2022-2023学年杭州市高二下期中考试数学模拟试卷附答案解析

2022-2023学年杭州市高二下期中考试数学模拟试卷

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•滨江区校级期中）已知复数满足|z+3-3i|Wl,其中/•为虚数单位，则|z+i|的最

大值是（）

A-713+1C.6D.7

2.（2021春•西湖区期中）下列四个命题中正确的是（）

A.两个单位向量一定相等

B.若K与1不共线，则言石都是非零向量

C.共线的单位向量必相等

D.两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同

3.（2019春•延吉市校级期末）用数学归纳法证明

111

1+--F--F...+-----<n(nGN+,n>l；,第二步证明从发到处1,左端

232n-l

增加的项数为（）

A.2右1B.2kC.2k-1D.2*+1

4.（2021•甘肃模拟）中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子•地员篇》的三分损益

法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其」即三

3

1

分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长——，即三分益一，可得出该弦音的下

3

方四度音.中国古代的五声音阶：宫、徵（zhi）、商、羽、角（jue）,就是按三分损一和

三分益一的顺序交替、连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为81,请根据上述律

数演算法推算出“羽”的律数为（）

A.72B.48C.54D.64

5.（2021春•下城区校级期中）某几何体的三视图如图，正视图和侧视图是两个全等的半圆,

俯视图中圆的半径为1,则该几何体的体积为（）

第1页共27页

正视图侧视图

A.----B.----C.47rD.2Tt

33

1

6.（2021春•西湖区校级期中）若二项式（3x2-——）«（neN*）的展开式中含有常数项,

2x

则该常数项的最小值是（）

7.（2021•华釜市校级模拟）已知函数［（x）=x，，g（x）=xlnx,若/（xi）=g（x2）=t,

其中，＞0,e是自然对数的底数，则的最大值是（）

XX

1412

A.—B.—C.—D.—

eeee

8.（2021春•滨江区校级期中）市教育局要将5位新老师分配到三所高中任教，要求每个学

校至少分配一个老师，则不同分配方法的种数为（）

A.150B.240C.300D.360

9.（2021春•下城区校级期中）如图，在棱长为2的正方体488-4181clz中，E,F,G

分别是棱BC,CG的中点，P是底面月88内一动点，若直线。iP与平面EFG不

存在公共点，PB\的最小值为（）

第2页共27页

A.2B.C.3D.

10.(2021春•滨江区校级期中)定义在(0,1)上的可导函数/(x),其导函数为/(x),

当xe(0,I)时，/(x)tanx-f/(x)>0,则()

TtjrTTTC

A.^/^/(―)(—'B.(—)<^2/(—'

c-^/2f(—)(-'D.^2f(--)<>^/3/(—J

二.填空题(共7小题)

11.(2021春•滨江区校级期中)已知函数八x)=4-3x,x€[0,2],则火x)的最大值是;

最小值是.

1

12.(2021•东城区一模)已知｛如｝为等比数列，41=1,44=—，那么｛如｝的公比为，

8

1

数列｛——｝的前5项和为.

fln

13.(2021春•杭州期中)函数y=/〃x的图象在点(1,0)处切线的斜率是，切线的

方程是.

1

14.(2020•诸暨市校级模拟)已知Q------广展开式的二项式系数之和为256,则”

2a;

=；展开式中常数项为.

15.(2021春•西湖区校级期中)将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数,

第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数

都小于后一行中最大的数的概率是.

16.(2021春•西湖区校级期中)若x,y是实数，e是自然对数的底数，*»*2一3《/〃(厂

第3页共27页

2x+l)+3x,则2x+y=.

17.(2021春•滨江区校级期中)已知函数/(x)-logox(a>l)有且只有一个零点，

贝！1aa=.

三.解答题(共5小题)

18.(2021春•滨江区校级期中)己知关于x的方程(2+i)x+2ab+(a-b)i=0有实数

根，其中“，b€R,i为虚数单位.

