第十一讲中学数学命题教学

第十一讲中学数学命题教学第一页，共四十九页，2022年，8月28日二数学命题及其教学数学命题概述数学命题学习的心理分析命题教学的基本要求和教法探讨第二页，共四十九页，2022年，8月28日数学命题概述判断的意义和种类1.数学判断

对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做“判断”。数学判断是关于数学对象及其属性的判断。判断与真假：判断有真假之分，是否符合客观实际情况、是否与事实相一致是一个判断真实与虚假的标准。按照思维对象的量判断可分为：全称判断、特称判断、单称判断；按判断的质来分有：肯定判断、否定判断；按判断的关系来分有：定言判断、选言判断和假言判断。第三页，共四十九页，2022年，8月28日2.常用的判断形式及其之间的关系如果用S表示判断的对象，P表示性质（1）全称肯定判断(A)“所有的S是P”(SAP)

（2）全称否定判断(E)“所有的S都不是P”(SEP)

（3）特称肯定判断(I)“有的S是P”(SIP)

（4）特称否定判断(O)“有的S不是P”(SOP)S也叫做判断的“主项”，P也叫做“谓项”;“所有的”或“有的”表示主项的数量，叫做“量词”

.在全称判断中量词常常省略不写；

“是”或“不是”称为联结词，表示肯定或否定。第四页，共四十九页，2022年，8月28日全称判断和特称判断，就其主项S和谓项P的外延而言，有以下五种情况，在各种情况下，A、E、I、O之间的真假关系如下：S=PSPSPAIIOOOEOOOOIIIIIIOOOOIII第五页，共四十九页，2022年，8月28日SAPSIPSOPSEP反对关系矛盾关系下反对关系差等关系(从属关系)差等关系（从属关系）系关矛盾由A、E、I、O之间的关系，又可概括出以下四种关系：第六页，共四十九页，2022年，8月28日上反对关系（A和E）：

A和E不能同真，可以同假。A和E二者之中至少有一个是假的。A对则E错，或者A和E都错。（必有一假）下反对关系（I和O）：

I和O不能同假，可以同真。I和O二者之中至少有一个是真的。I错则O对，I对则O错（或对）。（必有一真）从属关系（A和I，E和O）：

A对则I对，A错则I不一定错；I对则A不一定对，I错则A一定错。E和O的关系与A和I的关系相同。矛盾关系（A和O，E和I）：

A和O，E和I都是不能同真，也不能同假，二者之中必是一真一假。第七页，共四十九页，2022年，8月28日3、判断的种类简单判断：本身不包含其它判断的判断符合判断：本身还包含其它判断的判断第八页，共四十九页，2022年，8月28日数学命题的意义在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做“数学命题”。对于无法判断其真假的语句，称为开（语）句。注：形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之间的关系。但在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式，把内容和形式统一起来研究数学命题。如：在形式逻辑中，命题“如果1>3,那么1+2>3+2.”√，但在数学中×数学命题有真假之分。不是所有的语句或数学式子都是数学命题。在命题逻辑中，通常用“p,q,r,s,t···”等表示命题，这种命题符号称为命题变元（变量、变项），命题变元的取值只能是“真”和“假”，分别用“1”和“0”表示。4.数学命题第九页，共四十九页，2022年，8月28日（1）数学是一门科学；（2）；（3）6<3;（4）x+5=9;（5）x>7;（6）你在干什么？（7）禁止吸烟！（8）2比3大吗？（9）哎呀！那还得了！请大家判断以下语句是否是数学命题：

数学命题一般可分为简单命题和复合命题两大类。简单命题就是不包含其他命题的命题，又可分为性质命题和关系命题两种。第十页，共四十九页，2022年，8月28日简单命题（1）性质命题性质命题：判断某事物具有（不具有）某种性质的命题。性质命题的结构：主项、谓项、量项和联项。

有些

一元二次方程

没有

实数根（量项）（主项）（联项）（谓项）量项有“全称”和“特称”之分，联项有“肯定”和“否定”之分，将之组合，可以得到四种形式的性质命题：全称肯定、全称否定、特称肯定、特称否定。此外还有单称肯定和单称否定。第十一页，共四十九页，2022年，8月28日（2）关系命题关系命题：判断事物与事物之间关系的命题。关系命题的结构：主项、谓项和量项

