2021-2022学年山东省潍坊市高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年山东省潍坊市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.在正方体48。。一公当6。］中，与棱异面的棱有（）

A.8条B.6条C.4条D.2条

2.下列命题正确的是（）

A.若向量必邑h//c，WJa//c

B.模相等的两个平行向量是相等向量

C.方向不同的两个向量不可能是共线向量

D.若向量五=（一3,-6）,贝必分别在x轴，y轴上的投影的数量之和为一9

3.下列各式化简结果为:的是（）

A.1-2cos275°B.sinl5°cosl5°

C.sinl40cosl60+sin76°cos74°D.tan20°+tan25°+Can20℃an25°

4.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，/（z）=z2就是一个多项式复变函

数.给定多项式复变函数/（z）之后，对任意一个复数Zo,通过计算公式Zn+1=f（zn）,

2

neN,可以得到一列值z（）,Zj,z2>...，Z",....若f（z）=z,z0=1-i,当n>3时，

Zn=（）

A.22n'1B.22nc.22n+1D.471T

5.在AABC中，若4B=3,BC=4,C=30。，则此三角形解的情况是（）

A.B.有两解

C.无解D.有解但解的个数不确定

sin6cos20

6.若tan。=—2,则=(）

sinO-cos。

.6

A.--B.--JC-5DU--5

7.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为线段AC,CD的中点，且4FnCE=G,

则（）

%_____--------/：

H

>>1---»>2---»1--->

A.AF=AD--2ABB.AG=-3AD--3AB

C.而=)而+荏)D.BG=3GD

8.已知函数/(x)=cosa)x—y/3sina)x(a)>0),若/(%)的图像在区间(0,7)上有且只有

2个最低点，则实数3的取值范围为()

A,1371n，7251万,814】卜,281

A

-C月B.($=]C,(-，T]D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知正四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,贝女）

A.正四棱台的高为2B.正四棱台的斜高为旧

C.正四棱台的表面积为20+128D.正四棱台的体积为竽

10.设Z1，Z2，Z3为复数，且Z3。0，则下列命题正确的是（）

A.若|z/=|z2b则Zi=±z2B.若Z1Z3=z2z3,则Zi=z2

ZZ

C.若忆3/=ZrZ3,则Zi=Z3D.若Z2=Z，则IZ1Z3I=\23\

11.已知函数/（X）=COS（2X+E）,则下列说法正确的是（）

A.函数/Q）的最小正周期为27r

B.函数/Xx）的图像关于直线％=费兀对称

C.函数/（©的图像关于点（-第0）对称

D.函数/（X）在（0,》上单调递减

12.在AaBC中，P,Q分别为边AC,BC上一点，BP,4Q交

于点。，且满足存=tPC，~BQ=AQC，~BD=〃前，AD=

mDQ,则下列结论正确的为（）

1?

A.若t=&且a=3时,则TH=〃=9

11

B.若〃=2且m=l时，则2=7t=-

C.若一=1时,则:”1

AIA*L

m=痴

U'(l+g)(l+t)—(l+m)(l+A)

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三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a?+c?-炉=2acsinB,则

3

B=.

14.已知正三棱柱ABC-的底面边长为1,侧棱长为2,则其外接球的表面积为

15.如图所示，为测算某自然水域的最大宽度(即4B两点间的距离)，现取与4B两

点在同一平面内的两点C,D,测得C,。间的距离为1500米，N4DB=135°,^BDC=

/.DCA=15°,Z.ACB=120°,则4B两点的距离为米.

16.在平面直角坐标系xOy中，给定B(x2,y2)＞假设。，A,B不在同一直线

上，利用向量的数量积可以方便的求出△04B的面积为S=茨与乃-小乃1•已知三

点4(1,1),B(-3,4),C(大,8),则△ABC面积的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知4(3,巾)，6(2,1),C(一2,1),D(n,—2)是复平面内的四个点，其中m,neR,

且向量前，而对应的复数分别为Z1，Z2，且Z1-Z2=-6+2i.

⑴求ZI,z2;

(2)若复数z=宇,t€R,在复平面内对应的点Z在第四象限,求实数t的取值范围.

z2

18.已知向量d=(1,2),b=(-2,5).c=2a+tb(teR).

(1)若,求t的值；

(2)若/与3的夹角为锐角，求t的取值范围.

19.在44BC中，点P在边BC上，C=泉4P=4,记AC的长为m,PC的长为n,且rrni=16.

⑴求4APB；

(2)若△ABC的面积为78，求sin"4B.

