2020北京重点校初二（上）期中数学汇编：三角形2

23/232020北京重点校初二（上）期中数学汇编三角形2一、单选题1．（2020·北京·101中学八年级期中）如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（

）A． B． C． D．2．（2020·北京师大附中八年级期中）在中，，，点是边上一定点，此时分别在边，上存在点，使得周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（）A． B． C． D．3．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，，，则等于（）A． B． C． D．4．（2020·北京师大附中八年级期中）若一个等腰三角形的两边长分别为，，则三角形的周长为（）A． B． C． D．或5．（2020·北京四中八年级期中）我们利用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：（1）作射线；（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；（3）以为圆心，为半径作弧，交于；（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；（5）连接作射线则就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（

）A． B． C． D．6．（2020·北京四中八年级期中）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（

）A． B． C． D．7．（2020·北京·清华附中八年级期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（

）A． B．C． D．8．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（）A．12 B．7 C．2 D．14二、填空题9．（2020·北京八十中八年级期中）如图，将一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，则∠α的度数是___________．10．（2020·北京·101中学八年级期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是_______．（请从“、、、、”中选择一个填入）．11．（2020·北京·汇文中学八年级期中）等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是_________cm．12．（2020·北京四中八年级期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为______．13．（2020·北京八十中八年级期中）如图，，欲使，只需添加一个条件__________，若，，可利用__________判定方法证明．14．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为__________．15．（2020·北京师大附中八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有__________个16．（2020·北京·101中学八年级期中）如图，在△ABC中，点D．E．F分别是线段BC、AD、CE的中点，且=，则=____17．（2020·北京四中八年级期中）已知锐角如图（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；（2）分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点连接；（3）作射线交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是_______________；；；；18．（2020·北京四中八年级期中）如图，已知每个小方格的边长为两点都在小方格的顶点上（即为格点），请在图中找一个格点，使为等腰三角形，则这样的格点有_________________个．19．（2020·北京四中八年级期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则点中在的平分线上是______________点．20．（2020·北京师大附中八年级期中）已知：如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，若，，则△BEC的周长为_______．21．（2020·北京一七一中八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=_____．22．（2020·北京一七一中八年级期中）建高楼通常用吊塔来吊建筑材料，而吊塔的上部是三角形结构，这是应用了三角形的_________．三、解答题23．（2020·北京·101中学八年级期中）已知：如图，在中，，于，平分，，求的度数．24．（2020·北京·101中学八年级期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．25．（2020·北京二中八年级期中）如图，在平面直角坐标系内，有一个等腰．（1）如图1，点，点，点C的坐标为________．（2）如图2，点，点B在y轴负半轴上，点C在第一象限，过点C作垂直于x轴于点H，则的值为___________．（3）如图3，点B与原点重合，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，点D为x轴正半轴上一点，点M为线段中点，在y轴正半轴上取点E，使，过点D作，交的延长线于点F，请补全图形，判断与的数量关系，并证明你的结论．26．（2020·北京师大附中八年级期中）尺规作图：如图，在中（1）作的角平分线；（2）作边的中线27．（2020·北京四中八年级期中）如图1，点是等腰三角形外一点，过点作于点．（1）依据题意，补全图形．（2）求证：．（3）如图2，与交于点，当是的中点时，翻折得到，连接求证：两点到直线的距离相等．28．（2020·北京一七一中八年级期中）如图，在

中，∠ACB=90°，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N，．猜测MN，AM，BN的关系，并证明．29．（2020·北京一七一中八年级期中）已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．AB=8（1）求BE的长（2）求证：DB=DE．30．（2020·北京二中八年级期中）如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边恰好分别经过.（1）若，则°，°，°.（2）若则°.（3）请你猜想一下与所满足的数量关系.

