2023年解析几何题库

解析几何题库一、选择题1.已知圆C与直线x－y=0及ｘ-ｙ-4＝0都相切,圆心在直线x+ｙ=0上,则圆C的方程为A.Ｂ.C.D.【解析】圆心在ｘ＋y=0上,排除C、D，再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径ＥQ\r(２)即可.【答案】B2.直线与圆的位置关系为()A．相切 B．相交但直线但是圆心Ｃ.直线过圆心 ﻩD．相离【解析】圆心为到直线,即的距离，而，选Ｂ。【答案】B3.圆心在轴上，半径为1,且过点（1,２)的圆的方程为(）A. B.C.ﻩ Ｄ.解法1（直接法）：设圆心坐标为,则由题意知,解得，故圆的方程为。解法2（数形结合法):由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2)，故圆的方程为解法3（验证法）:将点(1,２)代入四个选择支，排除B,D,又由于圆心在轴上,排除C。【答案】A4.点P（4，－2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是（）A.B．C.D.【解析】设圆上任一点为Ｑ（s,ｔ），PQ的中点为A(x，y)，则,解得：，代入圆方程，得（2x-4)2+(2y+2)2=4,整理,得：【答案】Ａ5．已知直线平行,则k得值是(）A.1或3B．１或5C.３或5D.1或2【解析】当k＝3时,两直线平行,当k≠3时,由两直线平行，斜率相等,得:＝k-3,解得：ｋ=5,故选C。【答案】C6．过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、Ｂ，被圆提成四部分（如图),若这四部分图形面积满足则直线AＢ有（)(Ａ)0条（Ｂ)1条(C）2条(D）３条【解析】由已知,得:,第II，IＶ部分的面积是定值，所以，为定值,即为定值，当直线AB绕着圆心Ｃ移动时,只也许有一个位置符合题意，即直线ＡB只有一条，故选B。【答案】B7.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网A.Ｂ.2C．D.2【答案】Ｄ二、填空题8.以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是.【解析】将直线化为，圆的半径,所以圆的方程为【答案】９．设直线的参数方程为(t为参数)，直线的方程为y=3ｘ+4则与的距离为_＿_____【解析】由题直线的普通方程为,故它与与的距离为。【答案】10.若圆与圆的公共弦长为，则ａ=___＿_＿__.【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为，运用圆心(０，0)到直线的距离d为,解得ａ=１.【答案】11１.若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是①②③④⑤其中对的答案的序号是．(写出所有对的答案的序号）【解析】解：两平行线间的距离为,由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。【答案】①⑤12．已知为圆:的两条互相垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为。【解析】设圆心到的距离分别为，则．四边形的面积【答案】513．已知圆Ｏ:和点A(1，２)，则过Ａ且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即ｘ＋２y－5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是５和,所以所求面积为。【答案】１4．过原点O作圆x2＋ｙ2－6ｘ－8y+２0=０的两条切线，设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为。【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得．【答案】4１５．．设直线系,对于下列四个命题：.中所有直线均通过一个定点．存在定点不在中的任一条直线上．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上．中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号）.【解析】由于所以点到中每条直线的距离即为圆：的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线，所以A错误;又由于点不存在任何直线上，所以B对的；对任意,存在正边形使其内切圆为圆，故对的；中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误，故命题中对的的序号是B，Ｃ.【答案】三、解答题16.(本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.(1）若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程；（2)设P为平面上的点，满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。解(１)设直线的方程为:,即由垂径定理，得:圆心到直线的距离,结合点到直线距离公式,得：化简得:求直线的方程为：或，即或(2）设点P坐标为,直线、的方程分别为：，即：由于直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：:圆心到直线与直线的距离相等。故有：,化简得:关于的方程有无穷多解，有:解之得:点P坐标为或。202３—202３年高考题一、选择题1．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-４=０,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为ﻩ ﻩﻩ（）.A．3ﻩ B.2 ﻩC. D.答案Ａ解析，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有再将A、B、C、D代入验证得对的答案是Ａ。２．原点到直线的距离为ﻩﻩ ﻩﻩ（）A.１ﻩ B． Ｃ.2ﻩ D.答案D解析。３.将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为 ﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩ ()Ａ. ﻩ B.C. ﻩﻩD.答案Ａ４．如图,在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、Ｄ的定圆所围成的区域（含边界）,A、B、C、Ｄ是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称Ｐ优于．假如中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧ﻩ()Ａ．B． ﻩﻩC.D.答案D5．若直线与圆相交于Ｐ、Q两点,且∠POQ＝120°（其中O为原点），则ｋ的值为 ﻩﻩ ﻩﻩ ﻩﻩ(）A.-或ﻩ B．ﻩ Ｃ.－或ﻩﻩＤ.答案A6．“”是“直线平行于直线”的（）Ａ．充足而不必要条件 ﻩB．必要而不充足条件C.充足必要条件 ﻩﻩ ﻩﻩD．既不充足也不必要条件答案C7.圆的切线方程中有一个是ﻩ()A.ｘ-ｙ=0ﻩﻩB.x＋y=0ﻩﻩＣ.x=０ D．y=0答案C8.设直线的方程是，从1,2,3，４,５这五个数中每次取两个不同的数作为A、Ｂ的值,则所得不同直线的条数是ﻩ（）ﻩA．２0B．19 Ｃ.18ﻩＤ.１6答案C9.设直线过点,且与圆相切，则的斜率是工ﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩ （)A.ﻩﻩﻩﻩB. Ｃ.ﻩﻩ D.答案C10.若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为()A．8或－２ B．6或-４ Ｃ．4或-６ D.2或-８答案A11.“m=”是“直线(m+２)ｘ+3my+1＝0与直线（m-2)x+(m＋2）ｙ-3=0互相垂直”的ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ (）A.充足必要条件B．充足而不必要条件Ｃ.必要而不充足条件Ｄ.既不充足也不必要条件答案B二、填空题12．已知圆C的圆心与点关于直线ｙ=x+１对称，直线３ｘ＋4y-１1=０与圆Ｃ相交于两点，且,则圆C的方程为__＿___＿.答案１3．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为____＿_＿.答案14.通过圆的圆心，且与直线垂直的直线程是.答案15．如图，是直线上的两点，且.两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是.答案16.圆心为且与直线相切的圆的方程是.答案（x－1)2+(ｙ－１)2=217.已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4,-２≤ｘ-y≤２.若目的函数ｚ＝ax＋ｙ(其中a＞０)仅在点（3,1)处取得最大值，则ａ的取值范围为_＿_.答案a>118．设实数ｘ,y满足.答案第二部分三年联考汇编２0２３年联考题一、选择题１.“a=3”是“直线与直线平行”的(）条件A.充要B．充足而不必要C．必要而不充足D．既不充足也不必要答案C2.直线x+y+１=0与圆的位置关系是ﻩ（）A.相交B.相离C.相切Ｄ.不能拟定答案Ｃ3.两圆的位置关系是 （）A．内切B.外切 Ｃ．相离Ｄ.内含答案Ｂ4.已知点Ｐ（x,y)是直线ｋx+y+４=０（ｋ>0)上一动点,PA、PB是圆Ｃ:的两条切线,A、Ｂ是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 （)A．3ﻩB． C.ﻩＤ．２答案Ｄ5.已知实系数方程ｘ2+aｘ+2ｂ＝０，的一个根大于0且小于1，另一根大于１且小于2，则的取值范围是（)Ａ．(EQ\ｆ(1，４),1) B.(EQ\f(1，2），１） Ｃ.(-EQ\f(1，２)，ＥQ\ｆ(1,４)）Ｄ.(0,EQ＼ｆ(1,３）)答案A6.点到直线的距离不大于3，则的取值范围是（ )A．ﻩﻩＢ．C．ﻩ D.或答案C７.已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之(）A. B.Ｃ.ﻩD.答案Ｂ8.直线和圆的关系是（)Ａ.相离Ｂ.相切或相交C.相交 D．相切答案C9．过点的直线将圆(x-２）2+y2=9提成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线的方程是 （）ﻩA．ﻩB.ﻩＣ. D.答案Ｄ二、填空题1０.从圆(x-1)2+（ｙ-1)２＝1外一点向这个圆引切线,则切线长为．答案2１1.直线与直线关于点对称,则b＝_＿_＿______＿。答案212.过点Ｃ(6,-８）作圆的切线,切点为A、B,那么点C到直线ＡB的距离为＿＿＿＿＿_____＿_。答案13．光线由点P(2,3)射到直线上,反射后过点Q(1,1),则反射光线方程为.答案4x－5y+1＝014.过的直线ｌ与圆C:(x-１）2+y2=4交于A、B两点，当∠ACB最小时,直线的方程为.答案202３—2023年联考题一、选择题1.已知点A（３,2）,B（-2,７),若直线ｙ=ax-3与线段AB的交点P分有向线段AB的比为4:1,则ａ的值为（）A.3 ﻩ ﻩB．-３ﻩ C．9ﻩ D.-9答案D2．由直线上的点向圆（x-3)２+(y+２)2=1引切线,则切线长的最小值为 ()Ａ.Ｂ.Ｃ．D.答案Ａ3．圆被直线提成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 （)A.1∶2Ｂ.1∶3C．1∶4D.１∶５答案B４.直线平分圆ｘ2+y２-8x+2y-2=０的周长,则 ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩ （)A．3ﻩ Ｂ．５ ﻩﻩC.-3 ﻩ Ｄ．－５答案D5．把直线按向量平移后恰与相切,则实数的值为(）Ａ．或 Ｂ.或 C.或 D．或答案C6.若圆上有且仅有两个点到直线4ｘ-３y－２=0的距离为１,则半径ｒ的取值范围是ﻩﻩ(）A.(４，6）ﻩﻩＢ．[4，６)ﻩＣ.（４,６]ﻩD.［4,６］答案A７．已知直线ax+ｂy-1=0(a，b不全为０)与圆ｘ2+y2=50有公共点,且公共点横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（)条A.６6B．7２C.７4D.78答案C二、填空题７．光线从点Ｐ(-3，５）射到直线l:3x-４y+４＝0上，通过反射，其反射光线过点Q(3，5），则光线从Ｐ到Q所走过的路程为. 答案８8．圆为参数)的标准方程是,过这个圆外一点P的该圆的切线方程是。答案(ｘ－1)２＋(y－1)２=1；x＝2或3x－4y＋6=０9．与圆相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有＿_____＿_条.答案410．设直线与圆(ｘ－1)２+(y-2)2=４相交于A、B两点,且弦长为,则a=。答案0１１．设直线的方程为，将直线绕原点按逆时针方向旋转得到直线,则的方程是答案2x-y+2＝０12.若≠kx+2对一切ｘ≥5都成立，则k的取值范围是________．答案k>1/10或k<2/513.⊙M:x２+ｙ2=4,点P(ｘ0,y0)在圆外,则直线ｘ0ｘ+y0ｙ＝４与⊙M的位置关系是＿＿___答案相交三、解答题14.已知:以点C(t,EQ\F（2，t))(t∈R，ｔ≠0)为圆心的圆与轴交于点Ｏ,Ａ，与y轴交于点Ｏ,B，其中Ｏ为原点．(１)求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线ｙ=–2x＋４与圆Ｃ交于点M,N，若OＭ=ON,求圆C的方程.解(1）,.设圆的方程是令,得；令，得，即：的面积为定值.（2）垂直平分线段.,直线的方程是．,解得：当时，圆心的坐标为,，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点.当时,圆心的坐标为,,此时到直线的距离圆与直线不相交,不符合题意舍去.圆的方程为．１5.已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为.(１)求点M轨迹的方程;(２）若过点的直线与(1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围(为坐标原点）.解（1)设点的坐标为,∵，∴．整理,得（），这就是动点Ｍ的轨迹方程.(2)方法一由题意知直线的斜率存在，设的方程为（）①将①代入,得，由,解得.设，，则②令,则，即，即,且由②得，即.且且．解得且，且.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是.方法二由题意知直线的斜率存在，设的方程为①将①代入,整理,得,由,解得.设,,则②令,且.将代入②,得∴.即．∵且，∴且.即且.解得且.,且．故△ＯBE与△ＯBF面积之比的取值范围是． 16.已知过点A（０,1），且方向向量为,相交于M、Ｎ两点.（１）求实数的取值范围； （２)求证：;（3)若O为坐标原点,且.解(１）由.