(1)求复数z=a+bi在复平面内的对应点的轨迹方程；

(2)若复数z=a+bi满足1|=/不求z'.

兀

19.(2021春•平潭县校级期末)已知函数，3)=2sinisiMBH---)-\-cos2x-

3

(I)求/(x)的单调递增区间和最值；

7C

(H)若函数g(x)=/(x)在RG[0,一]有且仅有两个零点，求实数。的取值

2

范围.

20.(2021春•下城区校级期中)如图，在四棱锥中，ABCD,底面N8C。

为梯形，AD//BC,AD1AB,S.PB=AB^AD^3,BC=1.

(1)若点F为尸。上一点且尸F=-lra,证明：CF〃平面以8；

3

(2)求直线以与平面即力所成角的正弦值.

xy、

21.(2021春•西湖区校级期中)如图，椭圆一十」-=1与抛物线炉=4x相交于/,8两

32

点，抛物线的焦点为E

(1)若过点尸且斜率为1的直线/与抛物线和椭圆交于四个不同的点，从左至右依次

为为72，73，北,求，乃|+|乃北|的值;

第4页共27页

(II)若直线机与抛物线相交于N两点，且与椭圆相切，切点。在直线Z8右侧,

求|岫+|即］的取值范围.

22.(2019•西湖区校级模拟)已知函数/'(x)=x2-x-alnx,a€R.

(1)若不等式/(x)<0无解，求。的值；

(2)若函数/(x)存在两个极值点xi、X2.且xi<x2,当‘(I)-"")Vm恒成立时,

a

求实数团的最小值.

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2022-2023学年杭州市高二下期中考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•滨江区校级期中）已知复数满足|z+3-3i|Wl,其中i为虚数单位，贝U|z+i|的最

大值是（）

A.1B.5C.6D.7

【考点】复数的模.

【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】满足忆+3-3/|^1的点的轨迹是以（-3,3）为圆心，以1为半径的圆上及圆内

的点，匕+，］的几何意义是上述区域内的点到（0,-1）的距离，结合圆的性质可求.

【解答】解：满足|z+3-3i|Wl的点的轨迹是以（-3,3）为圆心，以1为半径的圆上及

圆内的点，

则|z+i|的几何意义是上述区域内的点到（0,-1）的距离，最大值为

1+/（0+3V+（3+1…

故选：C.

【点评】本题主要考查了复数的几何意义的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题.

2.（2021春•西湖区期中）下列四个命题中正确的是（）

A.两个单位向量一定相等

B.若或与E不共线,则斜了都是非零向量

C.共线的单位向量必相等

D.两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】简易逻辑.

【分析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案.

【解答】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同：

若后与己不共线，则:与询是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；

共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；

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两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移.

故选：B.

【点评】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，是基础

题.

3.（2019春•延吉市校级期末）用数学归纳法证明

111

1+-I---F...+------Vn（n£N+,n>Vf,第二步证明从4到A+1,左端

232n-l

增加的项数为（）

A.2右1B.2kC.2k-1D.2*4-1

【考点】数学归纳法.

【专题】阅读型.

【分析】当〃=上时，写出左端，并当“=人1时，写出左端，两者比较，关键是最后一

项和增加的第一项的关系.

【解答】解：当〃=%时，左端=1+—H--+...H------

k

232-l

那么当〃=上+1时左端

11111

1+———，

232-1221-1

111111

=1+——+—+——+...+——-一

232-122+12+2-1

111

.•.左端增加的项为----1-----------+…H---------------,所以项数为：诉

2“2k+l2ft+2ft-l

故选：B.

【点评】此题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从人到上+1,是学习中的难点，也

是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项.

