江苏省常州市教学联盟2019-2020学年高一下学期期中调研数学试题（解析版）

教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．＝A．B．C．D．2．底面半径为1，母线长为的圆锥的体积为A．B．C．D．3．过点(0，1)且与直线垂直的直线方程是A．B．C． D．4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为A．B．C．D．5．已知，若不论为何值时，直线l：总经过一个定点，则这个定点的坐标是A．(﹣2，1)B．(﹣1，0)C．(，)D．(，)6．已知是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则7．对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是A．B．C．D．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的个数有A．1 B．2 C．3 D．49．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，A＝，b＝1，S△ABC＝，则的值等于A．B．C．D．10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′—BD—C为直二面角，给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′—BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是A．B．C．D．12．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，

每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．直线l1：，l2：，若l1∥l2，则的值为．14．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则＝．15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．16．已知函数，则＝．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知，x(，)．（1）求的值；（2）求的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥平面PDC，△PCD为正三角形，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．19．（本小题满分12分）已知△ABC的三个顶点分别为A(a，b)，B(4，1)，C(3，6)．（1）求BC边所在直线的一般式方程；（2）已知BC边上中线AD所在直线方程为，且S△ABC＝7，求点A的坐标．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）当时，求四棱锥M—ECDF的体积．21．（本小题满分12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝，∠ACD＝，路宽AD＝18米．设∠BAC＝()．（1）求灯柱AB的高（用表示）；（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？22．（本小题满分12分）已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，．（1）证明：A＝2C；（2）若，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研数学试题2020．5一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．＝A．B．C．D．答案：A考点：两角和与差的正弦公式解析：，故选A．2．底面半径为1，母线长为的圆锥的体积为A．B．C．D．答案：D考点：圆锥的体积解析：圆锥的高，则圆锥的体积，故选D．3．过点(0，1)且与直线垂直的直线方程是A．B．C． D．答案：A考点：两直线的位置关系解析：设所求直线方程为：，过点(0，1)，求得C＝﹣1，故所求直线方程为，故选A．4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为A．B．C．D．答案：B考点：异面直线所成的角解析：连接BE，则BE∥AF，∴∠BED是异面直线AF，DE所成的角或补角，设正方体的棱长为2a，则BE＝DE＝，BD＝，∴cos∠BED＝，故选B．5．已知，若不论为何值时，直线l：总经过一个定点，则这个定点的坐标是A．(﹣2，1)B．(﹣1，0)C．(，)D．(，)答案：C考点：直线过定点问题解析：直线l的方程可变形为：，则，解得，即定点坐标为(，)．故选C．6．已知是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则答案：C考点：空间点、线、面的位置关系解析：选项C中，若，则结论不一定成立，故选C．7．对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是A．B．C．D．答案：D考点：两角和与差的三角函数公式解析：∵，，，，(0，1)，∴，，故A，B错，∵，，，，(0，1)，∴，故D正确，至于C，取可判断C错误，综上所述，选D．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的个数有A．1 B．2 C．3 D．4答案：B考点：线面平行的判定解析：图（1）可知平面ABC∥平面MNP，故AB∥平面MNP，图（1）符合题意；图（4），AB∥PN，故AB∥平面MNP，图（4）符合题意；至于图（2）和图（3），无法得出AB∥平面MNP，综上所述，本题选B．9．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，A＝，b＝1，S△ABC＝，则的值等于A．B．C．D．答案：D考点：正余弦定理解析：，∴，∴，故选D．10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′—BD—C为直二面角，给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′—BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4答案：C考点：空间中的垂直关系，三棱锥的体积解析：取BD中点E，连A′E，由二面角A′—BD—C为直二面角，可得A′E⊥平面BCD，则A′E⊥CD，∴VA′—BCD＝，②正确，∵CD⊥BD，A′E⊥CD，且A′EBD＝E，∴CD⊥平面A′BD，故③正确，∵A′B＝1，又求得A′C＝，BC＝2，∴A′B2＋A′C2＝1＋3＝22＝BC2，∴A′B⊥A′C，由CD⊥平面A′BD，得CD⊥A′B，又A′CCD＝C∴A′B⊥平面A′DC，∵A′B平面A′BC∴平面A′BC⊥平面A′DC，④正确，至于①无法得证，故选C．11．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是A．B．C．D．答案：D考点：正弦定理，两角和与差的正切公式解析：∵，∴，即，令，，，显然，∵，∴，解得，∴，B＝，故选D．12．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为A．B．C．D．答案：B考点：立体几何综合解析：取AB的中点N，可知平面A1MCN就是平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面，由平面A1MCN是菱形，且该菱形对角线A1C＝，MN＝，则S＝，故选B．二、填空题（本大题共4小题，

每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．直线l1：，l2：，若l1∥l2，则的值为．答案：﹣3考点：两直线平行解析：∵l1∥l2，∴，且，∴a＝﹣3．14．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则＝．答案：考点：两角和与差的余弦公式解析：当角为第三象限角时，则角为第四象限角∴，，，则；当角为第四象限角时，则角为第三象限角∴，，，则．综上，的值为．15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．答案：考点：扇形的弧长公式的运用，圆锥底面周长＝侧面展开图的弧长解析：该圆锥的侧面展开图的圆心角＝，∴最短路程＝．16．已知函数，则＝．答案：1000考点：三角恒等变换，三角函数的性质解析：，则函数的周期为4，求得，∴．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知，x(，)．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）解法一：因为，所以，于是…………1分…………3分．…………5分解法二：由，得，…………2分．…………5分（2）因为．故．…………6分，．…………8分所以．…………10分18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥平面PDC，△PCD为正三角形，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．（1）证明：在平行四边形中，连接交与点，连接在中，分别为中点，…………2分………………5分证明：在正三角形中，为中点，…………7分…………11分又因为中，所以…………12分19．（本小题满分12分）已知△ABC的三个顶点分别为A(a，b)，B(4，1)，C(3，6)．（1）求BC边所在直线的一般式方程；（2）已知BC边上中线AD所在直线方程为，且S△ABC＝7，求点A的坐标．解：（1），代入点斜式方程，，直线的一般方程为…………3分（2），中点坐标为，代入方程，得…………5分所以方程为，点满足方程，所以，设点到直线距离为，，所以…………7分同时利用点到直线的距离公式得，，所以，…………9分所以所以，所以点坐标为或………12分20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）当时，求四棱锥M—ECDF的体积．（1）证明：在平行四边形中，分别为的中点，所以在平行四边形中，，所以在中，,，所以,,………2分，，………6分………8分解：，，由（1）知，，所以点………10分，，所以四棱锥的体积为………12分21．（本小题满分12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝，∠ACD＝，路宽AD＝18米．设∠BAC＝()．（1