2023学年完整版数学假期（上）

第一章空间几何体

1.1空间几何体的结构

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.3空间几何体的表面积与体积2010年2月6日星期六内蒙古党国强必修二CONTENT内蒙古党国强1.1空间几何体的结构指出上面各图形的名称？结构特征？棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱底面互相平行．侧面都是平行四边形．侧棱平行且相等．侧棱底面顶点侧面DABCEFF′A′E′D′B′C′问：棱柱倾斜后还是棱柱吗？斜棱柱

直棱柱正棱柱棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体叫棱锥．顶点侧棱底面侧面棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD。棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。DBCAC1

B1A1D1上底面下底面侧面侧棱顶点棱台2由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…同学们能自己画出三棱锥、四棱锥、五棱锥和三棱台，四棱台，五棱台吗？圆柱定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面。平行于轴的旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。AA′OO′圆锥定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。圆锥2顶点AB轴侧面母线SO圆锥与棱锥统称为锥体圆台和棱台统称为台体．它们是由平行与底面的平面截锥体，得到的底面和截面之间的部分．圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。O'O底面底面轴侧面母线球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。O半径球心想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?O

用一个截面去截一个球，截面是圆面。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆1.2空间几何体的三视图和直观图中心投影：把光由一点向外散射形成的投影角中心投影。平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影角平行投影。（正投影：投影线正对着投影面；否则叫斜投影）空间几何体的三视图三视图是观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体图形。1、正视图：光线自物体的前面向后投影所得的投影图。2、侧视图：光线自左向右投影所得的投影图。3、俯视图：光线自上向下投影所得的投影图。用这种视图即可刻划空间物体的几何结构，这种图称之为三视图。三视图从细节上刻画了空间几何体的结构。根据三视图，我们就可以得到一个精确的空间几何体。正是因为三视图的这个特点，使它在生产活动中得到广泛应用（零件图纸，建筑图纸都是三视图）。汽车零件视图角度基本几何体的三视图

回忆初中已经学过的正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图．正方体的三视图主左俯长方体主左俯长方体的三视图

圆柱主左俯圆柱的三视图圆锥主左俯圆锥的三视图球体主左俯球的三视图

“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图．

光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”．

用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”．即向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图．三视图有关概念长对正高平齐宽相等三视图的特点

从前面正对着物体观察，画出主视图，主视图反映了物体的长和高及前后两个面的实形．

从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和宽及上下两个面的实形．三视图表达的意义

从左向右正对着物体观察，画出左视图，布置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和高及左右两个面的实形.

三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.六棱柱主左俯棱柱的三视图正三棱锥主左俯棱锥的三视图棱锥的三视图正四棱锥主左俯棱台的三视图正四棱台主左俯圆台主左俯圆台的三视图圆台主左俯圆台的三视图

下面是一些立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称:正视图侧视图俯视图四棱柱由三视图想象几何体

下面是一些立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称:正视图左视图俯视图圆锥由三视图想象几何体四棱锥

一个几何体的三视图如下,你能说出它是什么立体图形吗?

由三视图想象几何体1.3空间几何体的表面积与体积总体思路：展开，沿着多面体的棱将它展开

例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS

分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，所以：因此，四面体S-ABC

的表面积为交BC于点D．解：先求的面积，过点S作，例子圆柱的表面积O圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形O圆台的表面积

参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．OO’圆台的侧面展开图是扇环三者之间关系OO’OO

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小

例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？

解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：答：花盆的表面积约是999．典型例题

以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，h为高）．柱体体积一般棱柱体积也是：其中S为底面面积，h为棱柱的高．圆锥的体积公式：（其中S为底面面积，h为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的．圆锥体积探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．柱体、锥体与台体的体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系（其中S为底面面积，h为高）

由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．

经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：锥体体积台体体积

由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)．根据台体的特征，如何求台体的体积？棱台（圆台）的体积公式

其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为柱体高S分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高台体体积上底扩大上底缩小

例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？

解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有252个．典型例题柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和知识小结展开图

圆台圆柱圆锥柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识小结1.3球的体积与表面积第二章

2.1点、直线、平面之间的位置关系本章立体几何的基础知识.DCAB平面ABCD平面AC或平面BDADCBEF平面记作：平面记作：平面

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．ABl作用：判定直线是否在平面内．平面公理

公理2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．ACB存在性唯一性作用：确定平面的主要依据．平面公理

不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上．lP平面公理

例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，典型例题

平行于同一条直线的两条直线互相平行条件：结论：两条直线平行于同一条直线两条直线互相平行作用：判断两直线平行的重要依据应用之关键：找媒介（中间直线）公理4：空间中直线与直线之间的位置关系定理：空间中如果2个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（1）直线在平面内——有无数个公共点．（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点．（3）直线和平面平行——无公共点．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．空间中直线和平面的位置关系１、平行——两个平面无公共点。２、相交——两个平面有一条交线。３、重合——两个平面有无数个公共点∥a位置关系平面与平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行何时用：判断或证明线面平行时突破口：在平面内找(或作)一条直线与面外的直线平行定理2：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行2.2直线、平面平行的性质定理3一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。定理4如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