20.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋(如图1).现测量其中一个

屋顶，得到圆锥S。的底面直径AB长为12m,母线S4长为18m(如图2).

(1)现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶(不含

底面)大约需要多少朵鲜花(参考数据：兀，3.14)；

(2)若C是母线£4的一个三等分点(靠近点S),从点4到点C绕屋顶侧面一周安装灯光

带，求灯光带的最小长度.

21.已知函数/'(x)=sin(2x——2cos(%+^)sin(x+|TT).

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)若函数y=/(%)-k在区间［-可上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围.

61Z

22.已知函数/(%)=sin(3%+3)(3>0,IwlV〃)，/(%)图像上相邻的最高点与最低点

的横坐标相差与，x=一三是/(%)的一条对称轴，且/《)>/(I).

(1)求f(%)的解析式;

(2)将函数/(%)的图像向右平移专个单位得到函数t(x)的图像，若存在%1，%2,

/n满足0<%i<X2<--<Xm<571,且任(%1)-t(%2)l+|t(%2)-t(%3)l+…+

=20(m>2,meN*),求m的最小值;

⑶令h(X)=/(x)-cos2x,g(x)=h\h(x)］,若存在%€哈.］使得/(%)+(2—

Q)9(x)+3-QW0成立，求实数。的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查了判断两条直线是否为异面的应用问题，是基础题.

判断异面直线的方法：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直

线，

由此判断出正方体中与棱A为异面的直线.

【解答】

解：如图所示，

正方体4BC0-必占的劣中，

与棱4为异面的棱有：BC,CD,GA，BiG.

故选：C.

2.【答案】D

【解析】解：4若巷与，不共线，b=0,满足到/B，b//c，则得不出勿评，A错误；

8.模相等方向相反时，这两个向量不相等，B错误；

C.方向相反的两个向量共线，C错误；

。近=（一3,—6）在x轴上的投影为一3,在y轴上的投影为一6,D正确.

故选：D.

b=0,4，不共线时，可得出选项A错误；根据相等向量的定义可判断B错误；根据共

线向量的定义可判断C错误；根据投影的计算公式可判断。正确.

本题考查了共线向量、相等向量的定义，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础

题.

3.【答案】C

【解析】解：对于4,原式=l-(l+cosl50o)=-cosl50o=cos3(T=m，故错误；

对于B,原式=gs讥30。=：x：=故错误；

2224

对于C,原式=sinl40cosl60+cosl40sinl60=sin(14°+16°)=sin300=故正确;

对于D,原式=tan(20°+25°)(1-tan20°tan25°)+tan20°tan250=tan45°(l-

tan20°tan25°)+tan200tan250=1—tan200tan250+tan200tan250=1,故错误.

故选：C.

利用三角函数恒等变换的应用逐项化简求值即可得解.

本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

4.【答案】A

24

【解析】解：依题意，zi=(1-=-23z2=(—2i)2=_4,Z3=(-4)=2,

当7133时，Zn>0,由291=2柒得:

log2Zn+i=210g2Z“,而10g2Z3=4,则篝泸=2,

cog2zn

log2z4_log2z5Xl°g2Z6x…xl°g2Zn

当nN4时,logz=logzxzx

2n23Z

^°923log2Z4log2z5log2zn_1

=4x2n-3-2"T,

log2z3=4满足上式，

n_12-1

二当nN3时，log2zn=2,zn=2".

故选：A.

根据给定条件，计算Zi，z2,z3,在nN3时，确定数Zn的性质，取对数探讨logzZn+i与

10g2Zn+i的关系即可判断出正确选项.

本题考查复数的性质、运算法则、累乘法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：丫48=3,BC=4,AB<BC,

C<A,

•••A必为大于30。的角，故4可以为锐角，也可以是钝角，

二此三角形有二解，

故选：B.

先根据大边对大角可知A必为大于30。的角，故A可以为锐角，也可以是钝角，进而可

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知三角形的情况.

本题主要考查了解三角形的问题.在三角形中大边对大角是判断边角不等式问题中常用

的方法，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：因为tan0=-2,

所以sE6cos26

sin0-cos0

_sin0(cos20-sin20)

sin0-cos0

_sin6(cos0-{-sin3)(cosO-sinO')

sin0-cos0

=-sindcosO-sin20

_-sin6cos0-sin20

sin20+cos2^

_-tan6-tan26

tan2^+l

2-4

=币

=--2

5,

故选:B.

利用二倍角公式、平方差公式以及同角三角函数关系式，将所求要求解的式子转化为

tan。表示，求解即可.

