专题四圆周运动

关于专题四圆周运动第1页，共22页，2023年，2月20日，星期二典例赏析要点回顾复习指南目录第2页，共22页，2023年，2月20日，星期二专题四圆周运动

圆周运动问题是牛顿运动定律的应用的延续，圆周运动涉及的问题常有水平或竖直平面内的圆周运动、天体的运动、带电粒子在磁场或复合场中的运动.处理圆周运动时，先要明确研究对象，同时要确定研究对象的轨道平面和圆心的位置.对于做匀速圆周运动的物体，只存在改变速度方向的向心加速度，其受到的所有外力的合力即为产生向心加速度的向心力，对于做变速圆周运动的物体，不仅存在改变速度方向的向心加速度，还存在改变速度大小的切向加速度，其中产生向心加速度的向心力应为物体所受各力沿半径方向分力的矢量和.无论哪一情况，一般采用正交分解法处理，其坐标原点是做圆周运动的物体(视为质点)所在位置，相互垂直的两个坐标轴中，其中一个坐标轴的方向一定沿半径指向圆心.复习指南←返回目录第3页，共22页，2023年，2月20日，星期二要点回顾

1.匀速圆周运动

匀速圆周运动是线速度大小

的运动.因此它的角速度、周期和频率都是

的.物体所受的合外力提供向心力.做匀速圆周运动的物体，向心力（即合外力）大小不变，方向始终与速度方向垂直，向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小.做匀速圆周运动的物体的线速度v、角速度ω、周期T、频率f的关系是＝

.向心加速度a的大小为a＝

＝

.＝

＝4π2f2r，方向总是指向

，时刻变化.

2.变速圆周运动当做圆周运动的物体所受合外力方向与速度方向

.时，速度大小、方向发生变化，向心加速度和向心力都相应变化.←返回目录专题四圆周运动第4页，共22页，2023年，2月20日，星期二要点回顾

一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿

方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿

方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向.分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢.

3.万有引力定律及其应用

①基本方法：将天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由

提供，即：

②测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由得：M＝.又M＝πR3·ρ得：ρ＝

（R为中心天体的半径）.←返回目录专题四圆周运动第5页，共22页，2023年，2月20日，星期二要点回顾

③卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径R的关系由可得：v＝

.r越大，v越小.由＝mω2r可得：ω＝

.r越大，ω越小.由r可得：T＝2π.r越大，T越大.由＝ma向可得：a向＝

.r越大，a向越小.④地球同步卫星就是相对于地面

的，和地球自转具有相同

的卫星，即T＝24h.同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度约h≈3.6×104km处.

4.带电粒子（不计重力）以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子做匀速圆周运动，向心力由洛仑兹力提供，运动的轨道半径为R＝，运转周期为T＝

.←返回目录专题四圆周运动第6页，共22页，2023年，2月20日，星期二典例赏析例1如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴在竖直面内做自由转动，现给小球一个初速度，使它在竖直面内做圆周运动，图中a、b分别为小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）

A.a处为推力，b处为拉力

B.a处为推力，b处为推力

C.a处为拉力，b处为拉力

D.a处为拉力，b处为推力［分析］当物体在竖直平面内做圆周运动，且处于最高点的临界状态时，要注意约束的区别：绳与杆，绳只能提供拉力，而杆既能提供拉力又能提供支持力.←返回目录专题四圆周运动第7页，共22页，2023年，2月20日，星期二［解析］因改变小球速度方向的向心力是由小球所受的外力提供，且总是指向圆心的，故在最低点a处，无论小球速度大小如何，杆提供的只能是拉力，且拉力应大于重力，才能提供指向圆心的向心力，而在最高点b处，重力的方向是指向圆心的，可充当向心力，当小球需要的向心力刚好等于重力时（即在b处球速vb＝时，R为圆轨道半径），杆处于自由状态，既不产生拉力，也不产生推力；当小球的速度vb＜时，此时小球需要的向心力小于小球重力，球对杆产生挤压作用，杆产生沿半径向外的推力；当小球的速度vb＞时，小球此时所需要的向心力大于重力，有向外离心运动趋势而拉伸杆使杆产生对球的拉力.由以上分析可知，杆在a处只能是拉力，而在b处，则可能提供拉力、推力或不提供任何作用力.本题正确答案是C、D.典例赏析

［答案］

CD←返回目录专题四圆周运动第8页，共22页，2023年，2月20日，星期二

［点评］分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体（如：绳、杆、轨道支持面等）的力学特征着手.