参考答案1．A【分析】先根据平行线的性质得到∠C=∠F，再证明CB=FE，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：，，，，即，当添加，即时，可根据“”判断；当添加时，可根据“”判断；当添加时，可根据“”判断．故选：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．2．B【分析】如图，先作分别关于，对称的三角形，以及的对称点，，找到周长最小的条件即、M、N、共线时，进而设，，，，通过各边关系列出方程，解出x，即可求得的值.【详解】如图作分别关于，对称，得，，以及的对称点，，则，，所以、M、N、共线时，周长最小。作、、关于的垂线，垂足为、、，由梯形的性质，得，在中，，设，，，，则由，，令，由，得，所以，即，化简得，所以，又因为平分，故，所以，若，则，解得（负根舍去），此时，同理可知，若或均可得，所以，故选B【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正确的做出对称图形是本题的关键.3．C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝120°，∴∠A＋∠D＝∠A＋2∠A＝180°−120°＝60°，∴∠A＝20°，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．C【分析】分4cm长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．【详解】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4＋2＋4＝10（cm）；当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2＋2，不满足三角形的三边关系，所以此三角形不存在．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键．5．C【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．【详解】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；故选：C．【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．6．D【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．【详解】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．7．D【分析】方案A中求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；方案C中，如图1，AD⊥BC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；由垂线段最短得方案B中光缆比方案C中长；方案D中，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可．【详解】解：设等边三角形ABC的边长为a，A、铺设的电缆长为a+a=2a；C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴D为BC的中点，∴BD=DC=BC=a，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：，则铺设的电缆长为；B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，∴设DO=x，则BO=2x，BD=，故，解得：，则，则铺设的电缆长为，∵，∴方案D中光缆最短；故选：D．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、作图-应用与设计作图、垂线段最短以及勾股定理等知识，是一道方案型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．8．A【分析】由题意易得BC=EC，AC=DC，然后由CE＝5，AC＝7可求解．【详解】解：△ABC≌△DEC，BC=EC，AC=DC，CE＝5，AC＝7，BD=BC+CD=CE+AC=5+7=12；故选A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9．【分析】根据直角三角板的已知角度以及三角形外角性质即可求解．【详解】如图，故答案为：【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．10．．【分析】根据题意得到和均为直角三角形，再由判断三角形全等，即可得出答案．【详解】由题意可得∴和均为直角三角形在和中∴故答案为：．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．11．15【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当腰为时，，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为时，，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；解题的关键是题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．12．【分析】连接AD，根据三角形内角和性质，得；根据轴对称的性质，得，；结合，通过计算即可得到答案．【详解】如下图，连接AD根据题意得：，∴∵将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、∴，∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、轴对称的性质，从而完成求解．13．

AB＝DC（答案不唯一）

HL【分析】添加一个条件AB＝DC可以利用SSS定理证明△ABC≌△DCB；由已知条件利用HL可证明△ABC≌△DCB．【详解】解：添加一个条件AB＝DC；在△ABC≌△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；∵，，又BC=CB故可用HL判定△ABC≌△DCB．故答案为：AB＝DC（答案不唯一）；HL．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC−CE＝2−＝，故答案为：．【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．15．【分析】分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴的交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴的交点，即可得到答案．【详解】解：如图所示，一共有5个这样的点，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．16．2．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解:∵点D是BC的中点，∴===4，∵点E是AD的中点，∴==2，==2，∴+=4，∴=8-4=4，∵点F是CE的中点，∴==×4=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等（同）底等（同）高的三角形的面积相等．17．②③④．【分析】根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．【详解】解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=CD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，∴CQ=DQ∴CP=2QC故②③④正确，故答案为②③④．【点睛】本题考查角平分线的作图-复杂作图及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．18．8【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的点C有8个．故答案是：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．19．Q【分析】先找到OA、OB上的格点E、F，连接EQ、FQ，证明，即可进行判断．【详解】解：如图,连接EQ、FQ，由图可知OE=OF，EQ=FQ，OQ=OQ，∴∴∴OQ平分，∴点Q在∠AOB的平分线上．故答案为：Q．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟悉SSS判定是解题关键．20．11【分析】根据题意易得AB=AC=2AD=6，AE=BE，进而根据线段的等量关系及三角形的周长可求解．【详解】解：∵，DE垂直平分线段AB，∴AD=BD，AE=BE，∵AD=3，∴AB=AC=2AD=6，∵BC=5，∴；故答案为6．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．21．1【分析】在直角三角形中，根据性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此解题即可．【详解】在中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，CD是高，故答案为：1．【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，其中涉及余角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答．【详解】解：吊塔的上部是三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．故答案为：稳定性．【点睛】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．23．121°【分析】先在△ABC中根据内角和定理算出，再根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可．【详解】解：在中，，，于，，在中，，平分，，．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质应用，结合三角形内角和定理求解是关键．24．答案见详解．【分析】由BE=CF可得BC=EF，然后再利用SAS证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=FC+EC，即BC=EF．