4.（2021•甘肃模拟）中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子•地员篇》的三分损益

1

法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其一，即三

3

第7页共27页

分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长」，即三分益一，可得出该弦音的下

3

方四度音.中国古代的五声音阶：宫、徵（zhi）、商、羽、角（jue）,就是按三分损一和

三分益一的顺序交替、连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为81,请根据上述律

数演算法推算出“羽”的律数为（）

A.72B.48C.54D.64

【考点】数列的应用.

【专题】阅读型；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算.

【分析】根据题中材料分析得出律数变化规律，进行求解.

12

【解答】解：根据题意，可得：“三分损一”即为在原基础上乘1——=―,“三分益

33

14

一”即为在原基础上乘=—,

33

若“宫”的律数为81,按“三分损一”产生“徵”的律数为81义工=54

3

4

再按“三分益一”产生“商”的律数为54X——=7£，

3

再按“三分损一”产生“羽”的律数为72义工=4€，

3

故选：B.

【点评】本题属于数学文化类阅读题型，重点在考查学生数据分析和推理能力，属于基

础题.

5.（2021春•下城区校级期中）某几何体的三视图如图，正视图和侧视图是两个全等的半圆，

俯视图中圆的半径为1,则该几何体的体积为（）

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正视图侧视图

A.----B.----C.47rD.2Tt

33

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数

学运算.

【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.

【解答】解：由题意可知，几何体是半球，半径为1,

所以几何体的体积为：—JCX13=——.

33

故选：B.

【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

1

2

6.（2021春•西湖区校级期中）若二项式（3A------）«（nGN*）的展开式中含有常数项，

2x

则该常数项的最小值是（）

2713599

A.-——B.------C.-——D.

4288

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】在通项公式中，令x的基指数等于零，可得〃、，•的值，从而求得展开式的常数

项.

第9页共27页

1

【解答】解：•..二项式(3x2-——)"(”CN*)的展开式的通项公式为：

2x

1r

q+l=C‘.3"”(----)•x2n'5r,r=0,1,2,3,•••,n.

n2

由于展开式中含有常数项，

.•.2〃-5r=0有正整数解，即2〃=5r有正整数解，〃的最小值为5,此时，r=2.

2

则该常数项为C>33・(__L)=幽=当，

5242

故选：B.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题.

7.(2021•华釜市校级模拟)已知函数［(x)=x/,g(x)=xlnx,若/(肛)=g(x2)=t,

其中/>0,e是自然对数的底数，则的最大值是()

XX

141

A.—B.—C.—

eee

【考点】利用导数研究函数的最值.

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.

【分析】当£>0时，f(x)=f有唯一解，而X2lnx2=t,通过变形可得历到小双

=t,比较可得X1=/〃X2,进而得到H=—史—=jLlL,运用导数即可求得取

\*?x2lnx2t

值范围.

【解答】解：由题意，xie"=f,X2lnx2=t,贝U配侬/"*2=/,

作函数/(x)=x，的草图如下，

第10页共27页

由图可知，当，>0时，f(x)=/有唯一解，故X1=/〃X2，且xi>0,

Int_Int_Int

••,

XXXnX

l22^2t

设人(?)=.'"L,>0,则/(/)――——见匕，令h'(?)—0,解得尸e,

tt2

易得当正(0,e)时，h'(f)>0,函数人(?)单调递增，

当怎(e,+8)时，h'(t)<0,函数/?(Z)单调递减，

故〃(f)Wh(e)=——，即」。士的最大值是―

exxe

故选：C.

【点评】本题考查利用导数求函数的最值，考查化简变形能力及数形结合思想，属于中

档题.

8.(2021春•滨江区校级期中)市教育局要将5位新老师分配到三所高中任教，要求每个学

校至少分配一个老师，则不同分配方法的种数为()

A.150B.240C.300D.360

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5位新老师分为3组，②将分好的三组全排

歹U，安排到三所高中，由分别计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5位新老师分为3组，

若分为3、1、1的三组，有C53=10种分组方法，

251

C5c3cl

若分为2、2、1的三组，有------------=15种分组方法，

2

AAZ

则有10+15=25种分组方法，

②将分好的三组全排列，安排到三所高中，有/33=6种情况，

则有25X6=150种安排方法，

故选：A.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

第11页共27页

9.（2021春•下城区校级期中）如图，在棱长为2的正方体中，E,F,G

分别是棱BC,CCi的中点，尸是底面/8CD内一动点，若直线。|尸与平面E/G不

存在公共点，PB\的最小值为（）

A.2B.C,3D.

