第31讲空间几何体体积及点到面的距离问题4种题型-【题型讲义】高一数学教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第31讲空间几何体体积及点到面的距离问题4种题型【题型目录】题型一：三棱锥体积题型二：四棱锥的体积题型三：分割作差法求多面体的体积题型四：点到面的距离问题（等体积法）【典型例题】题型一：三棱锥体积三种思路：1.直接找高2.转换顶点3.转化为大的棱锥的倍数【例1】如图，在正三棱锥P﹣ABC中，，．(1)求P﹣ABC的体积．【例2】如图，在直三棱柱中，，，平面，点为侧棱上一个动点.(1)求此直三棱柱的表面积；(2)当最小时，求三棱锥的体积.【例3】如图，在多边形中（图1）．四边形为长方形，为正三角形，，，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好是的中点（图2）．(1)证明：平面；(2)若点在线段上，且，求三棱锥的体积．【例4】如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形.，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.(1)若M为PB的中点，证明：面PAD；(2)求三棱锥的体积.【例5】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点M，N分别是棱PD的三等分点．(1)证明：平面ACM；(2)求三棱锥N－ACM的体积．【题型专练】1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.(1)求三棱锥的体积；2．在直三棱柱中，，，，D是AB的中点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：∥平面；3．如图，在三棱锥中，，，O，M分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积.4.如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，E是的中点，，．(1)求证：；(2)是线段上的点，且满足．求三棱锥的体积．题型二：四棱锥的体积【例1】在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，Q为的中点.(1)求四棱锥的体积；【例2】如图，平面平面，，直线AM与直线PC所成的角为，又．(1)求证：；(2)求多面体的体积．【例3】如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，，与交于点．(1)求证：平面平面；(2)若，求四棱锥的体积．【例4】如图所示，在四棱雉中，，，点M在线段SB上，且平面SAD．(1)求的值，并说明理由；(2)若，，求四棱雉的体积．【例5】如图，在长方形中，，，M为DC的中点.将沿AM折起得到四棱锥，且.(1)证明：；(2)若E是线段DB上的动点，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1：2，求的值.【例6】如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，侧面PAD与底面ABCD的夹角为.(1)求正四棱锥P－ABCD的体积；(2)若点M是正四棱锥P－ABCD内任意一点，点M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距离分别为，，，，，证明：；【题型专练】1．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点.(1)求四棱锥的体积；2．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为．(1)求四棱锥的体积；(2)证明：．3．如图在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为的中点，且，底面，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积.4．如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且.(1)证明：平面平面；(2)若，求四棱锥的体积.5．如图，三棱锥中，平面平面，点在线段上，且，点在线段上，且平面.(1)证明：平面；(2)若四棱锥的体积为7，求线段的长.6．如图①，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图②所示.（1）证明：图②中平面平面；（2）在线段上取一点，使，当三棱锥的体积为时，求的值.题型三：分割作差法求多面体的体积【例1】如图，在四棱锥（图一）和三棱锥（图二）中，四边形为正方形，平面，≌，将四棱锥和三棱锥重新组合成一个新的几何体（图三），且面和面完全重合，且，．(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积与组合后的几何体的体积比．【例2】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积.【例3】刍（chu?）甍（me?ng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名着《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形.(1)求证：；(2)若已知，求该五面体的体积.【例4】如图所示，在直三棱柱中，是的中点.(1)证明：平面；(2)设，求几何体的体积.【例5】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【题型专练】1．如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.(1)求证：平面平面；(2)求几何体的体积2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，为的中点．(1)证明：平面；(2)求多面体的体积．3．如图，已知多面体中，平面，平面，且，，，四点共面，是边长为2的菱形，，．(1)求证：平面；(2)求多面体的体积．4．如图，在多面体中，底面是正方形，，，底面.(1)证明：平面；(2)若，求该多面体的体积.题型四：点到面的距离问题（等体积法）【例1】如图所示，三棱柱中，，平面．（1）证明：平面平面；（2）若，，求点到平面的距离．【例2】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，点G是BC的中点.(1)求证：直线OE⊥平面ABCD；(2)若，，求点G到平面ADE的距离.【例3】如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）．(1)判断平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离．【例4】如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．(1)求证：平面；(2)求点到平面距离．【题型专练】1．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.2．如图，在直三棱柱中，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．3．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB