2022年福建省漳州市高考数学第二次质检试卷及答案解析

2022年福建省漳州市高考数学第二次质检试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）设集合4={x|0WxW2},B={1,2},则NU8=（）

A.{2}B.{1,2}C.{x|lWxW2}D.{x[0WxW2}

2.（5分）复数z满足|z-（5+5z）|=2,则z在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）已知sin（——x）=i,则cos（x+言）=（）

6J3

2J2112V2

A.一早B.-4C.-D.—

3333

4.（5分）已知直线x+y-&a=0与圆f+/=25相交于4,B两点,则“|Z8|V6”是“4

<a<5n的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）已知△4BC是边长为2的正三角形，尸为线段上一点（包含边界），则而•而

的取值范围为（）

A.[-1,2]B.[-1,4]C.[0,2]D.[0,4]

6.（5分）伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美

V5

结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为三的双曲线C：

力--=1（〃>0）上支的一部分，点尸是C的下焦点，若点尸为C上支上的动点，则

|叩与尸到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

7.（5分）已知函数/（x）={；一：^：°2'"〈I与函数8⑶）=/”x的值域相同，则实数

。的取值范围是（)

第1页共22页

A.（-8,]）B.（--1]

C.[-1,1）D.（-°°,-1]U[2,+8）

8.（5分）已知S,是数列｛斯｝的前"项和，a\=\,a2=2,.3=3,记6"=。"+〃"+1+。”+2,且

b„+i-bn=2,则$31=（）

A.171B.278C.351D.395

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，

有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.

（多选）9.（5分）已知函数/（x）=/,则下列结论正确的是（）

A.曲线y=/（x）的切线斜率可以是1

B.曲线y=/（x）的切线斜率可以是-1

C.过点（0,1）且与曲线y=/（x）相切的直线有且只有1条

D.过点（0,0）且与曲线y=/（x）相切的直线有且只有2条

（多选）10.（5分）已知正方体4BCZ）-Ni8iCj£>i的边长为2,“为CG的中点，尸为侧

面BCC/i上的动点，且满足//〃平面43P,则下列结论正确的是（）

A.AMVB\M

B.C/）i〃平面/18P

C.动点尸的轨迹长为生箸

V5

D.与小田所成角的余弦值为三

（多选）11.（5分）关于函数/（x）=sin|x|+|coM，下列结论正确的是（）

A./（x）为偶函数

B./（X）在区间片，竽]单调递减

第2页共22页

C.f（x）的值域为［-1,V2］

D.当（1,V2）时，方程/（x）=a在［-n,IT］有8个解

（多选）12.（5分）阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求

得抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内

接三角形N8C的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的

直线上）面积的］现已知直线尸-x+/与抛物线E：/=2px（p>0）交于4,8两点，

且工为第一象限的点，£在4处的切线为/,线段N8的中点为。，直线Z）C〃x轴所在的

直线交E于点C,下列说法正确的是（）

A.若抛物线弓形面积为8,则其内接三角形的面积为6

B.切线/的方程为2x-2y+p=0

C.若4"i•4=SZi4BC（〃eN*）,贝ij弦AB对应的抛物线弓形面积大于出+血+…

（心2）

D.若分别取力C,8c的中点r2,过上且垂直y轴的直线分别交E于Cl,C2,

则SAACCI+S3BCC2=4syBC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分.

13.（5分）2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬

之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年

龄，其中年龄位于区间［10,20）的有10位,位于区间［20,30）的有20位，位于区间［30,

40）的有25位，位于区间［40,50］的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值

为.

14.（5分）己知（2^+y）6的展开式中/廿的系数为.

15.（5分）写出一个具有性质①②③的函数f（x）=.

①/（X）的定义域为（0,+8）；

（2）f（X1X2）—f（X］）+f（X2）：

③当（0,+8）时，/（x）<0.

16.（5分）在平行四边形48CD中，4B=8,8c=10,ZJ=点E在边8c上，且。C

=CE.将△CAE沿。E折起后得到四棱锥C-/BE。，则该四棱锥的体积最大值

为;该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为.