【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征.

【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】求PBi的最小值，只需求△心囱的面积的最小值，可求尸8的最小值.可将截

面EFG补形为截面EFGHQR,由面面平行的判定定理和性质定理，可得P在直线AC±,

且当P与O重合时，PB最短,由勾股定理，计算可得所求最小值.

【解答】解：由于△P83i是以N818P为直角的三角形，

求的最小值，只需求△尸881的面积的最小值，可求P8的最小值.

可将截面EFG补形为截面EFGHQR,

直线D\P与截面EFG不存在公共点，可得。尸〃平面EFGHQR,

ffi]EF//AC,QR//ADi，EF,0?为相交直线，AC,为相交直线，

所以平面EFG"。/?〃平面/CDi，尸在直线/C上，

且当尸与。重合时，PB最短,

此时△P881的面积取得最小值，

且|8尸|=彦。尸\BBi\=2,

此时181P产不加+啊2=72+4=*

故选：D.

第12页共27页

【点评】本题考查空间两点的距离的最小值，以及线面的位置关系，考查转化思想和运

算能力、推理能力，属于中档题.

10.(2021春•滨江区校级期中)定义在(0,1)上的可导函数/(X),其导函数为/(X),

当在(0,1)时，/(X)tanx+尸(x)>0,则()

冗兀冗兀

A.)>4/2/(—?B.)

7fTf7TIT

C^/2f(~)'D.^/2f(—'

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题；转化思想；构造法；导数的综合应用；数学运算.

【分析】根据条件构造函数g(X)=_"*),求函数的导数，利用导数和单调性之间

COSX

的关系判断函数g(X)的单调性即可.

【解答】解：当冗6(0,1)时，/(x)tanx+f(x)>0,

即f(x)sinx+f(x)cosx>0,

、A,、义曲)

攻g(x)=-------，

COSX

E,f{x}cosx-^x){cosx)'(t)cosB+j(*)sin*

则g'(%)=----------------------------=------------------------->0,

22

COSXCOSX

则函数g(x)在(0,1)上单调递增，

r,KX

则g(--)<g(--),

64

第13页共27页

冷冷

即---------<

KX

COS—cos—

64

K

即.石)

故选：D.

【点评】本题主要考查函数值大小的比较，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单

调性是解决本题的关犍，属于中档题.

二.填空题(共7小题)

11.(2021春•滨江区校级期中)已知函数/(x)=X3-3X,X€[0,2],则/(x)的最大值是

2_；最小值是-2.

【考点】利用导数研究函数的最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】求导函数，求得函数的单调性，即可求得函数的最值.

【解答】解：；/(x)=--3x,

：.f(x)=3/-3=3(x+1)(x-1),

时，，(x)<0,函数单调递减，l<x<2时，/(x)>0,函数单调递增，

V/(0)=0,f(2)=2,/⑴=-2,

函数/(x)=X3-3X,X6[0,2]的最大值为2.最小值为-2.

故答案为：2；-2.

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，

属于中档题.

11

12.(2021•东城区一模)己知｛a”｝为等比数列，ai=l,。4=——，那么｛念｝的公比为——

82

数列｛」一｝的前5项和为31.

Gn

【考点】数列的求和：等比数列的前n项和.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

第14页共27页

a.i

【分析】根据题意，设｛〃”｝的公比为q,由等比数列的通项公式可得/=」=」_,解

%8

111

可得g的值，由等比数列的性质可得数列｛——｝是首项——=1,公比为一=2的等比数

°n01q

歹U,据此计算可得答案.

