多维随机变量及其分布(精)

第三章多维随机变量及其分布关键词： 二维随机变量 分布函数分布律概率密度 边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度 条件分布函数条件分布律条件概率密度 随机变量的独立性

Z=X+Y的概率密度

M=max(X,Y)的概率密度

N=min(X,Y)的概率密度1§1二维随机变量问题的提出例1：探讨某一地区学龄儿童的发育状况。仅探讨身 高H的分布或仅探讨体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，探讨身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。例2：探讨某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置须要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。2定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。定义：设(X,Y)是二维随机变量,对于随意实数x,y， 二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。0Se3分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)4x2y1x1y25二维离散型随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：6

分布律的性质

例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。YX123440001¼⅛20⅛300解：(X=i,Y=j)的取值状况为：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：7

8

二维连续型随机变量9

10

例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：

解：

11

例：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：

1213

例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

(1)

求常数k；(2)

求概率解：114§2边缘分布二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。事实上，15对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi

·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1X,Y的边缘分布律为：留意：16对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上， 同理：X,Y的边缘概率密度为：17

00.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.04X0210.3700.4150.215pY020100.3150.3950.290p18

例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3)YX-1100.20.1a120.10.2bX10.420.6Y0.30.5-1100.2(2)解：(1)由分布律性质知a+b+0.6=1即a+b=0.419例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上听从匀整分布。 现设(X,Y)在有界区域 上匀整分布，其概 率密度为 求边缘概率密度解：20

2122§3条件分布 由条件概率公式可得： 当i取遍全部可能的值，就得到了条件分布律。23定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，同样，对于固定的xi，24

例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求（1）X，Y的联合分布律；（2）X=1时Y的条件分布律；

(3)Y=0时X的条件分布律。

解：X,Y的联合分布律为XY01201/154/152/1513/154/15021/150025故在X=1的条件下，Y的分布律为： 同理P(Y=0)=1/3，故在Y=0的条件下，X的分布律为：XY01201/154/152/1513/154/15021/1500X0121/53/51/5Y0123/74/7026

例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。解：

2728例3：设参与考研的学生，正常发挥的概率为a,超常发挥的概率为b，发挥失常的概率为c，a+b+c=1。设某班有10人参与考研，发挥正常的人数为X，发挥超常的人数为Y。求（1）（X,Y)的联合分布律；（2）P(X+Y>1)；（3）在Y=3的条件下，X的分布律。解:(1)X,Y的联合分布律为2930联合分布回顾:(X,Y)31二维离散型随机变量y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：32

二维连续型随机变量33边缘分布二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。34对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi

·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1X,Y的边缘分布律为：留意：35对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为X,Y的边缘概率密度为：36定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，同样，对于固定的xi，条件分布37

定义：条件分布函数38定义：条件概率密度39

40也就是，由事实上，另一种说明41条件概率密度的直观意义：42例4：设二维随机变量(X,Y)在区域内匀整分布，求条件概率密度二维匀整分布的条件分布仍为匀整分布解：依据题意，(X,Y)的概率密度为：Y的边缘概率密度为：于是给定y(-1<y<1)，X的条件概率密度为：4344说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布条件分布联合分布45§4相互独立的随机变量

46例1：§1例2中X和Y是否相互独立？即(X,Y)具有概率密度请问：连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？计算得，X和Y的边缘概率密度分别为：47XY01P(X=j)12P(Y=i)XY01P(X=j)12P(Y=i)

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505152

一般n维随机变量的一些概念和结果

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54

边缘分布

如：55

相互独立

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定理1：

定理2：57

§5两个随机变量的函数的分布58

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61例3：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 解：由卷积公式：一般：设X,Y相互独立，62例4：X,Y相互独立，同时听从[0,1]上的匀整分布，求 的概率密度。xx=zz120x=z-1解：依据卷积公式：易知仅当参考图得：63例5：设X,Y相互独立、听从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。解：依据卷积公式：64一般的，可以证明：若X,Y相互独立，且分别听从参数为X,Y的概率密度分别为证明：这是例3的推广，由卷积公式由此可知：65

66推广到n个相互独立的随机变量的状况设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：6768例7：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联 结的方式分别为：(1)串联；(2)并联； (3)备用(当系统L1损坏时，系统L2起先工作)。 如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率 密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L169串联的状况由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：故Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：即Z仍听从指数分布L1L270并联的状况

由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：L1L271备用的状况

由于这时当系统L1损坏时，系统L2才起先工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L272复习思索题31.设(X,Y)为二维向量，则P{x1<X≤x2,y1<Y≤y