2022年考研数学二真题及答案解析

2022年全国硕士研究生招生考试数学二

一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.当X-0时，a(x),B(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题：

①若a(x)〜B(x),则a2(x)〜p2(x)；

②若a2(x)〜p2(x),则a(x)〜B(x)；

③若a(x)〜p(x),则a(x)-。⑴~o(a(x))；

④若a(x)-0(x)~o(a(x)),则a(x)〜p(x),

其中所有真命题的序号是().

A.①②B.①④C.①③④D.②③④

【答案】D.

【解析】取a(x)=1-cosx,P(x)=gx2,排除①，故选D.

y

2.dx—(

J1+X3)

12

B-3D.

3

【答案】D.

【解析】交换积分次序后可得

22

fd)J-==ar=L.J')*ly

0yJ1+=-300J1+.3

0R1+X3

卜」,("J

3011+X3

2

3

3.设函数/(x)在x=”处有2阶导数，则

A.当/(x)在x的某邻域内单调增加时，/'(X)>0

00

B.当r(x)>。时，/*)在％的某邻域内单调增加

00

1

c.当/(X)在x的某邻域内是凹函数时，r'(x)>o

00

D.当/Q)>0,7")在x的某邻域内是凹函数

00

【答案】B.

【解析】因在x=x处有2阶导数，则

0

f\x)=1沁/3一八叩存在n1由广(》)=尸(》)，

0

0—0x-x0E0

当/'(X)>0时，由极限的局部保号性得，哭>0,当xet/(x,B),有广(x)>0,即玄>0,

00

当xeU(x,b),有r(x)>0,故/(x)在x=x的某邻域内单调增加，选B..

00

4.设函数/⑴连续，令尸(x,y)Jf(x—yT)/(/)dr,则().

0

dFdFQiFd2FdFdFQ2FdiF

AB

-五dy'dx2dy2-a%办’〃Sy2

dFdFQiF82FdFdFQiFd?F

C

-在dy'dxzdy2dxdy8x2dy2

【答案】C.

【解析】由于

F(x,y)=^->(x-y-t)f^dt=(x—yJ'-'/Q)出一,

000

故

二=1>f(t)dt+(x-y)f(x-y)-(x-y)f(x-y)=Sf(t)dt,

dxoo

匕=一""⑺出一(X-y)f(x-y)+(x-y)f(x-y)=」5"。)dz,

&yoo

d^FQiF

进而寸=/(x—>),--=/(x-y),故选C.

0X2Qy2

]nx

5.设P为常数,若反常积分/'—收敛,则p的取值范围是()

oXp(l-xp-p

A.(-U)B.(-1,2)C.(—8,1)D.(-a),2)

2

【答案】A

【解析】当p=l时，/——~公=»吧氏发散，排除B和D;当p=—l时,

0Xp(l-X)l-p0X

f,Inx,Lxlnx,f,(l-r)ln(l-^),..(l-r)ln(l-r).哈坦,

J1----------dx=J'------dx=J1----------Nt,lim/------------=-1,发散,

2

oXp(l-X)l-Po(l—X)20((->o+，2

排除C.故选A.

n7i

6.设一/x%则()

2〃2

A.若limcos(sinx)存在，则limx存在.

〃T8nn—n

B.若limsin(cosx)存在，则limx存在.

nn

“TOOn-x»

C.若limcos(sinx)存在且limsinx存在,则limx不一定存在.

，T8nn->oon〃T8n

D.若limsin(cosx)存在且limcosx存在,则limx不一定存在.

nn

“TOO«->x“T8"

【答案】D.

f1,”为奇数,

【解析】对选项A,B,若x=<limcos(sinx),limsin(cosx)均存在,

"-1〃为偶数,M-XCnn«->oc

但limx不存在，故排除A,B,.

w-x»n

71Tt..

对于选项C,由于函数丁=5布工在区间单调增加且连续，故hmsinx存在时,

n

2J42」n->oo

limx一定存在，选项C错误，故选D.

ZJ-XCn

,Lx』，filn(l+x)

l

7.I=J---------dx,1=J---------dx,I4而卢则

1

o2(1+COSX)2014-COSX3

A./</</.B./</</.

123312

【答案】A.

【解析】由于0<x<l,-<—<ln(l+x)<x,所以

2l+x

3

xln(l+x)x2x2xrTT

-------------<_-------<----------<----------<——:—,I<1<1

2(l+cosx)1+cosx1+cosx1+cosx1+sinx123

’100、

8.设A为三阶矩阵，A=0-10，则a的特征值为的充分必要条件是().

、000,

A.存在可逆矩阵P,。，使得A=PA。B.存在可逆矩阵P，使得A=PAP-I

C.存在正交矩阵Q,使得A=QAQTD.存在可逆矩阵p,使得4=PAPT

【答案】B.