【解答】解：根据题意，设｛"”｝的公比为分

[01]

若。1=1,44=——，则/=---4=—,则q=一,

8482

111

则数列｛——｝是首项——=1,公比为——=2的等比数列，

Qna1q

11X（1—2，）

则数列｛——｝的前5项和为——------^=31,

a1-2

n

1

故答案为：—，31.

2

【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和，属于基础题.

13.（2021春•杭州期中）函数的图象在点（1,0）处切线的斜率是1,切线的方

程是y=x-1.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用导数可求得函数歹=/内的图象在点（1,0）处切线的斜率与切线的方程.

1

【解答】解：=―,

X

二函数y=/〃x的图象在点（1,0）处切线的斜率k=l,

二所求切线的方程是y-0=1X（x-1）,即y=x-l.

故答案为：1；y=x-1.

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查运算求解能力，属于中档

题.

1

14.（2020•诸暨市校级模拟）已知-----广展开式的二项式系数之和为256,则〃=§；

2B

第15页共27页

展开式中常数项为——

8

【考点】二项式定理.

【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】先由题设求得〃的值，再利用二项式的展开式的通项公式求得常数项即可.

【解答】解：由二项式系数之和为2"=256,可得/?=8,

设常数项为第什1项，则%__L)r=Cr(---)rx8~2t，故8-2r

2x2

=0,即r=4,

i35

则常数项为C(——)=——，

28

故答案为：8；—.

8

【点评】本题主要考查二项式系数之和及二项式的展开式的通项公式在求常数项中的应

用，属于基础题.

15.(2021春•西湖区校级期中)将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，

第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数

都小于后一行中最大的数的概率是

45

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题；整体思想；构造法；概率与统计；数学运算.

【分析】分析最大数在第n行的概率可解决此题.

【解答】解：必是从上往下数第我行的最大数，设不＜X2＜一・＜X"的概率为p..

n2

最大数在第〃行的概率为：———=------.

Mn+1)n+1

~2~

在任意排好第〃行后余下的“5一口个数排在前(n-1)行符合要求的排列的概率为：

2

p〃-1，

第16页共27页

22222

，P"=-----------pn.\>以此类推，p”=-----------•——・pi=--------------.

n+1n+1n3(n+1)]

252

，当〃=5时，ps=------=------.

6!45

故答案为：—.

45

【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核

心素养，是基础题.

16.(2021春•西湖区校级期中)若x,y是实数,e是自然对数的底数，^2-3^/n(j-

8

2x+l)+3x,贝ij2x+y=_-------：_.

3

【考点】利用导数研究函数的最值.

【专题】转化思想；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【分析】结合经典不等式上-1,e'^x+1,考虑其等号成立条件，即可求解x,y进

而可求.

【解答】解：•••/“xWx-1,(当x=l时取等号)，

.'.in(y-2x+l)Wy-2x+l-1=y-2x,

In(y-2x+l)+3xWy+x,

此时y-2x+l=l时取等号，

：/2x+l,(当x=0时取等号)，

.,.工)*2-32x+y+2+l-3—x+y,

此时x+产2=0取等号，

又•.•*尸2-(y-2x+\)+3x,

.•./+y+2_^—x+y—/n(y-2X+1)+3X,

故有y-2x+l=1且x+y+2=0同时成立，

248

解可得，x=-—,y—-—,此时2x+y=--.

333

O

故答案为：-2

3

第17页共27页

【点评】本题主.要考查了与指数和对数有关的经典不等式的应用，技巧性强，属于难

题.

17.(2021春•滨江区校级期中)已知函数/(x)=x0-logax(a>l)有且只有一个零点，

1

则e«

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】令g(x)=x°,h(x)=logox,a>\,依题意，曲线g(x)与h(x)相切，即

1—

g'(x)=h'(x)仅有一个解，由此可解得/(x)零点为①=(---尸，将其代入

alna

1

/(X)中，化简后可得到a"=e了.

