2022年高考数学 第一轮复习考点55 导数与函数零点 讲解

考点55导数与函数零点(讲解)

【思维导图】

【常见考法】

考点一零点个数判断

1.设函数/(X)=lnx+—,〃2£尺.

x

(1)当相二©(e为自然对数的底数)时，求八幻的值域；

x

(2)讨论函数g(x)=/'(x)-耳零点的个数.

【答案】(1)[2,+oo)；(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)将加=e代入解析式，利用导数判断函数的单调性以及求出函数极值、

最值即可求解.

Y1

(2)设g(x)=r(x)-§,令g(x)=o,分离参数可得根=-§d+Mx>0),设

/7(X)=-1X3+XX>0),作出>=网力的图象，结合图像即可确定函数g(x)零点

的个数.

【详解】(1)由题设，当〃?=e时，/(x)=lnx+-,

X

/(X)的定义域为(0,+8),则八%)=一X—P，

由/'(x)=0,得x=e,

.♦.当x《O,e),/'(x)<0,/(x)在(O,e)上单调递减，

当xe(e,+8),f\x)>0,E(x)在(e,+o。)上单调递增,

.•.当x=e时，./(X)取得极小值/(e)=Ine+g=2,

e

F(X)的极小值为2，工/(X)min=2,

fM的值域为［2,+oo),

Y1777Y

(2)由题设g(x)=/'(x)-不=——--(x>0),

3xxr3

令g(x)=0得加=-3^+x(x>0),

设/z(x)=+x(x〉0),

则h'M=-x2+l=-(x-l)(x+1),

当xe(0,1)时，h'(x)>0,〃(x)在(0,1)上单调递增，

当xe(l,+oo)时，h'(x)<0,〃(x)在(1,+8)上单调递减,

.•.x=l是〃(幻的唯一极值点，且是极大值点，

因此x=l也是力(X)的最大值点.

2

..•力(6的最大值为/?(1)=§,

又〃(0)=0,结合y=/2(x)的图象可知：

2

②当初=］时，函数g(x)有且只有一个零点，

2

③当0＜加＜§时一，函数g(x)有两个零点，

④当机＜0时、函数g(x)有且只有一个零点，

2

综上所述，当〃?＞§时，函数g(X)无零点，

2

当加=§或加40时，函数g(x)有且只有一个零点，

2

当0＜加＜§时，函数g(x)有两个零点.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的零点个数，考

查了数形结合的思想，属于难题.

2.已知函数/(x)=x2+(2-a)x-aInx(aeR).

(1)当a=2时，求f(x)的图象在x=l处的切线方程；

(2)当a〉3时，求证：f(x)在口,+＜＞。)上有唯一零点.

【答案】(I)y=l；⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)当。=2时，函数/(幻=/一21nx,分别求出/'⑴及/⑴的值，结合导数的几

何意义，可求出/(x)的图象在％=1处的切线方程；

(2)对函数函x)求导,判断单调性可知/(x)在1,|上单调递减,

单调递增，进而可知/(肛板=/然后构造函数

g(a)=l—：—ln|,进而可证明g(a)<0,BP/«min<0,进而由

/(e<j=(efl)2+(2-«)-efl-«lnea,证明/(e")〉0,又/(1)=3—a<0,结合单调

性可知/")在工+CQ)上有唯一零点.

【详解】(1)当a=2时，函数八幻=/一21nx,定义域为(0,+8).

2

则ra)=2x—女，则ra)=o,/(D=I.

X

故/(x)的图象在X=1处的切线方程为y-1=0,即y=l.

a_2x2+(2—a)x一Q_(x+1)(2%—a)

(2)证明：fXx)=2x^2-a

xxx

因为a>3,令/'(x)<0,得0<x/；令/'(x)>0,得工嗫

「。3/(X)在1,3上单调递减，在仁，叼上单调递增.

又I>1

22

…，/、1-(a)//->、a]a〃、a(.a.a\

所以/(x)min=/|不卜公+(2-。),不一。心不入一公〜吊不二叩一1一,.

k4Jt乙乙I乙\乙J

令g(a)=1-^-In^=-^-Ina+l+In2(a>3).

显然g(a)在(3,+8)上单调递减.

I31313r-3

又g(3)=——In—=Ine4-In—<In44-In—=In-In—<0.