直线a

平行于

直线b

（主项）（谓项）（主项）（前项）（后项）数学中常见的是二元关系：aRb常见二元关系有自反关系、对称关系、传递关系和等价关系。第十二页，共四十九页，2022年，8月28日复合命题与逻辑联结词复合命题是由两个或两个以上简单命题通过逻辑联结词结合起来而构成的命题。常用的逻辑联结词有以下五种：否定、合取、析取、蕴涵、等价第十三页，共四十九页，2022年，8月28日1.否定（非）

，其真值表如下：

0110否定（非）：在一个语句之前加上“并非”，就构成一个新的语句，叫原来语句的否定。第十四页，共四十九页，2022年，8月28日2.合取（与，且）100010101100P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形p∧q:△ABC是等腰直角三角形.p:AB∥CDq:AB=CDp∧q:ABCD∥＝合取（与、并且）：两个语句p和q用“与”联接起来构成新的语句“p与q”称为合取式，亦称为联言命题，“pq”第十五页，共四十九页，2022年，8月28日3.析取（或）111010101100p:x>2q:x=2p∨q:x≥2P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形P∨q:△ABC是等腰三角形或直角三角形.析取（或）：两个语句p、q用或联接起来所构成的新的语句“q或p”称为析取式，亦称为选言命题第十六页，共四十九页，2022年，8月28日4.蕴涵（如果···，则···）110010101011P:a和b都是偶数，Q:a+b也是偶数。当前件为假时，无论后件为真还是假，都不与原来的命题矛盾。蕴涵（如果。。，那么。。）：把命题p、q用“如果。。。，那么。。。联接起来，得到新的命题”如果p，那么q”，p→q，这个式叫蕴涵式，“p蕴涵q”，p、q分别叫前后件（即前提和结论）。第十七页，共四十九页，2022年，8月28日5.等价（当且仅当）100110101100等价（当且仅当）：将两个命题p、q用“当且仅当”联接起来，构成复合命题“p当且仅当q”，pq第十八页，共四十九页，2022年，8月28日例如：（1）2+3=5（真）（2）4×7=30（假），等价式：（2+3=5）（4×7=30）（假）例如：（1）三角形两边之和小于第三边（假）（2）李白是清朝文人（假）。等价是：“三角形两边之和小于第三边”当且仅当“李白是清朝文人”（真）几点说明：一个命题中如果没有逻辑联接词出现，那么该命题一定是简单命题。以上五种式子是复合命题中最简单的形式，由这些基本形式经过各种组合，可以得到更加复杂的复合命题。简单命题的真假由数学内容来决定，而经过复合后的命题其真假值则由真值表来决定。第十九页，共四十九页，2022年，8月28日复合命题的值求复合命题的值，可先穷尽地列出p、q取值可能，然后再根据联结词的强弱顺序，逐步得出各层复合命题的值，直到最后求出整个复合命题的值。联结词的强弱顺序：恒真命题：一个命题在任何情况下都为真恒假命题：一个命题在任何情况下都为假第二十页，共四十九页，2022年，8月28日111110000111010110101100恒真命题第二十一页，共四十九页，2022年，8月28日111100001010101011001100用真值表验证是恒真命题1011101111110101111110011011000111111111第二十二页，共四十九页，2022年，8月28日逻辑等价若两个复合命题A、B真值表相同，就称A、B逻辑等价.0111100001110101001110101100结果相同第二十三页，共四十九页，2022年，8月28日可以验证下列逻辑等价式：幂等律双重否定律交换律结合律分配律德·摩根律余补律同一律吸收律第二十四页，共四十九页，2022年，8月28日数学命题的四种形式及其关系为了更好地研究数学命题：若p则q，有必要研究命题的四种形式及其关系命题的四种形式：（1）原命题：p→q；（2）逆命题：q→p；（3）否命题：┐p→┐