.17.在△ＡＢC中,A点的坐标为(３,0）,BC边长为2，且BC在y轴上的区间[－3,3]上滑动.（１）求△ABＣ外心的轨迹方程；（2)设直线l∶y＝3x＋b与(１)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时ｂ的值．解(1）设B点的坐标为（0，）,则C点坐标为(0，+2)(-3≤≤1)，则BC边的垂直平分线为y=＋1①②由①②消去，得.∵，∴．故所求的△ＡＢＣ外心的轨迹方程为：．（2）将代入得.由及,得.所以方程①在区间，2有两个实根．设，则方程③在,２上有两个不等实根的充要条件是:得∵∴又原点到直线ｌ的距离为,∴∵，∴.∴当,即时，．第二节圆锥曲线第一部分五年高考荟萃２023年高考题２023年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.设双曲线(a＞0,b>0）的渐近线与抛物线y=x2＋1相切,则该双曲线的离心率等于()A.B．２C．Ｄ.【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得:．【答案】C2.已知椭圆的右焦点为,右准线为,点,线段交于点，若,则=()A.B.２Ｃ.D.３【解析】过点Ｂ作于M,并设右准线与x轴的交点为Ｎ，易知FN=1.由题意，故.又由椭圆的第二定义，得.故选A【答案】Ａ3.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是()Ａ．Ｂ.C．D．【解析】对于,则直线方程为,直线与两渐近线的交点为B,C,则有,因．【答案】C4.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴,直线交轴于点．若,则椭圆的离心率是（)A.B.C.D．【解析】对于椭圆,由于，则【答案】D5.点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且,则称点为“点”，那么下列结论中对的的是（）A．直线上的所有点都是“点”B．直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”Ｄ.直线上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”【解析】本题重要考察阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考察学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图,设，则,∵，∴消去ｎ,整理得关于x的方程(1)∵恒成立,∴方程(1)恒有实数解,∴应选A．【答案】A6.设双曲线的一条渐近线与抛物线ｙ=x+１只有一个公共点，则双曲线的离心率为().Ａ.B.5C．D.【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组，消去y,得有唯一解,所以△=,所以，,故选D.【答案】D【命题立意】:本题考察了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点，则解方程组有唯一解.本题较好地考察了基本概念基本方法和基本技能.7.设斜率为2的直线过抛物线的焦点Ｆ,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为４,则抛物线方程为（）.A.B.C．D．【解析】抛物线的焦点F坐标为，则直线的方程为，它与轴的交点为Ａ,所以△OＡF的面积为，解得.所以抛物线方程为,故选B.【答案】B【命题立意】:本题考察了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算．考察数形结合的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.８.双曲线的渐近线与圆相切,则r=（)A.B.2Ｃ．3D.6【解析】本题考察双曲线性质及圆的切线知识,由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=．【答案】A9．已知直线与抛物线Ｃ：相交A、B两点,F为C的焦点。若，则ｋ=()A.Ｂ.Ｃ.D．【解析】本题考察抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0),由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k＝.【答案】D10.下列曲线中离心率为的是Ａ.Ｂ．C.Ｄ．【解析】由得,选B．【答案】B１1．若双曲线的离心率为2，则等于()Ａ.2Ｂ．C.D.１【解析】由，解得a＝1或ａ=３,参照选项知而应选Ｄ．【答案】Ｄ12.下列曲线中离心率为的是(.（）A.ﻩB. Ｃ.ﻩD．【解析】依据双曲线的离心率可判断得.．选B。【答案】Ｂ１3.设和为双曲线()的两个焦点,若,是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为Ａ．Ｂ.C．D.3【解析】由有，则,故选B.【答案】B14.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点,若，则椭圆的离心率为A.B．C．D．【解析】由于，再由有从而可得，故选B【答案】Ｂ15.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（)A.B.Ｃ.D.【解析】由已知得到，由于双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为【答案】C【考点定位】本试题重要考察了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。16．已知双曲线的准线过椭圆的焦点,则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A.B.C.D.【解析】易得准线方程是所以即所以方程是联立可得由可解得A.【答案】A1７．已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.则·=()A.-12B.－２C.0D.４【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是,于是两焦点坐标分别是(-2，0）和(2，0），且或.不妨去,则,.∴·＝【答案】C１8.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若,则()ﻩA.B． C.D．【解析】设抛物线的准线为直线恒过定点P.如图过分别作于，于，由,则,点Ｂ为AP的中点.连结,则，点的横坐标为，故点的坐标为,故选Ｄ.【答案】D１９.已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为()mA.Ｂ.C．D．【解析】设双曲线的右准线为,过度别作于,于，，由直线AB的斜率为,知直线AＢ的倾斜角,由双曲线的第二定义有.又.【答案】A２0．抛物线的焦点坐标是()A.(２，0)Ｂ．（-２,0）C.(4，0)D.(-４，0）【解析】由,易知焦点坐标是,故选B.【答案】B２1.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为()A．Ｂ.2C．D.1【解析】双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为，【答案】A22.“”是“方程”表达焦点在y轴上的椭圆”的A.充足而不必要条件B．必要而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不必要条件【解析】将方程转化为,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以.【答案】C23．设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率等于()Ａ．B.2C.D．【解析】由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得,因渐近线与抛物线相切,所以,即,故选择C.【答案】Ｃ2４.已知双曲线(b＞０）的焦点,则ｂ＝（)A．3B．Ｃ.D.【解析】可得双曲线的准线为，又由于椭圆焦点为所以有.即ｂ2=３故b=．故Ｃ.【答案】C27.设抛物线＝2x的焦点为F，过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于Ｃ，=2,则BCF与ＡＣF的面积之比=（)A.B.C．D.【解析】由题知，又由Ａ、B、M三点共线有即，故，∴,故选择Ａ。【答案】Ａ２8.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是(）Ａ.2Ｂ.3C．D.【考点定位】本小题考察抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。