本题考查了三角函数的化简求值问题，二倍角公式、平方差公式以及同角三角函数关系

式的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：E,尸分别为线段AD,CC的中点，

EF=-AC,

2

'AC=~AD+AB，

-.EF=l(AD+AB),故选项C正确；

AF=AD+DF=AD+^AB,故选项A错误；

=|AF=|XD+|AB,故选项B错误；

BG=2GD,故选项。错误.

故选：c.

利用平面向量基本定理，向量的线性运算，即可解出.

本题考查了向量基本定理，学生的数学运算能力，属于基础题.

8.【答案】C

［解析］解：,函数/(x)=COSOJX-V3sjntox(a)>0)=2cos(a)x+今,

若/(久)的图像在区间(0,兀)上有且只有2个最低点，3久+“邑3兀+》

3兀<37r+—<5TT,求得g<<x><g,

故选：C.

由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的最低点，求得实数3

的取值范围.

本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的最低点，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4•••正四棱台上下底面对角线长为2714Vl

・••正四棱台的高％=收一右耳=近,4错误；

对于B,正四棱台的斜高"=*2一写>=遮,B正确；

对于C,•••正四棱台侧面积为4x1x(2+4)xV3=126上下底面面积分别为4,16,

二正四棱台的表面积S=4+16+12V3=20+12V3.C正确；

对于D,正四棱台的体积笠=：(4+\4x16+16)x近=竽,£>正确.

故选：BCD.

由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高，斜高即为侧面等腰梯形的

高，由上下底长度和腰长可确定AB正误;根据棱台表面积和体积的求法可确定CD正误.

本题考查了正四棱台的相关计算，属于中档题.

10.【答案】BD

【解析】解：当Z1=1,Z2=i时,|zx|=\z2\,但Z1#土Z2,

故选项A错误；

,•*Z-^Z2~Z2Z3,_H*Z3H0»

・•・Zi=Z2,故选项B正确；

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，iZi=i,Z3=—iR']",忆3/=Z1Z3,=Z3,

故选项C错误；

若Z2=Z，则IZ1Z3I=㈤・%|,

IZ2Z3I=|Z2|-\Z3\=|Zj|-\Z3\=㈤•㈤,

故选项。正确；

故选：BD.

对于选项A、C,举反例可判断命题错误；利用复数的四则运算及模判断选项B、。即可.

本题考查了复数的定义及复数的四则运算的应用，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于函数/(x)=cos(2x+V),

对于4：函数的最小正周期为与=兀，故A错误；

对于B：当％=詈时，/(詈)=cos皆=一1,故B正确；

对于C：当”一要时，/(-穿)=cos(*+|^)=cos(—§=0,故C正确；

对于D：当46(0币时，+脸，刍，故函数在该区间上单调递减，故。正确.

故选：BCD.

直接利用余弦型函数的性质，对称性，周期性和单调性的应用判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能

力，属于中档题.

12.【答案】AD

【解析】解：由题意得：AC=^AP,AQ=—AD,BQ=AQC,

tm

AQ—AB=—AQ)f即4Q=,AC+,AB,

艮喈而=三等•而++•福

所以前二*.^1.含而+合.含福

因为B,D,P三点共线,

At+1m,1m.

所以布.丁一+币•二=1,

当t=3,且2=3时，J—，Ey+a=L解得m=I，

乔=早前，BC=^BQ,AP=tPC，

A*A

^BP-BA=t(BC-BPy即而=£.万+士.就

即誓前=捻•容瓦+专访所以丽=捻•竽・竽於+金•亨就

因为4D,Q三点共线，所以盘•容高+强温=1，

当£=?,且4=3时，一=1，解得〃=9,故A正确;

214-i3g+1%〃+1L

生_。曰_____|.At+1,1tA+l,13

才T〃=2且？71=110时，----------=o2,,—,——------=一，

-1+At1+A1+tA1+t2

解得4=t=/故B错误；

JL+J_.JL=1,变形为铝+J_=i+工①

1+tAju+11+tg+1x//七+21+t

若(一|=1时，则t-24=43代入①式得，一±=1，

假设»£=1成立，则£=3解得t=-2,此时；0,显然无解，故假设不成立,

故C错，

.〃+1.771_L1.4+1—1m+11m+1"

1寸］+/------=1,

〃m+1,1+m〃1+Mmt+11+Mm

6匕|、］〃.t-m1__m4-1Am1mg-1

所%+11+1-m+1l+〃(m+l)(l+〃)'1+Am+1―4+11+m-(7n+l)(l+M)

所以—————一(】+熬】+为故。正确•

故选：AD.

