2020-2021学年江苏省启东市高二上学期期中考试数学试题 Word版

③由5bn＝－bn-1(n≥2)知{bn}是以b1＝1为首项，为公比的等比数列，所以，……………8分所以，所以，……………10分当n为奇数时，由于，故；当n为偶数时，由于，故，由在n为偶数时单调递增，所以当n＝2时，……………12分20．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n+1－t，求证：数列{an}是等比数列的充要条件为t＝3．【解】当n＝1时，S1＝32－t＝9－t，……………2分当n≥2时，由Sn＝3n+1－t得Sn-1＝3n－t，两式相减得an＝3n+1－3n＝2·3n（n≥2）……………4分（1）充分性已知t＝3，此时S1＝32－t＝9－3＝6，令n＝1，得a1＝2·31＝6＝S1，所以an＝2·3n（n∈N*）所以，所以数列{an}是等比数列．……………8分（2）必要性因为数列{an}是等比数列，所以a1＝2·31＝6，又因为S1＝9－t，所以9－t＝6，所以t＝3，……………10分综上所述：数列{an}是等比数列的充要条件为t＝3．……………12分21．(本小题满分12分)为了丰富市民的文化生活，市政府决定在A、B两个新村之间建一个市民广场C．若A、B两个新村间的直线距离是3百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离x成反比，由于两个新村的绿化等原因的差异，新村A，B的反比例系数分别为k和1－k(0<k<1)．将两个新村和市民广场看成三个点，且在同一条直线上．设A与C之间的距离为x百米，两个新村的噪音能量之和为函数f(x)．当A与C之间的距离为2百米时，两个新村的噪音能量之和为．（1）求函数f(x)的解析式，并写出定义域；（2）若两个新村的噪音能量之和最小时，市民广场的选址最合理，求最合理方案中A与C之间的距离．【解】（1）由题意，……………2分当x＝2时,，所以，……………4分故，定义域为(0,3)……………7分（2）因为，……………9分当且仅当(3x)2＝2(9－3x)2时取等号，此时，………10分答：当A，C之间距离为百米时，两个新村的噪音能量之和最小．…………12分22．(本小题满分12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为．过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且不与原点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）若y轴上的一点Q满足QA＝QB，求证：线段QM的中点在定直线上；（3）求的取值范围．【解】（1）由于椭圆C的短轴长为2，所以b＝1，因为椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为，所以a＋c＝EQ\r(,2)＋1，又因为b2＝a2－c2，所以a－c＝EQ\r(,2)－1，所以a＝EQ\r(,2)，c＝1．所以椭圆C的方程为；……………3分（2）法一：显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，代入整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，……………4分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，所以，所以直线QM的方程为．………5分令x=0，得，则yQ＝－yM，所以QM的中点在定直线x轴上．………7分法二：连接OM，设直线l的斜率为k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，，………4分两式相减得，即，所以，………5分又，所以，所以，即，所以QM的中点在定直线x轴上．………7分（3）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，，由（2）中法一知，由(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，得△＝(8k