【解析１】直线为抛物线的准线,由抛物线的定义知,P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小,最小值为到直线的距离，即，故选择A。【解析２】如图,由题意可知【答案】Ａ二、填空题２9.设已知抛物线Ｃ的顶点在坐标原点，焦点为F(1，０)，直线ｌ与抛物线C相交于Ａ，B两点。若ＡＢ的中点为(2,2),则直线l的方程为_____＿_______．【解析】抛物线的方程为,【答案】ｙ=ｘ30.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【解析１】由于在中，由正弦定理得则由已知,得，即设点由焦点半径公式,得则记得由椭圆的几何性质知,整理得解得，故椭圆的离心率【解析2】由解析１知由椭圆的定义知,由椭圆的几何性质知所以以下同解析1．【答案】３１.椭圆的焦点为，点P在椭圆上,若,则；的大小为.．w【解析】本题重要考察椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考察.∵,∴,∴,又，∴，又由余弦定理，得,∴,故应填.32．巳知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上，离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．【解析】,,，，则所求椭圆方程为．【答案】33．抛物线的焦点到准线的距离是．【解析】焦点（1,0），准线方程，∴焦点到准线的距离是２.【答案】234.过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线,切点分别为A,Ｂ,若（O是坐标原点）,则双曲线线C的离心率为.【解析】,【答案】235.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为８,则_＿_____＿________【解析】由题意可知过焦点的直线方程为,联立有，又。【答案】2３6.以知F是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间，且双曲线右焦点为F’（4,0),于是由双曲线性质｜PF|-|ＰF’|＝2a＝４而|PA|+|PＦ’|≥|AF’|=5两式相加得｜PＦ|+|PA|≥9,当且仅当A、Ｐ、Ｆ’三点共线时等号成立.【答案】937.已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于Ａ,Ｂ两点，若为的中点，则抛物线C的方程为。【解析】设抛物线为y２=kx，与ｙ＝x联立方程组，消去y，得:ｘ２-kx＝0，=k=2×2，故.【答案】38.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60,则双曲线C的离心率为.【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形,由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长,是焦半距,且一个内角是，即得,所以,所以，离心率.【答案】３9.已知、是椭圆（>>0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=__________＿_.【解析】依题意,有,可得4c２+36=４a2，即a2－c２=9,故有b=3。【答案】3三、解答题40.(本小题满分14分)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上，离心率为，两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12．圆:的圆心为点.(１）求椭圆G的方程（２)求的面积（3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由．解（1）设椭圆G的方程为:()半焦距为c;则,解得，所求椭圆G的方程为：.(2)点的坐标为（３）若，由可知点(6,０)在圆外,若，由可知点（-６，0）在圆外;不管Ｋ为什么值圆都不能包围椭圆G.41.（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I)求椭圆的方程;(II)设点在抛物线:上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值.解(I)由题意得所求的椭圆方程为，(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为,直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得,即,由于直线MＮ与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段ＭN的中点的横坐标是,则,设线段PA的中点的横坐标是,则，由题意得，即有，其中的或;当时有,因此不等式不成立；因此，当时代入方程得,将代入不等式成立，因此的最小值为１．42．（本题满分15分）已知抛物线:上一点到其焦点的距离为．(Ｉ）求与的值;(IＩ)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点,过点作的垂线交于另一点.若是的切线，求的最小值.解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程:,根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离,即,解得抛物线方程为:，将代入抛物线方程，解得(Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0,设其为。则，当则。联立方程，整理得:即：,解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即：，解得：，或,而抛物线在点N处切线斜率：ＭＮ是抛物线的切线，,整理得，解得（舍去)，或，４3．(本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为。(Ⅰ）求双曲线C的方程;（Ⅱ）已知直线与双曲线Ｃ交于不同的两点A，B,且线段AB的中点在圆上,求m的值．【解析】本题重要考察双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考察曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考察推理、运算能力．解(Ⅰ）由题意,得，解得,∴，∴所求双曲线的方程为.（Ⅱ）设A、Ｂ两点的坐标分别为，线段ＡＢ的中点为，由得（判别式）,∴,∵点在圆上,∴,∴.44.(本小题共１4分)已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；(Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值．【解法1】本题重要考察双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考察曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考察推理、运算能力．(Ⅰ)由题意,得,解得,∴,∴所求双曲线的方程为．（Ⅱ)点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得．由及得,∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且,∴,且，设A、B两点的坐标分别为,则,∵,且，．∴的大小为.【解法2】（Ⅰ）同解法１.(Ⅱ)点在圆上,圆在点处的切线方程为,化简得．由及得①②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且，∴,设A、B两点的坐标分别为，则，∴，∴的大小为.