第3页共22页

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列｛念｝的前〃项和为S”，在①S,+G)'i=2(〃eN*),②ai=l,S,+2a”+i

=2(〃6N*),③一+—+—4---1--=2"-1(〃€N*)这三个条件中任选一个，解

0.2a3an

答下列问题.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)若d=log2"“，求数列｛加｝的前〃项和

18.(12分)如图，在平面四边形Z8CC中，对角线ZC平分N8/。，的内角4,B,

C的对边分别为a,b,c,已知e6cos8+acosC+ccos4=0.

(1)求8；

(2)若/8=CO=2,△A8C的面积为2,求/。.

19.(12分)如图，圆柱。。1的轴截面4881小是一个边长为2的正方形，点。为棱881

的中点，G为弧点Bi上一点,且/。。向=不

(1)求三棱锥D-C\OO\的体积；

(2)求二面角C\-OD-Oi的余弦值.

20.(12分)漳州市某路口用停车信号管理，在某日9：00后的一分钟内有15辆车到达路

口，到达的时间如下(以秒作单位)：1,4,7,10,14,17,20,22,25,28,30,33,

36,38,41.记k=1,2,3,15,A(左)表示第后辆车到达路口的时间，W(A:)表

示第％辆车在路口的等待时间，且%(1)=0,W(i+l)=max｛Q,W(/)+A(z)-A

(z+1)+3｝,(z-1,2,…，14),记/=加依｛。，b｝,M表示a,b中的较大者.

(1)从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；

第4页共22页

(2)记这15辆车在路口等待时间的平均值为W,现从这15辆车中随机抽取1辆，记己

=卬(k)-W,求彳的分布列和数学期望；

(3)通过调查，在该日10：00后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：

1,4,10,14,15,16,17,18,19,21,25,28,30,32,38.现甲驾驶车辆欲在9：

00后一分钟内或10：00后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较9：00和

10：00后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.

XV

21.(12分)已知椭圆C：熊~+京-=1(a>6>0)的长轴长为2g,且过点尸(遍，1).

(1)求。的方程；

(2)设直线(w>0)交y轴于点交C于不同两点4B,点、N与M关于

原点对称，BQ1AN,0为垂足.问：是否存在定点"，使得为定值？

22.(12分)已知/(x)=x2-x-alnx.

(1)若a=l,求/(x)的最小值；

(2)当时，/(2x-1)-2/(x)20,求a的取值范围.

第5页共22页

2022年福建省漳州市高考数学第二次质检试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）设集合/={x|0WxW2},8={1,2},则/U8=（）

A.{2}B.{1,2}C.{x|lWxW2}D.{x|0WxW2}

【解答】解：•..集合Z={M0WxW2},8={1,2},

.•./U8={x|0WxW2},

故选：D.

2.（5分）复数z满足|z-（5+5z）|=2,则z在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：设复数z=a+4（°,旄R）,

贝ijz-（5+50=a-5+1-5）i,

V|z-(5+5i)|=2,

(«-5)2+kb-5)2=4,

•••复数Z在复平面内对应的点Z在以（5,5）为圆心，2为半径的圆上，

故z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.

故选：A.

n1

3.(5分)已知sin(—―X)=5,则cos(x+电=()

\_返-112V2

BC.D.——

A.3333

711

【解答】解：因为sin（--x）

6二了

7T1

所以cos(x+号)=cos[]+(x—]=-sin(X一看)=sin(——X)

6=T

故选：C.

4.（5分）已知直线x+丁一&a=0与圆，七/=25相交于Z,B两点,则”|力身<6”是“4

<a<5r,的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：因为直线x+y-&a=0与圆/+/=25相交于Z,8两点，设圆心到直线的

第6页共22页

距离为d,则M8|<6等价于2批二不V6,

.,.4<J<5,<5,解得4<a<5或-5<a<-4,

V1+1

...用<6"是"4<。<5”的必要不充分条件.