①没有物体支撑的小球,在竖直面内做圆周运动,在最高点的动力学方程为：mg＋F＝m，F为绳或轨道对小球的作用力,其特征是：只能向下,最小为零.所以小球做完整的圆周运动应有一最小速度：v＝临界条件：绳或轨道对小球没有力的作用，mg＝m，v临界＝小球能过最高点的条件：v≥，当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.小球不能过最高点的条件：v＜（实际上球还没有到达最高点就脱离了轨道）.

②轻质杆连接小球在竖直面内做圆周运动，在最高点的动力学方程为：mg＋F＝m典例赏析←返回目录专题四圆周运动第9页，共22页，2023年，2月20日，星期二

变式练习1如右图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.典例赏析←返回目录

F为轻质杆对小球的作用力，其特征是：可以向下（拉力），可以向上（支持力）.即F可以大于0（拉力），也可小于0（支持力）.不存在临界情况.专题四圆周运动第10页，共22页，2023年，2月20日，星期二

例2质量为mA和mB的两个小球A和B用轻质弹簧连在一起，用长为L1的细绳将A球系于O轴上，使A、B两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴做匀速圆周运动，如图所示.当两球间的距离为L2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，两球加速度aA和aB各是多少？典例赏析←返回目录专题四圆周运动［分析］两球绕同一轴做圆周运动，圆周运动的半径不同，小球A所需向心力由绳的拉力和弹簧的弹力提供.小球B所需向心力由弹簧的弹力提供.［解析］B球绕O点做匀速圆周运动时，向心力由弹簧的弹力提供，则F＝mBω2（L1＋L2）第11页，共22页，2023年，2月20日，星期二典例赏析←返回目录

烧断线的瞬间，A、B受的合外力均为

F＝mBω2（L1＋L2），所以，两球的加速度分别为

ω2（L1＋L2）

ω2（L1＋L2）专题四圆周运动

［答案］

ω2（L1＋L2）ω2（L1＋L2）

［拓展］

线被烧断的瞬间，两球速度vA和vB各是多少？以后两小球怎样运动？

［点评］

物体做圆周运动的动力学原因是：物体所受的沿半径方向的合外力和物体运动所需的向心力相等.向心力的作用效果是改变物体运动的方向，如果向心力突然消失，则物体的速度方向不再变化，由于惯性物体将沿切线方向飞出；如果提供的使物体做圆周运动的向第12页，共22页，2023年，2月20日，星期二心力太小，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动，其轨迹为圆周和切线间的某条曲线；如果做圆周运动的物体所受的合外力大于它做圆周运动所需的向心力，那么物体会逐渐靠近圆心.典例赏析←返回目录专题四圆周运动

变式练习2如图所示，A、B两物体用轻绳连接，并穿在CD杆上，可沿杆滑动.已知A、B的质量分别为m1和m2，杆CD对物体AB的最大静摩擦力均与各物体的重力成正比，比例系数为μ，物体A离转轴OO′的距离为R1，物体B到转轴OO′距离为R2，且有R1＜R2和m1＜m2.当装置绕着转轴OO′转动的角速度缓慢增大到ω1时，连接两物体的轻绳开始有拉力；角速度增大到ω2时，其中一个物体受到杆的摩擦力为零；求：第13页，共22页，2023年，2月20日，星期二

（1）角速度ω1多大？此时两物体受到摩擦力多大？

（2）角速度ω2多大？

（3）角速度为ω2时轻绳拉力多大？典例赏析←返回目录专题四圆周运动

例32003年10月15日，我国成功发射了第一艘载人宇宙飞船“神舟五号”.火箭全长58.3m，起飞重量为479.8t，火箭点火升空，飞船进入预定轨道.“神舟五号”环绕地球飞行14圈用的时间是21h，飞船点火竖直升空时，航天员杨利伟感觉“超重感比较强”，仪器显示他对座舱的最大压力等于他重力的5倍.飞船进入轨道后，杨利伟还多次在舱内漂浮起来，假设飞船运行的轨道是圆形轨道.（地球半径R取6.4×103km，地面重力加速度g＝10m/s2）第14页，共22页，2023年，2月20日，星期二

试回答下列问题：

(1)试分析航天员在舱内“漂浮起来”的现象产生的原因.(2)求火箭点火发射时，火箭的最大推力.(3)估算飞船运行轨道距离地面的高度.(估算结果可以保留根号)典例赏析←返回目录专题四圆周运动

［分析］

火箭点火发射时，火箭加速上升，处于超重状态.进入圆形运行轨道后，飞船做圆周运动，向心力由地球对飞船的万有引力（重力）提供，系统处于完全失重状态.