例1求证:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.已知:平面//平面,AB和DC为夹在、间的平行线段。求证：AB=DC.BCAD证明：GH证明:过A作直线AH//DF,连结AD,GE,HF(如图).2.3直线平面垂直的判定及其性质判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。建议画出草图，观察并得出上面结论。第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角与斜率

定义:倾斜角不等于π／2的直线的倾斜角的正切值称为该直线的斜率。斜率是一个数值，它可以是任何一个实数。用表示直线的斜率最方便，不用其它三角函数。当倾斜角为直角时，直线的斜率不存在。k=tanα解答已知三点A（a，2），B（5，1），C（-4，2a）在同一直线上，求a的值。填空（1）若则k=________

若（2）若，则；

若两条直线平行于垂直的判定L1∥L2k1=k21若直线和平行，则=

。a12=-ayx122=-ayx02若直线和平行，则=

。a1+=+ayax22+=+aayx1046=+-Cyx012=--yAx直线和直线平行

的条件是

。4已知直线与互相垂直，求的值02)32()1(=+++-yaxa03)1()2(=--++yaxa练习3.2直线的方程

设点P(x,y)是直线L上不同于点P1的任意一点，注:(1)当倾斜角为0o时，L的方程为_____y=y1(2)当倾斜角为90o时,L的方程为_____x=x1(3)直线方程的点斜式只能表示斜率存在的直线。一、直线方程的点斜式

已知直线L的斜率是k，与y轴交点是(0,b)，则直线L的方程是y-b=k（x-0）y=kx+b即二、直线方程的斜截式b叫做直线L在y轴上的截距。(1)斜截式是点斜式的特例；

(2)“截距”b可正、可负或零，与“距离”不同。

若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，并且x1≠x2，则它的斜率代入点斜式，得当y1≠y2时三、直线方程的两点式

若直线L与x轴交点为(a,0)，与y轴交点为(0,b),其中a≠0，b≠0，由两点式，得即4、直线方程的截距式a叫做直线在x轴上的截距；b叫做直线在y轴上的截距.上述四式都可以写成直线方程的一般形式：Ax+By+C=0,A、B不同时为0。5、直线的一般式方程例1：已知直线经过点A（6，-4），斜率为–4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。解：经过点A（6，-4）并且斜率等于-4/3的直线方程的点斜式是

y+4=-4/3（x–6）化成一般式，得4x+3y–12=0

截距式是：练习3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线交点的坐标：

如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组的解；反之，如果方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.解：解方程组3x+4y－2=02x+y+2=0∴l1与l2的交点是M（-2，2）x=－2y=2得例2：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。证明：联立方程3x+2y－1=02x－3y－5=0oxy(1,-1)M解得：x=1y=-1代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0得0+λ·0=0∴M点在直线上M（1，-1）即3.3.3点到直线的距离3.3.2两点间距离公式（1）点到直线距离公式：，（2）两平行直线间的距离：，注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理为对应相等的形式。3.3.3点到直线的距离、两平行直线间距离思考题：求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐标轴围成的四边形的面积．oxyx-4y+6=08x+y-18=0MNP(提示：Ｍ(,0),N(0,),直线MN方程：4x+6y-9=0,P(2,2)到直线MN的距离d=,∴Ｓ四边形OMPN＝Ｓ△OMN+Ｓ△PMN＝.第四章圆的方程内容分三块1、圆的方程2、直线、圆的位置关系3、空间直角坐标系重点是1、2圆的标准方程含义：圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。如果圆心在原点，这时，那么

圆的方程简化为4.1圆的方程圆的一般方程x2+y2+Dx+Fy+E=0(D2+E2-4F>0)；二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Fy+E=0的联系与区别解：∵圆与直线相切，∴圆的方程为∴圆心到的距离练习求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。[观察]：圆的标准方程与圆的一般

方程在形式上的异同点.圆的标准方程圆的一般方程[说明]：(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，

(2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.4-6-3616练习4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系4.2.2圆与园的位置关系直线方程的一般式为:____________________________2.圆的标准方程为______________3.圆的一般方程：__________________________________

复习圆心为________半径为______Ax+By+C=0(A,B不同时为零)(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)圆心为半径为（a，b)rd<rd=rd>rd与r2个1个0个交点个数图形相交相切相离位置rdrdrd3.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置是________相交1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为________相切2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________相离

将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后比较判别式Δ与0的大小关系,判断直线与圆的位置关系的方法2(代数法):若Δ>0则直线与圆相交若Δ=0则直线与圆相切若Δ<0则直线与圆相离反之成立直线与圆的位置关系判断方法：一、几何方法。主要步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断:当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其Δ的值比较Δ与0的大小:当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时,直线与圆相切;当Δ>0时,直线与圆相交。二、代数方法。主要步骤：利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程

一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环行，它走到哪个位置时与直线l

：3x+4y-2=0的距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计算这个点到直线l的距离。

请你来帮忙