故选：B.

5.（5分）已知△48C是边长为2的正三角形，P为线段上一点（包含边界），则而•命

的取值范围为（）

11

A.[一去2]B.[一去4]C.[0,2]D.[0,4]

【解答】解：建立平面直角坐标系如图：设P（x,y）,PB=（-1-x,-y）,PC=（1

-x,-y）,8（-1,0）,C（1,0）,A（0,国），

直线的方程：V3x-y+V3=0,

可得而•而=/+f-1,它的几何意义是线段上的点与坐标原点距离的平方减去1,

最小值为：（0,0）到Bx—y+百=0的距离的平方减去1,即（熹）2_l=_J,

最大值为：（遮）2-1=2.

所以PB・PC的取值范围为：[一/，2],

故选：A.

6.（5分）伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美

结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为苧的双曲线C：

方-公=1（0>0）上支的一部分，点尸是c的下焦点，若点尸为C上支上的动点，则

|尸网与0到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（）

第7页共22页

【解答】解：依题意,双曲线y为2“=1的离心率为y[5,

••1+9一甲

解得a=2,

•••双曲线方程y%2Yr

下焦点为尸(0,-V5),上焦点尸(0,V5),渐近线方程为x=±$,

根据图形的对称性，不妨取渐近线为/：x=%,即y=2x,

•.•点P为C上支上的动点,

：.\PF\=2a+\PF'\=4+\PF'I，

过点P作PQJJ,垂足为0，过点尸'作尸MLI,垂足为

则|户目+|尸0|=4+|「尸|+『。芦4+|尸M|=4+坦米鲁=4+1=5,

中与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5.

故选：D.

第8页共22页

7.(5分)已知函数/(x)=｛；：一：｝：层，“〈I与函数g(X)=/〃x的值域相同，则实数

。的取值范围是()

A.(-1)B.(-°0,-1]

C.[-1,1)D.(-oo,-1]U[2,+8)

【解答】解：因为g(x)=加¥的值域为R,

所以函数/(x)=[(1-g+层，XVI的值域也为凡

当时，/(x)=3*231=3,

所以当xV1时，①若1-。=0,即a=l,/(x)=1,此时不满足条件，

②若即a>l,/(x)>1-。+/，此时/(x)的值域不可能为R,

③若即<1-a+a2,要使/(x)的值域为R,则1-。+『23,

BPa2-a-2^0,解得或又因为QVI,所以QW-1,

即实数。的取值范围是(-8,-1],

故选:B.

8.(5分)已知S”是数列｛。〃｝的前〃项和，a\=\y制=2,〃3=3,记与=斯+。什1+斯+2,且

bn+]-bn=2,贝lj531=()

A.171B.278C.351D.395

【解答】解：,.•力?=。〃+。什1+。〃+2，且bn+l~bn=2,

••・〃〃+1+即+2+。”+3-(如+斯+1+。〃+2)=2,

即斯+3一斯=2,

Vai=l,及=2,。3=3,

，数列｛斯｝的第1,4,7….项构成首项为1,公差为2的等差数列，

第2,5,8.…项构成首项为2,公差为2的等差数列，

第3,6,9.…项构成首项为3,公差为2的等差数列，

；.S31=11X1+为羽X2+10X2+当但X2+10X3+当但x2=351.

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，

有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.

第9页共22页

(多选)9.(5分)已知函数/(x)=区，则下列结论正确的是()

A.曲线y=/(x)的切线斜率可以是1

B.曲线y=/(x)的切线斜率可以是-1

C.过点(0,1)且与曲线y=/(x)相切的直线有且只有1条

D.过点(0,0)且与曲线y=/(x)相切的直线有且只有2条

【解答】解：f(x)=/,得/(%)=",

由/(x)="=1,得x=0,...曲线y=/(x)的切线斜率可以是1,故4正确；

(x)=/>0,故8错误；

设切点坐标为(出,e，。)，则/(xo)=e*。,

xx

过切点的切线方程为y-e<>=eo(x-xo),

xx

把(0,1)代入，可得1-e*。=—.,.xoe°—e°+1=0,

令g(x)=xex-e'+l,得g'(x)=xex,当(-8,o)时，g'(x)<0,

当(0,+8)时，g'(X)>0,.,.g(X)min—g(0)=0,

可得沏/。一^。+1=0只有一根0,即过点(0,1)且与曲线夕=/(x)相切的直线有且

只有1条，故C正确；

把(0,1)代入，可得-e*。=一劭6孙，解得xo=l.