【解析】相似矩阵有相同的特征多项式，因此特征值相同，这里A的特征值为1,-1,0.若A

与A相似则二者的特征值相同，相似即存在可逆矩阵P，使得4=PAPL

若4的特征值为1,-1。，由于A为三阶矩阵，因此A可以相似对角化为A，A与A相

似.

'111、

,b=\2I则线性方程组Ax=b解的情况为(

9.设矩阵4=1aQ2).

b此

A.无解B.有解C.有无穷多解或无解D.有唯一解或无解

【答案】D.

'111111r

【解析】考虑增广阵1a。220i

-1

bbi47(0b-\b23>

若a=6且a=l,则r(AZ)=2>"A)=l,线性方程组无解;

若。=方且则r(A,b)=3>r(A)=2,线性方程组无解.

若a。/?且awl,则r(A,，)="A)=3,线性方程解唯一，对称的有

a，〃旦人H1,则厂(A,b)=r(A)=3,线性方程解唯一.

5、(1、

10.设。=1,aA.,a=1。若a严2，%与a严2巴等价,则正

1⑴234

().

A.{XIXeR)B.{A,I1GR,X*-1)

4

C.{九I入€皮九#一1入#一2}D.{X|XGR,X*-2}

【答案】C

【解析】由于

X11

lot,a,a1=1X1=九3—3九+2=（九-1）2（九+2）,

123

X11

la,a,a1=1XX=入4—2入2+1=（九一1）2（九+1）2.

124

11九2

当入=1时，a=a,此时与等价.

12

当九=-2时，2=r（a,a。）<r（a,a,a）=3,a,a,a与a,a,a不等价.当

I23124123124

I时,3="a严2弋)＞曲严2巴)=1,。严巴与a严2巴不等价.因此当

入=-2或九=-1时，a严,％与a严?,a,不等价等价，所以人的取值范围为

{XlXeRA^-lA*-2}.

二、填空题：11~16小题,每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11.极限hm--=

\27

【答案】C2

lim--1-!!!1+J0'-11f<-l1

=e”>otanxI-2

【解析】一《Dtanx262.

12.已知函数丁=y(x)由方程X2+xy+户=3确定,则/(1)=

31

【答案】

【解析】由已知可得y(知=1.

3

方程心+盯+户=3两端对x求导得2x+y+xy'+3y2y，=0,代入y(l)=1得y'(l)=-丁.

4

方程2x+y+xy'+3y2y=0两端对x求导得2+2y'+xy"+6y（y'）2+3y2y"=0,代入

5

331

y⑴=1,y，⑴=有得y()=一觉.

i2x4-3

13.fJ1------dx=______.

0X2—X+1

【答案】哈兀

【解析】

0%2—X4-1°X2—X+1o%2—%4-1

=ln(x2-x+1，+4-11---------^dx

nnZ八.J

14.微分方程ym-2y〃+5y'=o的通解y(x)=.

【答案】y=C+e.r(ccos2x+Csin2x)

I23

【解析】y"—2y"+5y=0对应的特征方程为广―2-2+5，=0,求解可得

r=0,r=l±2i,故微分方程的通解为y=C+ex(ccos2x+Csin2x).

I2,3123

15.已知曲线L的极坐标方程为厂=5也30[()＜。则L围成的有界区域的面积为

71

【答案】西

【解析】面积A=—fT(sin30)2t/0=1J"(sint)2dt=1J；sin2团=LIE=2L.

16.设A为3阶矩阵，交换A的第二行和第三行，再将第二列的-1倍加到第一列，得到矩

'-21-1、

阵1一10,则AT的迹tr(A-i)=

、T0°,

【答案】-1

6

C-21-0

【解析］设5=1-10按照上述初等变换的逆变换将5的第二列的1倍加到第一

1-10oj

(-11-1、‘0-10、

列，然后交换3的二，三行位置，得到A=-100,于是AT=00-1,因

,0-1、一11一1,

此tr(Ai)=-l.

三、解答题：17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

已知/(幻在x=1处可导，且lim/((八')-3川+皿)=?求(Q)

XTOX2

../(e.v2)-3/(1+sinx)___

［解］由hm人—_U------^=2可得

x->0工2

lim/CA2^-3/(1+sinx)=0,

A->0

即/(1)=O又因为

Hm，3)一3/(1+sinx)

A->0

3/G+sin2X)-3/(l)

lim

x->0X2

/G+sin2x)-/(l)Sin2x

(1)

lim-31im

x->0x->0sin2xX2

尸⑴—3尸⑴

=2/(1)

=2,

故/'(D=L

18.设y(x)是微分方程2盯'-4y=21nx—1满足y(l)=；的解.求曲线

y=y(x)(14x4e)的弧长.

