新教材苏教版必修第二册14.4.2用样本估计总体的离散程度参数作业2

课时跟踪检测(三十八)用样本估计总体的离散程度参数[A级基础巩固]1．(2021·厦门双十中学高一检测)已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是()A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析：选B插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．2．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，其平均数分别为eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，标准差分别为sA和sB，则()A.eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA>sB B.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA>sBC.eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA<sB D.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA<sB解析：选B由题图可知样本A的数据均不大于10，样本B的数据均不小于10，∴eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B.由题图可知样本A中的数据波动程度较大，样本B中的数据较稳定，∴sA>sB.故选B.3．一组样本数据a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选Cx2－5x＋4＝0的两根为1，4，当a＝1时，a，3，5，7的平均数是4；当a＝4时，a，3，5，7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝eq\f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝eq\f(20,4)＝5.4．下列对一组数据的分析，错误的是()A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定解析：选B标准差(方差)能反映样本数据分布的集中、稳定程度，且数据的标准差(方差)越小，样本数据分布越集中，故C、D正确；平均数只能反映数据的平均水平，不能反映数据的集中及稳定程度，故B错误；极差也可以反映样本数据分布的集中和分散情况，故A正确．故选B.5．(2021·长沙一中高一检测)若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，方差为2，则对于样本x1＋2，x2＋2，…，xn＋2，下列结论正确的是()A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2 D．平均数为14，方差为4解析：选C∵样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，方差为2，∴x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数为10＋(2－1)＝11，方差不变，为2.6．已知数据10，10，x，8的中位数与平均数相等，则这组数据的标准差为________．解析：该组数据的平均数为eq\f(1,4)(x＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x的值未知，所以要分几种情况讨论：(1)当x≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x，8，10，10，则中位数为9，令eq\f(1,4)(x＋28)＝9，解得x＝8，符合条件，此时这组数据的平均数是9，方差为eq\f(1,4)×[(10－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2＋(8－9)2]＝1，标准差为1.(2)当8<x≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x，10，10，此时中位数为eq\f(1,2)(x＋10)，令eq\f(1,4)(x＋28)＝eq\f(1,2)(x＋10)，解得x＝8，不符合条件，舍去．(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，10，10，x，此时中位数为10，令eq\f(1,4)(x＋28)＝10，解得x＝12，符合条件，此时这组数据的平均数是10，方差为eq\f(1,4)×[(12－10)2＋(8－10)2]＝2，标准差为eq\r(2).综上所述，这组数据的标准差是1或eq\r(2).答案：1或eq\r(2)7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是eq\f(1,3)，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为________，________．解析：由题意知eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)＝2，eq\f(1,5)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2]＝eq\f(1,3)，∴eq\f(（3x1－2）＋（3x2－2）＋（3x3－2）＋（3x4－2）＋（3x5－2）,5)＝3×eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)－2＝4，所求方差为eq\f(1,5)[(3x1－2－4)2＋(3x2－2－4)2＋…＋(3x5－2－4)2]＝eq\f(1,5)[9(x1－2)2＋9(x2－2)2＋…＋9(x5－2)2]＝9×eq\f(1,3)＝3.答案：438．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为eq\x\to(x)和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为________，________.解析：法一：因为每个数据都加上100，所以平均数也增加100，而离散程度应保持不变，即方差不变．法二：由题意知x1＋x2＋…＋x10＝10eq\x\to(x)，s2＝eq\f(1,10)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x10－eq\x\to(x))2]，则所求平均数eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]＝eq\f(1,10)(10eq\x\to(x)＋10×100)＝eq\x\to(x)＋100，所求方差为eq\f(1,10)[(x1＋100－eq\x\to(y))2＋(x2＋100－eq\x\to(y))2＋…＋(x10＋100－eq\x\to(y))2]＝eq\f(1,10)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x10－eq\x\to(x))2]＝s2.答案：eq\x\to(x)＋100s29．某校高一(1)班和(2)班各有男生30名，用随机抽样的方法从各班抽取10名男生，测得他们的身高分别为(单位：cm)：高一(1)班：162，170，174，174，180，175，176，173，177，169；高一(2)班：168，183，175，178，182，160，174，166，165，179.(1)分别计算两班10名男生身高的中位数和极差；(2)如果要由一个班男生组成国旗班仪仗队，你建议由哪个班的男生组成，为什么？(注：组成国旗班仪仗队的男生的身高需相差不大)解：(1)高一(1)班10名男生身高的中位数为eq\f(174＋174,2)＝174(cm)，极差为180－162＝18(cm)；高一(2)班10名男生身高的中位数为eq\f(174＋175,2)＝174.5(cm)，极差为183－160＝23(cm)．(2)高一(1)班10名男生身高的平均数为170＋eq\f(－8＋0＋4＋4＋10＋5＋6＋3＋7－1,10)＝173(cm)，标准差为s＝eq\r(\f(112＋32＋12＋12＋72＋22＋32＋02＋42＋42,10))＝eq\r(22.6)≈(cm)；高一(2)班10名男生身高的平均数为170＋eq\f(－2＋13＋5＋8＋12－10＋4－4－5＋9,10)＝173(cm)，标准差为s＝eq\r(\f(52＋102＋22＋52＋92＋132＋12＋72＋82＋62,10))＝eq\r(55.4)≈(cm)．由于高一(1)班和高一(2)班男生身高的平均数相同，而高一(1)班男生身高的标准差较小，即高一(1)班男生的身高相差不大，所以建议由高一(1)班的男生组成国旗班仪仗队．10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为eq\x\to(x)高＝eq\f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45(岁)，年龄的方差为seq\o\al(2,高)＝eq\f(1,3＋5＋2)×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为eq\x\to(x)＝eq\f(50,50＋10)×38＋eq\f(10,50＋10)×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝eq\f(50,50＋10)×[2＋(38－39.2)2]＋eq\f(10,50＋10)×[73＋(45－39.2)2]＝20.64.[B级综合运用]11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，，正确的结论是()A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：选A计算可得甲批次样本的平均数为eq\f,5)，乙批次样本的平均数为eq\f,5)，由此估计两个批次的总体平均数分别为，，则甲批次的总体平均数与标准值更接近，所以A正确，故选A．12．(多选)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息．甲地：中位数为2，极差为5；已地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则一定符合该标志的是()A．甲地 B．乙地C．丙地 D．丁地解析：选AD对于A选项，因为甲地中位数为2，极差为5，A正确；对于B选项，若乙地过去10日分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误；对于C选项，若丙地过去10日分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；对于D选项，若至少有一天疑似病例超过7人，则必有方差s2>eq\f(1,10)×(8－2)2＝3.6>3，与条件方差为3矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，D正确．故选A、D.13．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间(单位：分)记录如下表：等待时间[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25]频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)××××××1)＝9.5，s2＝eq\f(1,20)×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5.答案：14．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率直方图，已知第一组有6人．(1)求x；(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．解：×5＝0.05，∴eq\f(6,x)＝0.05，∴x＝120.(2)设中位数为a××5＋(a－30)×0.06＝0.5，∴a＝eq\f(95,3)≈32，则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为eq\x\to(x)1＝eq\f(1,5)×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为seq\o\al(2,