（∵且，∴,从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.45.(本题满分１0分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，通过点A(２，2）,其焦点Ｆ在轴上。（1)求抛物线Ｃ的标准方程;(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程；(3）设过点的直线交抛物线C于D、Ｅ两点，ＭＥ=２DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。46．（本小题满分14分)设椭圆E：（a,b＞０)过Ｍ（2,)，N(,1)两点，O为坐标原点，(I）求椭圆E的方程;(IＩ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且？若存在，写出该圆的方程,并求|AB｜的取值范围，若不存在说明理由。解：(1）由于椭圆E:（a,ｂ>0)过M（2,），Ｎ(,1)两点，所以解得所以椭圆E的方程为（2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点Ａ,Ｂ,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△＝,即,要使,需使，即,所以，所以又,所以,所以,即或,由于直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,，,所求的圆为,此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且.由于，所以,，①当时由于所以,所以,所以当且仅当时取”=”.当时，.当ＡB的斜率不存在时,两个交点为或，所以此时,综上，｜ＡB|的取值范围为即:【命题立意】：本题属于探究是否存在的问题,重要考察了椭圆的标准方程的拟定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,可以运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.47．(本小题满分14分)设,在平面直角坐标系中，已知向量,向量，,动点的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表达曲线的形状;(2）已知,证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B,且（Ｏ为坐标原点)，并求出该圆的方程;（3)已知,设直线与圆C:(1＜R<2）相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点Ｂ１,当Ｒ为什么值时,|A1Ｂ1｜取得最大值?并求最大值.解（1）由于,，,所以,即.当m=0时,方程表达两直线,方程为;当时,方程表达的是圆当且时,方程表达的是椭圆;当时,方程表达的是双曲线.(２).当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得，即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,Ｂ,则使△＝,即，即,且,要使,需使，即，所以，即且,即恒成立.所以又由于直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，,所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为，与交于点或也满足.综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为，由于直线与圆C：（1<R<2)相切于A１,由(2)知,即①,由于与轨迹E只有一个公共点Ｂ1,由（2）知得,即有唯一解则△=,即,②由①②得,此时Ａ,B重合为B1(ｘ１,y1)点，由中,所以，,B１(ｘ1,y1)点在椭圆上,所以,所以，在直角三角形ＯA1B1中,由于当且仅当时取等号,所以，即当时|Ａ1B1|取得最大值，最大值为1．【命题立意】:本题重要考察了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系，可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.４8.（本小题满分12分）已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否存在点P，使得当l绕Ｆ转到某一位置时,有成立？若存在,求出所有的P的坐标与ｌ的方程；若不存在,说明理由。解析:本题考察解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问运用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的解决。解（Ⅰ)设当的斜率为1时，其方程为到的距离为，故，由，得,=（Ⅱ）Ｃ上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立。由（Ⅰ)知C的方程为＋=6.设(ⅰ)C成立的充要条件是,且整理得故①将于是,=，代入①解得,，此时于是=,即因此,当时,,；当时,,。(ⅱ)当垂直于轴时,由知,Ｃ上不存在点P使成立。综上,Ｃ上存在点使成立，此时的方程为．4９.（本小题满分14分）已知曲线与直线交于两点和，且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．(１)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程；（2)若曲线与有公共点，试求的最小值.解（1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即，∴中点的轨迹方程为（).xAxBDxAxBD（2)曲线，即圆：,其圆心坐标为，半径由图可知,当时，曲线与点有公共点;当时，要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线的距离,得,则的最小值为．50．(本小题满分13分）点在椭圆上,直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OＰ的倾斜角为，直线的倾斜角为.(I）证明:点是椭圆与直线的唯一交点;(IＩ）证明:构成等比数列．解析:本小题重要考察直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质,等比数列等基础知识。考察综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。证明(Ｉ）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点Ｐ.(方法二）显然Ｐ是椭圆与的交点,若Q是椭圆与的交点,代入的方程，得即故Ｐ与Q重合。(方法三）在第一象限内,由可得椭圆在点Ｐ处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。(ＩI）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。51.（本小题满分14分)如图,已知圆是椭圆的内接△的内切圆,其中为椭圆的左顶点．（1)求圆的半径;(２）过点作圆的两条切线交椭圆于两点,G．证明：直线与圆相切．G．（１)解设,过圆心作于，交长轴于由得,即(1)而点在椭圆上,（２)由(1)、(２）式得,解得或(舍去)(2）证明设过点与圆相切的直线方程为：（3)则,即(４）解得将(3）代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为:即则圆心到直线的距离故结论成立.52.（本小题满分12分)已知点为双曲线(为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线，垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程；设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:认为直径的圆过两定点.