

【点睛】

本题主要考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、菱形的性质、解宜角三角形等知识，掌握分类讨论的思想

以及灵活运用所学知识成为解答本题的关键.

二、填空题

例3.如图，AABC为等边三角形，点，E分别在边ACk,BD=3,将沿直线OE翻折得到VFDE,

当点尸落在边8c上，且5F=4CF时，/的值为

百

【答案】98

3

【解析】

【分析】

根据MBC为等边三角形，△/£>£与MDE关于。E成轴对称，可证△BDFSACFE,根据8尸=4CF,可得CF=4,根

据力厂为轴对称图形对应点的连线QE为对称轴，可得DELAF,

进而可求OE-AF=空叵

根据S―ADFE=gDE-AF=SACEF=-SAABC-SACEF,

3

【详解】

解：如图，作A/BC的高作AB。尸的高。H,

为等边三角形，MDE与AFDE关于QE成轴对称,

105

AZDFE=ZDAE=60°,AD=DF,

：.ZCFE+ZFEC=ZCFE+ZDFB=120°,

:・/DFB=/CEF,

又乙B=NC=60。,

:.ABDFS^CFE,

BDCF

~BE~~CE

BFCF

B[JC£=

BD

设C尸=x(x>0),

♦：BF=4CF,

:.BF=4x,

•:Bg,

,「口4x2

3

":BC=BF+CF=4x-^-x=5x,

4%2

・・・AD=AB-BD=BC-BD=DF=5x-3AE=EF=5x--,

13

ABDFS^CFE,

.DFBD

**£F-C^7,

5x-33

解得：x=2,

：.CF=41

i?C=5x=10,

•・,在R/MBL中,ZB=60°,

.•.ZL=Z8sin60°=10x3=56,

2

:.SAABC=LX1QX5石=25后,

2

VRt^BHD+,BD=3,N8=60°,

/.DH=BDsin600=3x—=—

22

:.SABDF==BF-DH=LX8X^~=G6,

222

106

•:WDFSACFE,

2

S

•◎ABDFBD3

-sCF

3CFE©

•:SABDF=6#),

:&CEF=^,

3

又•.【尸为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴,

：.AD=DF,△/£）尸为等腰三角形，DEVAF,

S£-ADFE=^DEAF=SACEF=-SAABC-SACEF

小凤6层哈罕

・・・DE-AF=^^~

3

故答案为¥

【点睛】

本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明发型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直

的四边形的面积=对角线乘积的一半.

例4.如图，/MON=30。，点在射线QM上，过点A作A4，交射线ON于点与，将沿A四折叠得到

△A4耳，点A2落在射线OM上；过点人作&与J.OM交射线QN于点斗,将△aOB,沿人员折叠得到4人?/!1?,点

为落在射线。M上；…按此作法进行下去，在NMON内部作射线。“，分别与4万，人生，…，A,£,交于

点R,P2,P3,又分别与人与，A.B2,AA，…，A„+tB„,交于点Q2,Q3,•••,Q,..若点《为线段

的中点,。4,=抬，则四边形的面积为_（用含有〃的式子表示）.

t

5GM吁2

【答案】

3

【解析】

【分析】

107

先证明VOA《：VO&U,YORB、：YO眄,又因为点4为线段&耳的中点，从而可得尸2为线段右邑的中点，同理可证

6、P、.....匕依次为线段A%人区、…4纥的中点.结合相似三角形的性质可得的《耳匕的高与蓝&Q的

&鸟上的高之比为1:2,所以送42的上的高为同理可得送BM上的高为gA2A3……，从而

S四凶彩46。占=S，A»,&-S/4C,,以此类推来求S叫如彩&q2”，，从而找到Afdi的面枳规律.

【详解】

由折叠可知，。4=6=44，

山•；A冉II4B”

/.VOA,q:V04£,7OP、B、:VOP2B2,

.46_0A=OR-

**A2P2OA2OP2P2B22'

又..•点R为线段AM的中点，

A6=勺瓦,

A2P=p2B2,

则尸2为线段的中点，

同理可证同其、…2依次为线段4%A区....4纥的中点;

•••4肖||4打，

V0恰：NPAP、,

.A耳44_1

**鸟42,

则NBQ的上的高与"q的A2P2上的高之比为1：2,

所以送8◎的上的高为344

同理可得送与已上的高为g&Aj……，

由折叠可知，44=2豆，&儿=4石，

且N〃ON=30」，

/.A}B}=tan30x0Al=1,

.•・4层=2,A员=4.......

:.S四边形A6aA2=S&A6A2_,邱0

=；AA2，A[8]-；A[gA4

=­x>^xl--xlx—x2G

223

同理S四边形&用Q,Ai=S9殳Al-S温殳Q?

108

=—x2>/3x2-—xlx-x2A/3

223

Spu边账414aAa“="S4,%。”

=gA,A,,+「A“纥-gAnPn-AnAn+t

=-x2"-'>Hx2"-'--x—x-x2"-'j3

2223

573?"-24

3

故答案为：也空.

3

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、锐角三角函数等知识点，解决本题的

关键在于找到图形的变化规律.

三、解答题

例5.在平面直角坐标系xOv中，。。的半径为2.对于直线/：y=x+l和线段8C,给出如下定义：若将线段8c沿

直线/翻折可以得到。。的弦AC(B',C'分别是8,C的对应点)，则称线段8c是以直线/为轴的。。的“关联

线段例如：在图1中，线段5c的是以直线/为轴的。。的“关联线段”.

图1图2

(1)如图2,点4,G，B2,C2,B3,C,的横、纵坐标都是整数.在线段B,G，B2c2,B[G中，以直线/为轴的。。

的“关联线段''是;

(2)A/5C是边长为a的等边三角形，点A(O,1),若8c是以直线/为轴的。。的“关联线段”，求〃的值；

(3)如果经过点P(-L5)的直线上存在以直线/为轴的。。的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的

取值范围.

【答案】(1)8£,82c2,

⑵

2

109

（3）胆<5-6或,〃>5+行

【解析】

【分析】

（1）根据定义作。关于/的对称点，若线段是。。的弦，则再次对称（依题意定义）即为GQ的弦，据此求解即可；

（2）根据（1）的方法，根据等边三角形的对称性，可知BC〃y轴，设。。交，轴于点D,AB交于点E,解

R〃AO|E,RfABQE，进而求得A8的长，即。的值；

（3）根据题意，作。。的切线，PS,PR,求得直线?S,刊?解析式，即可求得，〃的取值范围.

（1）

根据定义作。关丁”的对称点，若线段是。0的弦，则再次对称（依题意定义）即为。。的弦，如图，BC，Bg是。Oi

的弦，与。。关于/轴对称，则4G，约C?是以直线/为轴的。。的“关联线段”

故答案为：BiCl,B2C2

（2）

如图，设。。1交y轴于点O,AB交。。于点E,

•.•00,0。的半径为2

:.O,D=2

vA(0,1),0,(-1,1),则A«=l

0,A1

在中,cosZD0A=

MAO|AZ)}OJ)~2

ZDOtA=60°

110

・・・A9所在直线是等边三角形△ABC的对称轴，则