【解答】解：令g(x)—x°,h(x)=k>g"X,a>\,则依题意，函数y=g(x)与y=h

(x)的图象有且仅有一个交点，

则曲线g(x)与/?(%)相切，即g'(x)—h'(x)仅有一个解，

又g'(l)=aa；aT,h'(o?)=——-——，故。工"-1=——-——仅有一个解，且解得

xlnaxlna

1-

——尸，

alna

1—

将a=(------)a代入/(x)中，有

alna

11—11

-------log(---)a=------+—log(alna)=

alnaaalnaalnaaa

11

------1---(1+/ogUna))=0，

alnaa

1.

----H1+ioga(inG)=0，

log(ina)=-------1=—loge—1=—log(oej>

a/naaa

11al

:.lna=---，即Q1nQ=—，BPina=一，

aeee

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1

•a.

,,a=e•

1

故答案为：e了.

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及了指对数运算，考查计算能力，属于

中档题.

三.解答题(共5小题)

18.(2021春•滨江区校级期中)已知关于x的方程/+(2+z)x+2ab+(a-b)i=0有实数

根，其中a,i为虚数单位.

(1)求复数z=a+bi在复平面内的对应点的轨迹方程；

(2)若复数z=a+4满足J2—1|="5，求z6.

【考点】复数的运算；复数的模.

【专题】转化思想；待定系数法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】(1)设实根为团，代入方程，建立方程，利用消元法进行求解即可.

(2)根据条件联立方程组求出z,代入进行计算即可.

【解答】解：(1)设实根为〃?，

则满足"/+(2+i)m+2ab+(a-b)i—0,

即m2+2m+2ab+(.m+a-b)z—0,

贝(]m2+2m+2ab=0且m+a-b=0,消去切得(-a+b)2+2(-a+b)+2ab=0,

BPa2-2a+h2+2h=O,即(«-1)2+(b+1)2=2,

即复数z=a+4在复平面内的对应点的轨迹方程为(a-1)2+(b+1)2=2.

(2)由|%|=^/^>得(a-1)2+b2-5.

联立方程(a-1)2+(6+1)2=2.得《

即z—2-2i或z=-2i,

若z=2-2i,则z=2(1-i),z2—-8z,z6—(-8/)3=512z\

若z--2i,则z2—-4,z6—(-4)3=-64.

【点评】本题主要考查复数的基本，根据条件利用待定系数法以及方程组法进行求解是

解决本题的关键.

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7t

19.(2021春•平潭县校级期末)已知函数/(i)=2sinisinGrH--)-\-cos2,x-

3

(I)求/(x)的单调递增区间和最值；

7C

(II)若函数g(x)=/(x)-a在a；G［0,——］有且仅有两个零点，求实数。的取值

2

范围.

【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理：数

学运算.

【分析】(1)三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.

(II)直接利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的图象的交点和函数的

零点的对应关系的应用求出a的取值范围.

【解答】解：(I)函数f(x)=2sinxsin(xH----)-\-cos2,x=2sinr

(—sinx-]-——cosx^+cos2x=sin曲cosi+cos2]=

l-cos2x,门,J3sin2xJ3.,1,1

-----------十cosZx十-----------=----s----cos2x-\----=Sin

22222

兀1

(2x+——)+—；

62

JC7CX

令：----+2fci花工21-|---工2上元+—(A：EZ),

262

JCJC

整理得：-----\-kit<x<kx-\—(AGZ)；

36

JCK

故函数的单调递增区间为［-----bk4kK-\"―J(髭Z).

36

冗冗一K

当2a?H----=2上兀-|----(AGZ),整理得：a:=H-----(Aez)时，，函数取得最大

626

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值为三

2

冗冗X

当2TH=2kx——(住z),整理得：a=k元——aez)时，函数取得最大

623

1

值为——；

2

7C