(1)解由已知得,则直线的方程为：,令得，即,设,则,即代入得:,即的轨迹的方程为．(2）证明在中令得,则不妨设,于是直线的方程为:，直线的方程为:,则,则认为直径的圆的方程为:,令得:，而在上,则，于是,即认为直径的圆过两定点.53.(本小题满分14分）已知椭圆(）的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交于点A,Ｂ两点，且(Ⅰ求椭圆的离心率；（Ⅱ)直线ＡB的斜率；（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(ｍ,ｎ）（)在的外接圆上,求的值。解（１)由，得，从而，整理得，故离心率（2）由（1）知,,所以椭圆的方程可以写为设直线ＡＢ的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组消去ｙ整理，得依题意，而,有题设知，点Ｂ为线段AE的中点，所以联立三式,解得,将结果代入韦达定理中解得.（3)由（2)知,,当时，得A由已知得线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故当时，同理可得．５4（本小题满分１4分)过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、Ｎ两点,自M、N向直线作垂线,垂足分别为、。（Ⅰ）当时，求证：⊥；(Ⅱ)记、、的面积分别为、、，是否存在,使得对任意的,都有成立。若存在，求出的值;若不存在，说明理由。解依题意，可设直线MN的方程为，则有由，消去x可得从而有①于是②又由，可得③（Ⅰ）如图１，当时,点即为抛物线的焦点，为其准线此时①可得证法1：证法2:(Ⅱ)存在,使得对任意的,都有成立,证明如下:证法１：记直线与x轴的交点为,则。于是有将①、②、③代入上式化简可得上式恒成立，即对任意成立证法2：如图２,连接,则由可得,所以直线通过原点O，同理可证直线也通过原点O又设则56.（本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,右准线方程为。（Ｉ)求椭圆的标准方程;(II）过点的直线与该椭圆交于两点,且，求直线的方程。解(I）由已知得，解得∴∴所求椭圆的方程为.(IＩ）由（I)得、①若直线的斜率不存在,则直线的方程为,由得设、，∴,这与已知相矛盾。②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为,设、，联立，消元得∴,∴，又∵∴∴化简得解得∴∴所求直线的方程为.5７.（本小题满分1２分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点,当的斜率为1时,坐标原点到的距离为(I)求,的值；(II）上是否存在点Ｐ，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程;若不存在，说明理由。解（I）设，直线,由坐标原点到的距离为则，解得.又.（II）由(I)知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有:．..．．..．①．假设存在点P,使成立,则其充要条件为：点,点Ｐ在椭圆上,即。整理得。又在椭圆上，即.故．.．.．．.....．...．.．．．.．...．......②将及①代入②解得,=,即．当;当.58.(本小题满分1３分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).（Ⅰ)求椭圆Ｃ的方程；(Ⅱ)设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点,当线段ＭＮ的中点落在正方形Q内（涉及边界)时,求直线的斜率的取值范围。解（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知，所以故椭圆Ｃ的方程为.（Ⅱ）椭圆Ｃ的左准线方程为所以点Ｐ的坐标,显然直线的斜率存在,所以直线的方程为。如图,设点Ｍ,N的坐标分别为线段ＭN的中点为G，由得.……①由解得.……②由于是方程①的两根,所以，于是=，.由于，所以点Ｇ不也许在轴的右边,又直线,方程分别为所以点在正方形内（涉及边界）的充要条件为即亦即解得,此时②也成立.故直线斜率的取值范围是5９．(本小题满分1３分)已知Ａ,B分别为曲线C：＋=1(y0，a>０)与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直,S为上异于点B的一点，连结ＡＳ交曲线C于点T．(１)若曲线C为半圆,点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标;(II)如图，点M是以SＢ为直径的圆与线段TB的交点,试问：是否存在,使得Ｏ，M,Ｓ三点共线？若存在，求出a的值,若不存在，请说明理由。解方法一(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BＯT=６０°或1２0°．（１)当∠BOＴ=６0°时,∠SAE=３0°.又ＡＢ=２,故在△ＳAE中,有(2)当∠BOT＝120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,(Ⅱ)假设存在,使得O，M,Ｓ三点共线．由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AＳ的斜率ｋ存在且ｋ>０,可设直线AS的方程为．由设点故，从而．亦即由得由,可得即经检查,当时,O，M,S三点共线.故存在,使得O，Ｍ,S三点共线．方法二:（Ⅰ)同方法一.(Ⅱ)假设存在a,使得O，M,S三点共线.由于点Ｍ在以SO为直径的圆上,故.显然,直线ＡS的斜率ｋ存在且k>0,可设直线AS的方程为由设点，则有故由所直线SM的方程为O,Ｓ,M三点共线当且仅当O在直线ＳＭ上，即.故存在,使得Ｏ,M,S三点共线.６０.（本小题满分1２分）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为(-１，0)(1，０)。求椭圆C的方程；Ｅ,F是椭圆C上的两个动点，假如直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。(Ⅰ）解由题意，c＝1,可设椭圆方程为。由于A在椭圆上，所以,解得=３，=（舍去）。所以椭圆方程为．(Ⅱ）证明设直线ＡE方程：得，代入得设E(,)，F（,).由于点Ａ(1,）在椭圆上,所以,。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以代，可得，。所以直线ＥＦ的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值为。６1.(本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xＯy的原点，焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(Ⅰ)求椭圆Ｃ的方程;（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于ｘ轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为,由已知得，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得,其中。(i）时。化简得所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段。(ii)时,方程变形为,其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分;当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；62．