【解】由2孙'一4y=21nx-1可得

y(x)=_Jnx+Cx2f

7

其中C为任意常数.又由y(l)=二，代入上式有

4

/、1,

y(x)=--ln.r+--X2.

2，

那么y(x)在［l,e］上的弧长为

J''Jl+y2(x)dx=

2x)

1,，

=xi+—Inx

2

1

1

=02—.

2

t求二重积分/=JJ("一dxdy.

19.设。=-2+yWxWj4-)，2,0WyW2，

X2+y2

D

【解析】如图所示：增加一条直线y=—X+2,则)，=—1+2将积分区域。分为两部分：D

1

和，其中。一。关于y轴对称，于是

]1y|

/=产-2町+”,

X2+y2

D

=JJ1-2xydxdy

X2+yi

D

-ifdxdy-JJ——dxdy-Ifdxdy-ff_dxdy-Jf2a7dxdy

X2+yiX2+>2X2+y2

DDDDg%

=12\/4—v24-2—v-19f/0122P2cos。sin。

▼22

oocos:v+sin八vP

=1.4兀+(2y-Ay2)一jlcos。sinOd。+」fncos0sin0

J2---------------------------------

(cos0+sin0)2

00o

cosOsin0

=兀+4j2------------------cc4。

o1+2cosvsinv

=-4吧-…e

otan20+2tan0+1

=兀+4J例一-—•—L_力

0“+1)2l+f2

=7T—L--二dt

2o1+/2(f+l%

cIc1t7.

二兀+2arctanr|r+2—=兀+兀-2=2兀一2.

o

20.（本题满分12分）

已知可微函数/（〃,V）满足竺竺1一丝@2=23-v）e-（"+v）,且/（M,O）=U2e-u.

OUov

dg

（1）记g（x,y）=/（x,y-x）.求击；

(2)求/(〃一)的表达式和极值.

［解析］(1)—=f-f'=2(x一y+x)e-(x+y-x)=2(2x-y)e-y.

Qx12

(2)因为g(x,y)=J2(2x-y)e-ydx+<p(y)=2e-y(x2-xy)+(p(j),

由/(M,O)=u-^e-u可得

/(x,O)=g(x,x)=cp(x)=x2e-.r,

故g(x,y)=2e-y(x2-与)+y2e-y

x=u,y-x=v,有

f(u,v)=2e--(«+v)［〃2-M(M+v)J+G+v)2e-(〃+v)

=-2wve-(«+v)+Q+u>e-(u+v)

=e-(«+v)\u2+u2)

又因为

)+e-(“+u)2〃=—e-(«+v)(w—v)2=0,

du

=-e-(u+v)(v—〃)2=0

dv

u=0w=1

得

v=0V=1

为

又因

/。〃())()(〃+丫)()

，=(2-2)e—“+vu-u2-v2e—u+y=2-4+“22e—“+v

S

/。

，=—2ve-(»+v)一Gw-〃2—u2X-(«+v)=-2〃+〃2+口2)e-(“+i')

卬

/C()一(〃X-(M+V)(〃()

，=(2—2v)^-«+v2v—2-v2=2—4u+2+yi)e-«+v

V1

9

当〃=0,u=0时，A=2,B=0,C=2=>*故是极小值点'极小值

/(0,0)=0,

当〃==1时，A=0,B=—2,C=0=>AC—62<0,故(1,1)不是极值点.

21.(本题满分12分)

设/(x)在(一*+8)上有二阶连续导数，证明：/"(x)20的充要条件是对任意的实数。力,

有乎|《4]力跖

V2Jh-aa

证明：“n”令产=-卜/“Mf,贝ijF(a)=0.

FG)=,(等＞?…)《等卜3

gi)《与卜/(与卜⑴

=g(x-(等)一/'(1)3x-a)

=；(­)卜仁),⑷

由于/"(x)Z0,所以/'(X)单增，从而:(*]＜/'&),故F(x)＜0,尸(x)单

调递减.

，＞%小)＜。，则也)＜。，及，然卜日歹「

Vx€(-00,4-00),取。=x-h,b=x+fi,其中〃>0,则

000

A

fv/(x)dLr-2/(x)/i

卡6——Z7......—^0,

1岁上占卜⑴出。2h

从而

10

「+，"(x)(lr-2/(x)h

r0>0.

2/13

202/13jo6/12

］；ja+幻—/*一1

lim-----o--------------o------

h->012〃

f”a+力)+/〃。_h)

lim------u---------------u------

A->012

同时由极限的保号性知/"(")>o.

22.(本题满分12分)

已知二次型f(x,x9X)=3x2+4x