［解析］(1)宇宙飞船进入轨道后，绕地球做圆周运动的过程中，其所受重力完全提供做圆周运动所需向心力，宇航员处于完全失重状态，所以会漂浮起来.(2)对航天员，火箭点火升空时有：

FN－mg＝ma，∴a＝4g第15页，共22页，2023年，2月20日，星期二典例赏析←返回目录

对飞船有：F－Mg＝MaF＝M(g＋a)＝479.8×103×(10＋40)N＝2.39×107N(3)飞船做圆周运动的过程中,万有引力提供向心力,设地球质量为M0即：r

同时有：GM0＝gR2飞船在轨运行周期：T＝s＝5400s由以上各式可得：r＝所以，飞船离地面的高度为：

h＝r－R＝m－6.4×106m＝3.2×105m专题四圆周运动

［答案］

见解析.

第16页，共22页，2023年，2月20日，星期二典例赏析←返回目录变式练习3

如图所示,质量为m的飞行器在绕地球的圆轨道Ⅰ上运行,半径为r1,要进入半径为r2的更高的圆轨道Ⅱ,必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ,然后再进入圆轨道Ⅱ,已知飞行器在圆轨道Ⅱ上运动时速度大小为v,在A点时通过发动机向后喷出一定质量的气体使飞行器速度增加到v′进入椭圆轨道Ⅲ,设喷出的气体的速度为u,求：专题四圆周运动

［点评］

研究天体运动(包括人造地球卫星的运动)的基本方法是：把天体的运动看作是匀速圆周运动，天体间的万有引力提供所需的向心力，即：＝＝mrω2＝另外，一般不考虑天体自转因素的影响，而认为物体在天体表面的重力大小等于天体对物体的万有引力，即：mg＝.第17页，共22页，2023年，2月20日，星期二

(1)飞行器在轨道Ⅰ上的速度v1及轨道Ⅰ处的重力加速度；

(2)飞行器喷出气体的质量.典例赏析←返回目录

例4已知回旋加速器中D形盒内匀强磁场的磁感应强度B＝1.5T,D形盒的半径为R＝60cm,两盒间隙d＝1.0cm,两盒间电压U＝2.0×104V,今将α粒子从近于间隙中心某点向D形盒内以近似于零的初速度，垂直于半径的方向射入，求粒子在加速器内运行的时间.［分析］回旋加速器、质谱仪等科学实验设备，其基本原理是带电粒子在回旋加速器中被电场加速，在速度选择器中选择粒子，在偏转磁场中因为洛伦兹力作用下而做圆周运动.回旋加速器最基本的原理是电场加速，磁场偏转.被加速粒子做圆周运动的周期与速度无关，是恒定的，每一周期被加速两次，只要得到粒子最后的能量和每次加速后增加的能量，即可知加速次数，进一步可知经历几个周期，就可求得总时间.专题四圆周运动第18页，共22页，2023年，2月20日，星期二典例赏析←返回目录［解析］粒子在D形盒中运动的最大半径为R，则R＝，则其最大动能为Ekm＝粒子被加速的次数为n＝＝则带电粒子在加速器内运动的总时间为

s＝4.3×10－5s专题四圆周运动［答案］

4.3×10－5s［点评］注意体会这种由最大运动半径求最大动能，由最大动能和每次加速所获得的动能求加速次数，再求总时间的分析思路.

第19页，共22页，2023年，2月20日，星期二

［拓展2］回旋加速器不能无限制地给带电粒子加速.在粒子的能量很高，它的速度接近光速时.根据爱因斯坦的狭义相对论，这时粒子的质量将随着速率的增加而显著地增大，从而使粒子回旋周期变大，这样交变电场的周期难以与粒子回旋周期一致，破坏了加速器工作条件，也就无法提高速率了