(本小题满分１2分)已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（1）求双曲线Ｃ的方程;（2）如图，P是双曲线C上一点,A,Ｂ两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限,若，求面积的取值范围。方法一解(Ⅰ)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线，所以所以由所以曲线的方程是(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为设由将P点的坐标代入由于又所以记则由又S(1）=2,当时，面积取到最小值，当当时,面积取到最大值所以面积范围是方法二(Ⅰ)由题意知，双曲线C的顶点(0,a)到渐近线,由所以曲线的方程是.（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知由由将P点的坐标代入得设Ｑ为直线ＡＢ与y轴的交点，则Q点的坐标为（0,m）=．63.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I)求椭圆的标准方程;（II)过点的直线与该椭圆交于两点,且,求直线的方程。解（I)由已知得，解得∴∴所求椭圆的方程为．(ＩI)由(I)得、①若直线的斜率不存在,则直线的方程为，由得设、,∴，这与已知相矛盾。②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为,则直线的方程为,设、，联立,消元得∴,∴,又∵∴∴化简得解得∴∴所求直线的方程为64.(本小题满分１2分）如图,已知抛物线与圆相交于Ａ、B、C、D四个点。（Ⅰ)求ｒ的取值范围（Ⅱ）当四边形AＢＣD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解:（Ⅰ)将抛物线代入圆的方程,消去，整理得抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:方程（1）有两个不相等的正根∴即。解这个方程组得.(II）设四个交点的坐标分别为、、、。则由（I)根据韦达定理有，则令,则下面求的最大值。方法1：由三次均值有:当且仅当，即时取最大值。经检查此时满足题意。方法２：设四个交点的坐标分别为、、、则直线ＡC、BＤ的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及（Ⅰ)得由于四边形ABＣD为等腰梯形,因而其面积则将,代入上式,并令，等，∴,令得,或(舍去）当时,;当时;当时，故当且仅当时,有最大值,即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。６5.（本小题满分1３分)如图,过抛物线ｙ２＝2PＸ(P﹥0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、Ｎ两点,自Ｍ、Ｎ向准线L作垂线，垂足分别为Ｍ1、N1(Ⅰ)求证：FM1⊥ＦＮ1:(Ⅱ）记△FMＭ1、、△ＦM1Ｎ1、△FNＮ1的面积分别为S1、、S2、，S3，试判断S22＝4S1Ｓ3是否成立,并证明你的结论。证明方法一由抛物线的定义得如图,设准线l与x的交点为而即故方法二依题意，焦点为准线ｌ的方程为设点M，N的坐标分别为直线ＭN的方程为，则有由得于是,,,故(Ⅱ)解成立，证明如下：方法一设,则由抛物线的定义得，于是将与代入上式化简可得，此式恒成立。故成立。方法二如图,设直线M的倾角为,则由抛物线的定义得于是在和中，由余弦定理可得由(I）的结论,得即，得证。6６.（本小题满分12分）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程‘(2)若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点,（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。解(１)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得｛解得a=4,c＝３,所以椭圆C的方程为（Ⅱ）设M（x,ｙ),P(x,),其中由已知得而,故①由点P在椭圆C上得,代入①式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段．6７．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xＯｙ中，点P到点Ｆ(３,0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,ｄ恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ)求点P的轨迹Ｃ；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于Ｍ，N两点，求线段MN长度的最大值。解(Ⅰ）设点P的坐标为(ｘ，y），则3︳x－２︳由题设当x>２时,由①得化简得当时由①得化简得故点P的轨迹Ｃ是椭圆在直线ｘ=２的右侧部分与抛物线在直线x＝２的左侧部分（涉及它与直线ｘ=２的交点)所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示,易知直线x＝2与,的交点都是Ａ（2,),B（2,)，直线AＦ,BF的斜率分别为=,=.当点Ｐ在上时，由②知.④当点P在上时,由③知⑤若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为（i)当k≤,或ｋ≥，即k≤－2时,直线I与轨迹C的两个交点M(，）,N（，)都在C上,此时由④知∣ＭF∣＝6－∣ＮF∣=6-从而∣MN∣=∣ＭF∣＋∣ＮＦ∣＝（6-)+（6-)=１2-（+)由得则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=1２-(+）＝12-由于当当且仅当时,等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，设直线AＦ与椭圆的另一交点为E所以。而点A，Ｅ都在上,且有（１）知若直线的斜率不存在,则==3，此时综上所述，线段MＮ长度的最大值为.68.(本小题满分14分）已知直线通过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点,直线，与直线分别交于两点。(I)求椭圆的方程;（Ⅱ)求线段MＮ的长度的最小值；(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,拟定点的个数,若不存在,说明理由解方法一（Ｉ）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为（Ⅱ)直线AS的斜率显然存在，且,故可设直线的方程为，从而由得0设则得,从而即又由得故又当且仅当,即时等号成立时，线段的长度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或６９．（本题满分１6分）已知双曲线设过点的直线ｌ的方向向量当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与ｍ的距离;证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为。（1)解双曲线C的渐近线直线l的方程直线l与m的距离(2)证明方法一设过原点且平行与ｌ的直线则直线ｌ与b的距离当又双曲线C的渐近线为双曲线C的右支在直线ｂ的右下方，双曲线右支上的任意点到直线的距离为。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。(2）方法二双曲线的右支上存在点到直线的距离为,则由(１)得,设当,0将代入(2)得(＊）方程(*）不存在正根，即假设不成立故在双曲线C的右支上不存在Ｑ，使之到直线l的距离为70.（本题满分16分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为Ｆ,一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。