根据向量共线定理的推论可得喘甘•含+击m_ta+101-

m+1-'1+tA/z+11+tg+1

1,代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB选项，对上式变形得到沿+工=

i+i假设"―：=1成立，推导出：=°，导致矛盾，故C错误，根据向量共线定理的

推论得到工•巴土旦+二-•四=1，•—+—•—=1,变形得到

Rm+11+m〃1+gmt+11+gm乂〃〃丁HJ

£〃_Am

(l+g)(l+t)—(l+m)(l+A)'

本题考查共线向量定理的推论的应用，以及运算求解能力，属中档题.

13.【答案W

【解析】解：因为a?+c?—川=H^QCS讥B，

3

所以由余弦定理可得2accosB=—acsin^,

3

第10页，共17页

所以可得tanB=V5,

又Be（0,兀），

则B=最

故答案为：p

由已知利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tcmB=w，结合范围86（0,兀）,

即可求解B的值.

本题考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了

函数思想，属于基础题.

14.【答案】y7T

【解析】解：如图，设正三棱柱4BC-&BiCi的上下底

面中心分别为E,F,

则由正三棱柱与球的对称性可知EF的中点。即为正三棱

柱ABC-&B1C］的外接球心，

。4即为外接球的半径R,设正三角形4BC的截面小圆

半径为r，

又正三棱柱ABC-的底面边长为1,.•.由正弦定理

1

可得=2r,

sin6Q0

・•・r=至,又EF=AAr=2,:.OF=1,

在Rt△40尸中由勾股定理可得产+OF2=R2,

.•q+l=R2,...R2T

二正三棱柱ABC-4181cl的外接球的表面积为4兀R2=4X兀xg=竽兀.

故答案为：

先根据对称性得正三棱柱ABC-的外接球球心为正三棱柱4BC-4当口的上下

底面中心连线的中点，接着求出底面正三角形外接小圆的半径，再由勾股定理求出外接

球的半径，最后代入球的表面积公式即可求解.

本题考查正三棱柱的外接球问题,正三棱柱与球的对称性，正弦定理,球的表面积公式，

属基础题.

15.【答案】1500备

【解析】解：由题意可知在△4DC中，^ADC=^ADB+ABDC=135°+15°=150°,

贝此CMC=180°-150°-15°=15°,故AD=DC=1500,

在4BDC中，乙DCB=^LACD+乙ACB=15°+120°=135°,

i^DBC=180°-135°-15°=30°,

±br1nBDCD少旦ccCDsinLDCB1500x^-_„„片

故由品有i=嬴际得BD=商%B口==1500鱼，

2

在4ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosl35°,

=15002+（1500夜产+2x1500x1500夜Xy=5x15002，

故AB=1500的（米）.

故答案为：1500V5.

解A4DC,求得4。=1500,在ABDC中，由正弦定理求得BD,然后在A4DB中，由余

弦定理求得答案.

本题考查解三角形的实际应用，考查正余弦定理，属中档题.

16.【答案】手

4

【解析】解：依题意，在ZkABC中,0A=OB=(%2>72),

1

则A4BC的面积为S=-\xxy2-x2yx\,

当4(1,1),8(-3,4),C4,8)时,同=(-4,3),前=(岛-1,7)

则△口(:面积叉皿=汨•-1)+28|=：岛+25|,

显然△ABC面积取最大值时，必有t>0,

因此，当t>0时,S“BC4岛+25)="盘+25)宅(痘+25)=3

当且仅当t=1时取“=”，

所以△ABC面积的最大值为

4

故答案为：T-

分析给定面积公式的构成，再求出而，AC，利用给定公式列式，借助均值不等式求解

作答.

本题考查平面向量的数量积的应用，是基础题.

第12页，共17页

17.【答案】解：(1)由已知可得配=(一5,1-机)，BD=(n-2,-3),

则Zi=-5+(1—m)i,z2=n—2-3i,

所以Zi—Z2=—3—九+(4—m)i=—6+2i,则{,_；二,解得m=2,n=9,

所以Zi=-5—i,z2=7—3i,

,c、mnZi+t—5—i+t(-5+t—i)(7+3i)(—32+71)+(-22+3

(2)因为Z=三=7H=_(7-3B(7+3i)=----------命------

在复平面内对应的点在第四象限，则厂:

I-十<U

解得苧<t<y,即实数t的范围为旁，表

【解析】(1)根据向量的坐标运算求出向量而，前的坐标，由此求出复数Z],Z2，再由

已知求出Z1-Z2,进而可以建立方程即可求出m,n的值，由此即可求解；(2)根据(1)以

及复数的运算性质求出复数z的关系式，再根据复数的几何意义建立不等式组，由此即

可求解.