（4）；逆否命题：┐q→┐p。四种命题的关系：原命题和逆命题是互逆的，否命题和逆否命题是互逆的，原命题和否命题是互否的，逆命题和逆否命题是互否的，原命题和逆否命题是互为逆否的，逆命题和否命题是互为逆否的。第二十五页，共四十九页，2022年，8月28日假言命题的四种形式及其之间的关系原命题逆命题否命题逆否命题互逆互逆互否互否逆否（等价）第二十六页，共四十九页，2022年，8月28日例子：1.原命题：如果两个三角形全等，则这两个三角形等积。逆命题：如果两个三角形等积，则这两个三角形全等。否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三角形不等积。逆否命题：如果两个三角形不等积，则这两个三角形不全等。真假假真第二十七页，共四十九页，2022年，8月28日2.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分。逆命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形。否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相平分。逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，则它不是平行四边形。真真真真第二十八页，共四十九页，2022年，8月28日3.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相垂直。逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相垂直，则它不是平行四边形。逆命题：如果一个四边形的对角线互相垂直，则它是平行四边形。否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相垂直。假假假假第二十九页，共四十九页，2022年，8月28日它们之间的关系可以用真值表来证明：10111101110110110101001110101100结果相同从真值表中可以得出：原命题和逆否命题等价；逆命题和否命题等价。所有四种命题中实质不同的只有两种，其它两种只是形式不同而已。在数学论证中经常用到具有逆否关系命题的等价性，在证明一个命题时，可以将之转换成它的逆否命题的形式加以证明。第三十页，共四十九页，2022年，8月28日同一原理

互逆的两个命题未必等价。但是,当一个命题的条件和结论都唯一存在,

它们所指的概念的外延完全相同,是同一概念时,这个命题和它的逆命题等价。这一性质通常称为同一原理或同一法则。例如,“等腰三角形底边上的中线是底边上的高线”是一个真命题,这个命题的条件“底边上的中线”有一条且只有一条,结论“底边上的高线”也是有一条且只有一条。这就是说,命题的条件和结论都唯一存在。由于这个命题为真,所以命题的条件和结论所指概念的外延完全相同,是同一概念。

因此,这个命题的逆命题“等腰三角形底边上的高线是底边上的中线”也必然为真。同一原理是间接证法之一的同一法的逻辑根据。对于符合同一原理的两个互逆命题,在判定其真假时,只要判定其中的一个就可以了。在实际判定时,自然要选择易判定的那个命题。第三十一页，共四十九页，2022年，8月28日偏逆命题及其否命题把原命题中数目相同的部分前提和结论互换后得到的命题称为原命题的偏逆命题。例如原命题：如果a和b都是偶数，则a+b也是偶数。

真真(a是偶数)∧(b是偶数)→(a+b是偶数)偏逆1：(a是偶数)∧(a+b是偶数)→(b是偶数)偏逆2：(a+b是偶数)∧(b是偶数)→(a是偶数)第三十二页，共四十九页，2022年，8月28日※例如原命题：在圆内，弦的垂直平分线必过圆心并且平分这条弦所对的弧。逆命题：在圆内，过圆心并且平分弦所对的弧的直线必垂直平分这弦。偏逆命题1：在圆内，过圆心且平分弦的直线必垂直这弦所对的弧，☆一个原命题的偏逆命题一般有数个。☆偏逆命题和其它三个命题没有前面那样的简单关系。请大家作出下面这个命题的偏逆命题：如果四边形ABCD是平行四边形，则它的对边相等。(AB∥CD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(AB=CD)→(BC∥AD)∧(BC=AD)(AB=CD)∧(BC∥AD)→(AB∥CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(BC=AD)→(AB=CD)∧(BC∥AD)(BC=AD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(AB∥CD)第三十三页，共四十九页，2022年，8月28日充分条件和必要条件数学数学命题中的条件分成充分条件、必要条件和充分必要条件。充分条件：如果命题“若p则q”为真，则条件p就称为使q成立的充分条件必要条件：如果命题“若q则p”为真，则条件p就称为使q成立的必要条件显然若p是q成立的充分条件，则q一定是使p成立的必要条件，反过来也对。充分必要条件：如果“若p则q”和“若q则p”均为真，则p是q成立的充分必要条件。在解题或证明中要明确充分条件和充要条件第三十四页，共四十九页，2022年，8月28日公理和公理化方法（新概念←旧概念←更旧的概念←…←原始概念）定理←旧命题←更旧的命题←…←公理不加定义的原始概念称为基本概念；不加证明而承认的命题称为公理。公理化方法：从尽可能少的基本概念和公理出发，运用逻辑推理，建立数学分支的方法。公理系统中的公理应满足的三个条件：（1）相容性：同一公理系统中的公理本身不能矛盾，由公理推导的结果也不能矛盾（2）独立性：任一公理不能由其它公理推出（3）完备性：该系统中的全部命题均可推出而不能借助直观第三十五页，共四十九页，2022年，8月28日演绎数学的兴起欧几里得