求双曲线C的方程;若过原点的直线，且a与l的距离为,求K的值;证明:当时，在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为．（1）解设双曲线的方程为,解得，双曲线的方程为（2)解直线,直线由题意,得,解得(3)证明方法一设过原点且平行于的直线则直线与的距离当时,又双曲线的渐近线为双曲线的右支在直线的右下方,双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点,使之到直线的距离为(３)方法二假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，则由（１)得设，当时,；将代入（2)得,方程不存在正根，即假设不成立，故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为71.（本小题满分12分）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率,是椭圆上的动点.（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；(Ⅱ)如题图,点的坐标为,是圆上的点，是点在轴上的射影,点满足条件:，．求线段的中点的轨迹方程；解(Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上,故设椭圆方程为（a>b>０）.设，由准线方程得.由得,解得a=２,c=，从而b=1，椭圆方程为.又易知C，D两点是椭圆的焦点,所以,从而，当且仅当，即点M的坐标为时上式取等号，的最大值为４.(II)如图（20)图，设.由于,故①由于所以.②记P点的坐标为,由于P是ＢQ的中点所以由由于，结合①，②得故动点P的估计方程为７2.(本小题满分12分）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（Ⅰ)求该双曲线的方程;(Ⅱ)如题(20)图,点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标;解（Ⅰ）由题意可知,双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设,由准线方程为得,由得解得从而,该双曲线的方程为.(Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以,是圆上的点，其圆心为，半径为1,故从而当在线段ＣＤ上时取等号,此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上,故由方程组解得所以点的坐标为.2023—2023年高考题一、选择题1.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在变点第二次变轨进入仍以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入认为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表达椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用和分别表达椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①;②;③;④＜．其中对的式子的序号是 ﻩﻩ ﻩ ﻩ（）A.①③Ｂ.②③C.①④D．②④答案B2.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是ﻩ ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ(）A．Ｂ.C.D.答案Ｃ3.设,则双曲线的离心率的取值范围是（）Ａ．ﻩB．ﻩC． D.答案B４.已知点Ｐ在抛物线y2=4x上,那么点Ｐ到点Q（2，-1)的距离与点Ｐ到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点Ｐ的坐标为()A．（，-1）ﻩﻩﻩＢ.（,1)ﻩﻩﻩＣ.（1,2） D.（1,-2）答案Ａ5.已知点P是抛物线上的一个动点,则点Ｐ到点（0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值(）A． B.C．Ｄ.答案Ａ6．设椭圆（,）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A. B．Ｃ. D．答案Ｂ7.已知以F1(２，0）,Ｆ2（２,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A.B. Ｃ.ﻩD.答案C８．已知双曲线的左、右焦点分别为F１、F２,P是准线上一点，且PF1⊥PF2,|PF1｜｜ＰＦ2｜=4ab，则双曲线的离心率是 (）A.ﻩB．C.2D．３答案B9.设双曲线的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（)Ａ. Ｂ．C．ﻩD.答案D1０.若,则“”是“方程表达双曲线”的（)A.充足不必要条件ﻩB.必要不充足条件C.充要条件ﻩＤ.既不充足也不必要条件答案A11．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A.有且仅有一条B．有且仅有两条C.有无穷多条D．不存在答案B解析的焦点是(１,0),设直线方程为(１)，将（1)代入抛物线方程可得,x显然有两个实根,且都大于0，它们的横坐标之和是,选B.二、填空题12.已知椭圆（ａ＞ｂ＞０）的右焦点为F,右准线为,离心率e＝过顶点A(０，ｂ)作ＡM,垂足为M,则直线FM的斜率等于１3.在平面直角坐标系中，椭圆1（0）的焦距为2,以O为圆心，为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=1４.在中,，．若认为焦点的椭圆通过点Ｃ，则该椭圆的离心率15．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点.若，则=8１6.已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为.设分别为双曲线的左、右焦点.若,则５17．设Ｏ是坐标原点,F是抛物线的焦点,A是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为,则为18．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为６，则点Ｐ的横坐标５19.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2,0)，且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设Ａ、B为两个定点，k为非零常数，，则动点Ｐ的轨迹为双曲线;②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号）答案③④三、解答题21.双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为l1,l２，通过右焦点垂直于ｌ1的直线分别交l1、l2于两点．已知成等差数列,且与同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；(Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设，,由勾股定理可得:得：,，由倍角公式,解得,则离心率.（Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入,化简有将数值代入,有，解得故所求的双曲线方程为。一、选择题1.曲线(ｘ[-2,2])与直线两个公共点时，实效的取值范围是ﻩﻩ（)Ａ.ﻩ Ｂ． ﻩ C．ﻩﻩＤ.答案Ｄ2.若椭圆通过点P(2，3),且焦点为F1(－2,0),Ｆ2(２,0),则这个椭圆的离心率等于()A.ＥＱ＼ｆ(\r(2），2)