42222

所以g⑷<0,BP/(x)min<0.

/(e")=(e"『+(2-a).e"-aIne"=e2n+(2-a).e"-a2.

令h(a)=e2a+(2-a)-ea-a2(a>3),

则h'(a)=2e2"+e°(l-a)-2«=e°(efl-«+l)+(e2a-2a).

令9(a)=e"-a(a>3),则*'(a)=e"-1〉0,所以。(。)在(3,+8)上单调递增,

则。(a)>。(3)>0,所以e"—a>0，e2o-2a>0.故〃(a)>0,

所以h(a)在(3,+8)上单调递增，

A(«)>/z(3)=e6-e3-9=e3(e3-l)-9>23(23-l)-9>0,所以/(e")>0.

又/⑴=3-。<0,结合单调性可知f(x)在口,~)上有唯一零点，命题得证.

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调性的应用，考查函数的零点，考

查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.

rn

3.设函数/(x)=lnx+—,meR.

x

(1)当相二e(e为自然对数的底数)时，求/(x)的最小值；

x

(2)讨论函数g(x)=/'(%)-§零点的个数；

(3)若对任意匕>a>0,八?一/@<I恒成立,求m的取值范围.

b-a

22

【答案】(1)2；(2)当初时，函数g(x)无零点；当m二1或根<0时，函数g(x)

21

有且仅有一个零点；当。<加〈彳时，函数g(x)有两个零点；(3)[:,+8).

【解析】

【详解】试题分析：(1)当m=e时，/(月=号>0,由此利用导数性质能求出f

(x)的极小值；(2)由g(x)=/'(x)-5=W—t=0，得机=》一^，令

3x33

/x32

//(%)=x~~^9x>0,m£R,则h(1)=-,

x

hz(x)=l-x2=(1+x)(1-x),由此利用导数性质能求出函数g(x)=f(x)零

点的个数；⑶(理)当b>a>0时，f(x)<1在(0,+oo)上恒成立，由此能求

出m的取值范围

试题解析：(1)由题设，当加=e时，f(x)^lnx+-

X

易得函数/(X)的定义域为(0,+8)

.••当xe(0,e)时，r(x)<0,此时/(x)在(0,e)上单调递减；

当xe(e,+oo)时，f'{x}>0,此时/(%)在(e,+oo)上单调递增;

.•.当x=e时，/(%)取得极小值/(e)=Ine+2=2

e

f(x)的极小值为2

r1777X

(2)・・•函数g(x)=r(x)—彳=——---(x>0)

3xx~3

1,

令g(x)=。，得加=一3彳+x(x>0)

设e(x)+X(XNO)

(p'{x}=-x2+1=-(x-l)(x+1)

当Xw(0,1)时,e(x)>0,此时当x)在(0,1)上单调递增；

当XG(1,+OO)时，9(无)<0,此时。(X)在(1,+co)上单调递减;

所以X=1是以X)的唯一极值点，且是极大值点，因此X=1也是9(©的最大值点,

12

奴幻的最大值为。⑴=一3+1=§

又0(0)=。，结合y=e(x)的图像(如图)，可知

2

②当旭=§时，函数g(x)有且仅有一个零点；

2

③当0〈根<3时，函数g(x)有两个零点；

④加<0时，函数g(x)有且只有一个零点；

22

综上所述，当机时，函数g(X)无零点；当〃2=§或"2<0时，函数g。)有且仅

2

有一个零点；当。<m时，函数g(x)有两个零点.

(3)对任意b>a>0,一<1恒成立,等价于/9)一人恒成立

b-a

设h(x)=/(x)-x=lnx+---x(x>0),，等价于〃(无)在(0,+a))上单调递减

x

Im

/(幻=——一1W0在(0,+8)恒成立

xK

m>—x2+x=—(x—)'4—(x>0)恒成立

24

(对/"=!，〃'(x)=0仅在％时成立)，,机的取值范围是［：,+8)

4424

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导

数研究函数的极值

而视频Q

考法二已知零点求参数

4.己知函数/(x)=lnx—士L

a

(I)当。=1时，求f(x)的最大值.

(2)若在区间(2,e)上存在零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)0；(2)［白，e—1;

【解析】

【分析】(1)对函数求导，解导数不等式得到函数的单调性，由单调性可求最值.