Euclid(ca.325-ca.270BC)必须承认，直觉是不可靠的公理化方法与欧几里得的《几何原本》第三十六页，共四十九页，2022年，8月28日《原本》(Elements)共十三卷，包括五条公理、五条公设、一百一十九个定义和四百六十五条命题第11、12、13卷：立体几何及穷竭法第10卷：不可公度量第7、8、9卷：数论的内容第5卷：比例理论第6卷：比例理论的几何应用第1卷：23个定义、公理、公设第1、3、4卷：平面几何内容第2卷：几何代数内容第三十七页，共四十九页，2022年，8月28日《原本》来源图第三十八页，共四十九页，2022年，8月28日基本定义1、假定从任意一点到任意一点可作一直线2、一条有限直线可不断延长3、以任意中心和直径可以画圆4、凡直角都彼此相等5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交公理1、等于同量的量彼此相等2、等量加等量，和相等3、等量减等量，差相等4、彼此重合的图形是全等形5、整体大于部分公设点、线、面、圆等第三十九页，共四十九页，2022年，8月28日原本1482年威尼斯第一个拉丁文印刷本第四十页，共四十九页，2022年，8月28日阿拉伯文本

《原本》手抄本第四十一页，共四十九页，2022年，8月28日徐光启、利玛窦合译《原本》前6卷(1605-1606年)根据德国数学家克拉维斯(ClaviusC.1537-1612)注释本《原本》，全书共15卷李善兰、伟烈亚利合译《原本》后9卷(1852-1856年)第四十二页，共四十九页，2022年，8月28日定理：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运用正确逻辑方法来证明其真实性的命题。定理的结构：条件（题设或已知）、结论（题断或求证）

逆定理：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定理的逆定理。

判定定理：用来确定某个对象存在的充分条件的定理。

性质定理：确定某个对象存在的必要条件的定理。

引理：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个或几个“小定理”。

推论（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。

证明题：在教材中通常列入例题或习题，作为推理论证的练习。第四十三页，共四十九页，2022年，8月28日分断式命题和配套定理在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠C＞∠B；如果AB＝AC，那么∠C＝∠B；如果AB＜AC，那么∠C＜∠B.

象上例，一个命题是由几个命题总合而成，而它们的条件和结论有相同的特点：所含事项互不相容，又包括了一切可能的情形，则把这样的命题称为“分断式命题”.分命题简单定理条件和结论中所含事项都只有一个的定理称为简单定理。例如：同一个三角形中，大角对大边。复合定理条件和结论中所含事项不只是一个的定理叫做复合定理。例如：等角的邻补角相等第四十四页，共四十九页，2022年，8月28日学生学习数学命题的心理分析对公理、定理、公式的学习很大程度上依赖于直接感知难以从条件与结论的关系上把握条件命题孤立地学习定理、公式第四十五页，共四十九页，2022年，8月28日公理、定理、公式的教法探讨公理的教法采用学生熟知的具体事例或生活经验出发让学生了解什么是公理：它的真实性不能由逻辑推理来确定，是人们长期实践的总结，是数学的基石或出发点。在教学中要让学生体会引入公理的必要性：如果没有公理的引入，则进一步的推理便无法进行。引入公理也要有个过程，通过引导学生对实际事物的观察，进行一定的实验和检验，从而不但让学生对公理的真实性确信不疑，也便于学生对公理的理解和记忆。法则的教学法则是揭示对象之间普遍联系的一种命题形式，一般是围绕运算展开的。法则可以分成定义型和公式型两类。定义型法则的教学类似于概念的教学，公式型法则的教学则类似