本题考查了复数的表示方法以及复数的几何意义，涉及到向量的坐标表示，考查了学生

的运算求解能力，属于基础题.

18.【答案】解：(1)•.•工1方，c=(2-2t,4+5t),

：.c-b=-2(2-2t)+5(4+5t)=0，

16

：•t=-----;

29

(2)・・・3与益的夹角为锐角，

/.c-a>0,且，与d不共线,

[2—2t+2(4+5t)>0解得t>-：且£。0»

(4+5—212-2600'4

•••t的取值范围为：也1>一；且《：40}.

【解析】(1)可求;呢=(2—2t,4+5t),根据才_L族可得出机3=0,然后进行向量数量

积的坐标运算即可求出t的值;

(2)根据题意可得出。五>0,且1与N不共线，然后根据工五的坐标即可得出关于t的不等

式组，解出t的范围即可.

本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的计算公式，向量坐标的加法和数乘、数

量积的运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)在2Mpe中，由于

AC=PC=n,AC-PC=mn=16,

所以利用余弦定理4P2=AC2+PC?-2•/c•pccosg,

整理得：16=巾2+*—mn=(巾+ny-3机九，

解得/n+n=8,

故m=n=4,

则：AC=PC=AP,所以△/PC为等边三角形，

所以44P8=(.

(^2)由SMBC=7y/3f

所以，aOBC-sin=7g,解得BC=7,则BP=3；

如图所示：

作AD1BC交BC于点D,由(1)可知：在等边三角形2PC中,

AD=2V3,PD=2,

在RtAABD中，AB=<AD2+BD2=V37,

PB

在AABP中，利用正弦定理：

s\n£PABf

整理得：sin-AB=篝3/in

74

【解析】(1)直接利用余弦定理的应用求出△4PC为等边三角形，进一步确定N4PB=9；

(2)利用三角形的面积公式和正弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用和三角形面积公式的应用，主要考查

学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)圆锥的侧面展开图的面积为：S=?rr/=6x18X7T«339.12,

需要的鲜花为：339.12x50=16956(朵)；

(2)圆锥的侧面展开图如图：

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s

c

Z-ACSC=——1271=—,

183

SA=18,SC=6,

在△SAC中，AC=JSA2+SC2-2SAX5CXcosy=6V13，

即灯光带的最小长度为6g米.

【解析】(1)利用圆锥展开图，计算出屋顶的面积，即可解出；

(2)利用展开图，解三角形，即可解出.

本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题.

21.【答案】解：(l)f(x)=sin(2x-')-2cos(x+》sin(x+：兀)

=sin2xcos—cos2xsin^+2cos(x+^)sin(x+g)

=^-sin2x-^cos2x+sin(2x+1)

=­sin2x--cos2x+cos2x

22

V3..1

=——sino2x+-cos2ox

22

=sin(2x+*),

令-3+2/CTTW2x+gg+2/CTT,kEZ,所以一£+Zc/rW%Wg+k/r,kEZ,

ZoZ3o

所以函数f(x)的单调递增区间为：[-g+k兀W+k扪，kez.

(2)函数y=f(x)-k在区间[一%葛兀]上有且仅有两个零点，

即曲线y=sin(2x+》与直线y=k在区间[―也||汨上有且仅有两个交点，

由％E[一士葛利，可得2%+[-32扪，

O1Zoo

当xC[-？号印寸，fQ)=Sin(2x+”[-1,1],

O1Zo

设£=2%+g,则、=sin£,tE2TT],

oo

当kG(-l,-i)U(0,1)时，曲线y=sint与直线y=k区间tG［一/2网上有且仅有两个

交点.

【解析】(1)由三角恒等变换化简/(x)，再利用正弦函数的单调性即可得出答案.

⑵函数y=f(x)-k在区间［一为葛兀］上有且仅有两个零点转化为曲线y=sin(2%+5

与直线y=k在区间［-巳亮河上有且仅有两个交点，即可求实数的取值范围.

o1Z

本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的

应用，属于中档题.

22.【答案】解：⑴由题意，周期7=2x1=兀，故3=?=2,f(x)=sin(2x+9),

且2X(一三)