Y—1x—1

(2)Ax)在区间上存在零点，即方程Inx-----=0在区间上有实根，即。=「一

a\nx

有解，设g(x)=3,求导判单调性求值域即可得。的范围.

inx

【详解】(1)当。=1时，/(x)=lnx-x+l,定义域为(0,+℃),贝|/(幻='一1,

X

令ra)=o得x=i.

当xe(0,l)时八幻单调递增；

当X€(l,+8)时/(为<0,/(元)单调递减

所以/@)皿=/(1)=。

(2)由题意知,方程/(x)=lnx-2」=0在(2,e)上有实根.

a

Y—1

因为lnx/0,所以方程可转化为。—.

Inx

X-1…Inx——(x-1)lnx+——1

设g(x)

Inx

设/i(x)=lnx+，-l,贝=L--J-.

xxx

当2<x<e时，〃(x)>0,所以〃(x)在(2,e)上单调递增.

所以/z(x)>〃(2)=ln2-2>0,于是g'(x)>0,所以g(x)在(2,e)上单调递增

所以g(2)<g(x)<g(e),即」<g(x)<e-l.

In2

综上所述，实数。的取值范围是(七,e-1)

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，和函数有零点问题，考查变

量分离的应用，考查分析能力和计算能力.

5.已知函数f(x)=d-a21nx一⑪(aeR).

(I)若恒成立，求。的取值范围；

(2)记g(x)=/(x)+ax,若g(x)在区间:,e上有两个零点，求。的取值范

围.

I1

【答案】(1)-2^,1；(2)[―%—任)D(伍,e].

【解析】

【分析】(1)利用f(x)的导数判断函数的单调性,求出析1的最小值,令分工卷„》0

即可求出。的取值范围；

■)

(2)8(%)有两个零点等价于8(力=0有两个根，分离参数得/=工，则y=/

Inx

2

与〃(%)=W-有两个交点,即可求出。的取值范围.

v'Inx

【详解】(1);(x)=2x—.一a」"—“)(2x+。),

XX

令用x)=0,解得演=*x2=-p

当a=0时，显然成立，

当a>0时，“X)在(0,。)上单调递减，在(。,+8)上单调递增,

则=/W=-«2lna>0,解得0<aW1,

当”0时，〃尤)在(0,-会上单调递减，在卜g+8)上单调递增,

则/(》需=/>0,

解得-2/Ka<0，

综上，实数a的取值范围为-2^,1

(2)显然x=l不是g(x)的零点,

29

由g(X)=0得/=工，令/7(门=工,

\nx\nx

x(21nx-l)

则〃(x)=

(inx)2

令"(%)=0,解得(=1，

当xe/，和时，〃(x)<0,.•.〃(％)单调递减,

当xe(人,e)时，”(x)>0,二单调递增,

又xe时，力(力<0不成立,

cr<h^=e2

.••实数”的取值范围为[-6-岳卜(疝,e].

【点睛】本题主要考查含有参数得不等式恒成立问题中参数得取值范围，以及根据

函数零点个数求参数范围，此类问题需要利用导数讨论函数得单调性，求函数得最

值，属于综合题.

6.已知函数/(x)=(x-2)e*+a(x-l)2.

(I)讨论八幻的单调性；

(II)若/(幻有两个零点，求”的取值范围.

【答案】(I)见解析；(II)(0,+s).

【解析】

【详解】试题分析：(I)先求得尸(x)=(x-D(e*+2。再根据1,0,2a的大小进行

分类确定/(x)的单调性；(II)借助第(I)问的结论，通过分类讨论函数的单调性,

确定零点个数，从而可得a的取值范围为(0,+8).

试题解析:(I)/'(x)=(x-l)ev+2a(x-l)=(x-l)(^+2a).

(I)设a»0,则当xe(-oo』)时，/'(x)<0；当xe(l,+oo)时，/,(x)>0.

所以f(x)在(F,1)单调递减，在(1,物)单调递增.

(II)设a<0,由/'(x)=O得x=l或x=ln(-2a).

①若"<，则/(x)=(x-l乂e'-e),所以在单调递增.

②若a>-],则In(-2a)VI,故当为«-00,111(-2*31,+00)时，尸(力>。；

当xe(ln(—2«),1)