新教材人教a版选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件2

第六章计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养作业•提技能素养目标•定方向课程标准学法解读通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．1．了解两个计数原理的特征．2．理解两个计数原理的概念和区别．3．掌握两个计数原理的应用．4．会根据实际问题的特征，合理地分类或分步．必备知识•探新知

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有______________种不同方法．N＝m＋n

知识点1思考1：(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？(2)各种方案之间有何关系？每一类方案中各种方法之间有何关系？提示：(1)能，每一类中的每一种方法都能独立完成这件事．(2)各种方案之间相互独立，并且任何一类方案中任何一种方法也相互独立．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________种不同的方法．思考2：(1)定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？(2)根据定义完成一件事的方法数怎样计算？提示：(1)不能，每一步中的每一种方法都不能独立完成这件事．(2)从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数．m×n

知识点2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系知识点3

分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词分类分步本质每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事各类(步)的关系各类方案之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥”各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”

思考3：分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？提示：分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情．关键能力•攻重难题型探究题型一分类加法计数原理

在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的有多少？[分析]

根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得出结论．[解析]

方法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36．典例1方法二：按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36．方法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…，99，共9个．个位数字与十位数字不能调换位置的两位数为10,20,30，…，90，共9个．剩余的72个两位数中，将每一个“个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数”的个位数字与十位数字调换位置后，都有一个“个位数字(b)大于十位数字(a)的两位数”与其对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36．[规律方法]

应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”

指的是什么事，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；②不同类中的方法不能相同，即不重复，无遗漏．B

56

[解析]

(1)若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠选方法共有4＋4＋6＋1＝15(种)．(2)完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法．题型二分步乘法计数原理由数字0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？[分析]

(1)数字各不相同，且百位上的数字不可为0；(2)数字可以重复，但百位上的数字不可为0．典例2[解析]

(1)分三步完成．第一步：排百位，1,2,3三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有3种不同的方法；第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可以，有2种不同的方法．故可组成无重复数字的三位数共3×3×2＝18(个)．(2)分三步完成．第一步：排百位，1,2,3这三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法；第三步：排个位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法．故可组成可以有重复数字的三位数共3×4×4＝48(个)．[规律方法]

利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．(2)计数：逐一求出每一步中的方法数．(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．【对点训练】❷

(1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 (

)A．56 B．65C．30 D．11(2)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个101,111,121，…，191,202，…，999．则5位回文数有_______个．A

900

[解析]

(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．(2)第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有9种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有10种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字，有10种选法，故5位回文数有9×10×10＝900，故答案为900．题型三两个计数原理的综合应用

现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？[分析]

要分清是“分类”还是“分步”．(1)是分类；(2)是分步；(3)是先分类后分步．典例3[解析]

(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000(种)选法．(3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42＝2100(种)选法；②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1260(种)选法；③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1500(种)选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860(种)选法．[规律方法]

利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．【对点训练】❸将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有______种．[解析]

分别用a，b，c代表3种农作物，将试验田从左到右依次编号为①②③④⑤．先种①号田，有3种种植方法，不妨设种植a．再种②号田，可种植b或c，有2种种植方法，不妨设种植b．42

若③号田种植c，则④⑤号田分别有2种种植方法，则不同的种植方法共有2×2＝4(种)．若③号田种植a，则④号田可种植上b或c．(1)若④号田种植c，则⑤号田有2种种植方法；(2)若④号田种植b，则⑤号田只能种植c，有1种种植方法．综上所述，不同的种植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42(种)．易错警示分步标准不清致错甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有______种．64

典例4[错解]

分四步完成这件事．第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况．同理，第二、三、四步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，却各自有4种不同情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4＝256(种)．[辨析]

用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据．本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．[正解]

由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4＝64(种)．课堂检测•固双基1．(2021·山东省烟台市期末)自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、外语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为 (

)A．6 B．7C．8 D．9D

[解析]

分两步，第一步，从物理、化学、生物3科中任选2科，有3种选法，第二步，从政治、历史、地理3科中任选1科，有3种选法．根据分步乘法计数原理可得不同选法共有3×3＝9(种)．2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆

Q．把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是 (

)A．9 B．14C．15 D．21[解析]

因为P⊆Q，所以分两类．当x＝2时，y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以点的个数为7；当x≠2时，x＝y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以点的个数为7．则满足题意的点共有14个．B

3．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 (

)A．