在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．25．（1）C（1，3）；（2）4；（3）CD＝DF；证明见解析．【分析】（1）如图1中，过点C作CR⊥y轴于R．证明△AOB≌△BRC（AAS），即可解决问题；（2）如图2中，过点C作CH⊥x轴于H，过点B作BT⊥CH交CH的延长线于T，设AH交BC于点J．证明△AOB≌△CTB（AAS），推出AO＝CT，可得结论；（3）结论：CD＝DF．连接AE，延长AE交CD于J．利用全等三角形的性质证明CD＝AE，AE＝DF．【详解】解：（1）如图1中，过点C作CR⊥y轴于R．∵点A（−4，0），点B（0，−1），∴OA＝4，OB＝1，∵∠AOB＝∠ABC＝∠CHB＝90°，∴∠ABO＋∠CBR＝90°，∠CBR＋∠BCR＝90°，∴∠ABO＝∠BCR，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BRC（AAS），∴BR＝AO＝4，CR＝OB＝1，∴OR＝BR−OB＝3，∴C（1，3）．故答案为：（1，3）．（2）如图2中，过点C作CH⊥x轴于H，过点B作BT⊥CH交CH的延长线于T，设AH交BC于点J．∵∠ABJ＝∠CHJ＝90°，∠AJB＝∠CJH，∴∠BAO＝∠BCT，∵∠AOB＝∠T＝90°，AB＝BC，∴△AOB≌△CTB（AAS），∴AO＝CT，∵∠BOH＝∠OHT＝∠T＝90°，∴四边形OHTB是矩形，∴OB＝HT，∴CH＋OB＝CH＋HT＝CT＝4．故答案为：4．（3）结论：CD＝DF．理由：连接AE，延长AE交CD于J．∵OA＝OC，∠AOE＝∠COD＝90°，CE＝OD，∴△AOE≌△COD（SAS），∴∠OAE＝∠OCD，AE＝CD，∵∠CEJ＝∠AEO，∴∠CJE＝∠AOE＝90°，∴AJ⊥CD，∵DF⊥CD，∴AJ∥DF，∴∠AEM＝∠DFM，∵∠AME＝∠DMF，AM＝MD，∴△AME≌△DMF（AAS），∴AE＝DF，∴CD＝DF．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BAC的平分线；（2）先作AC的垂直平分线得到BC的中点N，则BN为△ABC的中线．【详解】（1）如图，AM为所作；（2）如图，BN为所作．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的角平分线、高．27．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）依据题意画出图形即可；（2）过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AHD，可得结论；（3）过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC延长线于N，由“AAS”可证△AGF≌△DNF，可得AG＝DN＝GN，可得结论．【详解】（1）解：如图3所示即为所求：证明：（2）如图4，过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，∵AE⊥BD，AH⊥DH，∴∠AED＝∠H＝90°．∴∠EDH＋∠EAH＝180°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．又∵∠BDC＝2∠ABC，∴∠BDC＋∠BAC＝180°．∴∠BAC＝∠EAH．∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．即∠BAE＝∠CAH．在△ABE和△ACH中，∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．∴AE＝AH，BE＝CH．在Rt△AED和Rt△AHD中，AE＝AH，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．∴DE＝DH．∴DE＝BE＋CD；证明：（3）如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长线于点N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN＝DN，∵F是AD的中点，∴AF＝DF，在△AGF和△DNF中，∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，∴△AGF≌△DNF（AAS）．∴AG＝DN．∴AG＝GN．∴A，G两点到直线BC的距离相等．【点睛】本题为几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．28．，证明见详解．【分析】根据，，，可得，再根据即可判定，此可以得到；【详解】解：猜想，，，，，，，，在和中，，；∴，，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟悉相关性