2018年数学总复习专题03导数分项练习（含解析）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE专题03导数1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程(千米）年月日年月日注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（）A．升B．升C．升D．升【答案】B【考点定位】平均变化率。2。【2008高考北京文第13题】如图，函数的图象是折线段,其中的坐标分别为，则;函数在处的导数．2B2BCAyx1O34561234【答案】2—2【解析】3。【2007高考北京文第9题】是的导函数,则的值是 ．【答案】3【试题分析】，所以【考点】多项式求导4.【2005高考北京文第19题】（本小题共14分）已知函数f（x)=－x3＋3x2＋9x＋a,(I）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．故f（x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1）＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x）在区间－2，2］上的最小值为－7．5。【2006高考北京文第16题】（本小题满分13分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′（x)的图象经过点(1，0),（2，0).如图所示。求：（1）x0的值；（2)a、b、c的值.【答案】解法一：(1）由图象可知，在（-∞，1）上f′(x）>0，在(1，2）上f′（x)<0.在(2，+∞）上f′（x)>0。故f（x）在（—∞，1),（2,+∞）上递增，在(1，2）上递减。因此f(x）在x=1处取得极大值,所以x0=1。(2)f′(x）=3ax2+2bx+c，由f′(1）=0，f′(2)=0，f(1）=5,得解得a=2，b=-9,c=12。解法二:（1)同解法一.（2）设f′(x）=M（x—1）(x—2）=Mx2—3Mx+2M,又f′(x）=3ax2+2bx+c,所以a=，b=-M,c=2M,f（x)=x3-Mx2+2Mx。由f（1)=5,即-M+2M=5,得M=6,所以a=2,b=—9,c=12。6.【2008高考北京文第17题】（本小题共13分）已知函数，且是奇函数．（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．（Ⅱ)由(Ⅰ）得．所以．当时，由得．变化时，的变化情况如下表：00所以，当时，函数在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增．当时,,所以函数在上单调递增．7。【2009高考北京文第18题】（本小题共14分）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.（Ⅱ）∵,当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，，函数单调递增，当时,，函数单调递减,当时，,函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点。8。【2010高考北京文第18题】（14分）设函数f（x)＝x3＋bx2＋cx＋d（a＞0),且方程f′(x）－9x＝0的两个根分别为1，4。(1)当a＝3且曲线y＝f（x)过原点时，求f（x）的解析式；（2)若f（x)在（－∞，＋∞）内无极值点,求a的取值范围．【答案】解:由f(x）＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x）＝ax2＋2bx＋c。因为f′（x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，所以(＊）(1）当a＝3时，由(＊)式得解得b＝－3，c＝12.又因为曲线y＝f（x）过原点,所以d＝0.故f（x）＝x3－3x2＋12x.（2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞,＋∞)内无极值点"等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*）式得2b＝9－5a，c＝4a.又Δ＝（2b)2－4ac＝9（a－1）（a－9）,解得a∈1,9］,即a的取值范围是1，9］．9．【2012高考北京文第18题】已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x）＝x3＋bx．（1)若曲线y＝f（x)与曲线y＝g（x）在它们的交点（1,c)处具有公共切线，求a，b的值；(2）当a＝3，b＝－9时，若函数f(x）＋g(x）在区间k，2］上的最大值为28，求k的取值范围．（2)记h（x）＝f(x）＋g（x),当a＝3，b＝－9时，h（x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x）＝3x2＋6x－9．令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1．h（x）与h′(x)在(－∞,2］上的情况如下：x(－∞，－3)－3（－3，1)1(1,2）2h′(x)＋0－0＋h(x)28－43由此可知：当k≤－3时,函数h（x）在区间k,2］上的最大值为h（－3）＝28；当－3＜k＜2时,函数h(x)在区间k,2］上的最大值小于28．因此，k的取值范围是(－∞,－3］．10。【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分）已知函数.（1）求在区间上的最大值;（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）【答案】(1)；(2)；（3）详见解析.（2)设过点P（1，t)的直线与曲线相切于点,则,且切线斜率为,所以切线方程为，因此，整理得：，设，则“过点存在3条直线与曲线相切"等价于“有3个不同零点”，=，与的情况如下：01+00+t+3所以，是的极大值，是的极小值，当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点，当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点.当且，即时，因为，,所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知,当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是。（3)过点A(-1，2)存在3条直线与曲线相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切。考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力。利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.11.【2011高考北京文第18题】（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ)求的单调区间;（Ⅱ）求在区间上的最小值。【解析】：(Ⅰ）令，得．与的情况如下：x（）（—0+↗↗ 所以，的单调递减区间是（）;单调递增区间是（Ⅱ）当，即时，函数在0，1］上单调递增，所以（x）在区间0，1］上的最小值为当时,由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间0，1］上的最小值为；当时，函数在0，1］上单调递减,所以在区间0,1]上的最小值为12。【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数，．（I)求的单调区间和极值;（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【答案】（I）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（II)证明详见解析.试题解析：（Ⅰ）由，（)得。由解得.与在区间上的情况如下：所以,的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减,且，所以是在区间上的唯一零点。当时，在区间上单调递减,且，，所以在区间上仅有一个零点。综上可知,若存在零点，则在区间上仅有一个零点。考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题。13.【2016高考北京文数】（本小题13分）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ）设，若函数有三个不同零点,求c的取值范围；（Ⅲ)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件。【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）;（III）见解析。试题解析：（I）由,得．因为，,所以曲线在点处的切线方程为．（II)当时，,所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在,，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（III）当时，，，此时函数在区间上单调递增,所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时,，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增．所以不可能有三个不同零点．综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点的必要条件．当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．考点:利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．2．求参数范围问题的常用方法:（1）分离变量；(2）运用最值．3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数,转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．14。【2017高考北京文数20题】已知函数．(Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最大值为1；最小值为。【解析】试题解析：(Ⅰ）因为，所以。又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则。当时,,所以在区间上单调递减。所以对任意有，即。所以函数在区间上单调递减。因此在区间上的最大值为,最小值为。【考点】导数的几何意义,利用导数求函数的最值【名师点睛】这道导数题并不难，比一