过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条，故。错误.

故选：AC.

(多选)10.(5分)已知正方体-小氏。。1的边长为2,例为CCi的中点，尸为侧

面8CC/1上的动点，且满足〃平面/由P,则下列结论正确的是()

B.。|〃平面小8尸

第10页共22页

C.动点尸的轨迹长为一y-

V5

D./M与小81所成角的余弦值为彳

【解答】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则/(0,0,2),A\(0,2,2),B(0,0,0),M(2,1,0),P(x,y,0),

所以4；B=(0,-2,-2),BP=(x,y,0),AM=(2,1,-2),

由Z/〃平面Z18P,

_(0+bx=2

^AM=aA^+bBP,即一2a+by=l,化简可得3*-2y=0,

2a=-2

所以动点P在直线3x-2y=0上，

“选项：4力=(2,1,-2),B%=(2,-1,0),AM-B^M=2x2+lx(-l)+(-

2)x0=3K0,

所以京与B而不垂直，所以/选项错误；

8选项：CD\//A\B,48u平面NiBP,CD附平面//P,

所以81〃平面/18P,8选项正确；

C选项：动点尸在直线3x-2y=0上，且P为侧面8CC/1上的动点，

则尸在线段尸记上，Pi(4,2,0),

所以PiB=J(*)2+22+02=罕,C选项正确；

T—T42

。选项：4%=(0,0,-2),cos(AM,A^By)===4,。选项错误；

2j22+l2+(-2)2§

第11页共22页

(多选)11.(5分)关于函数/(x)=sin|x|+|cosx|,下列结论正确的是()

A.f(x)为偶函数

B./(%)在区间&，孚]单调递减

C./(%)的值域为[-1,V2]

D.当“€(1,V2)时，方程/(X)="在[-TT,TT]有8个解

【解答】解:A,因为/(-x)=sin|-x|+|cos(-x)|=sin|x|4-|cosx|=/(x),所以/(x)

为偶函数，故正确；

TiTin37r37r37r「~，R

B.m因为/(一)=sin—+|cos—1=1,f(—)=sin(—)+|cos(—)|=V2,所以/(一)<

2224442

/(多)，所以/(x)在区间吟，竽]不是单调递减函数，故错误；

C.当x€[0,—]01,f(x)=sinx+cosx=V2sin(x+女)，由x+江勺，­],得sin(x+»

,71r—77,77〃J71TT

当工€[5,IT]时，/,(x)=sinx-cosx=V2sin(x—4),由x—44],—],得sin(x--^)

衅，1]>则/(x)e[i,V2]：

当xqn,—]B'f,f(x)=sinx-cosx=V2sin(x—/)，由x—$[7,­],得sin(x—*)

日一冷，当，则[(x)e[-1,1]：；

当不日彳，2川时，f(x)=sinx+co&¥=V2sin(x+*),x+^G[—,—得sin(x+弥)

日一孝，y]«则/(x)e[-1,i]：;

综上/(x)的值域为[-1,V2],故正确；

V2sin(x-xe[^,n]

V2sin(x+?)f%6[0^5]

D.f(x)=<

-V2sin(x—0)

_y/2sin(%+*),xG[—TI,­

在同一坐标系中作出y=/(x),歹=。的图象，如图所示:

第12页共22页

由旺（1,V2）知，方程/（X）=0在［-7T,TT］有8个解，故正确.

故选：ACD.

（多选）12.（5分）阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求

得抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内

接三角形N8C的顶点C在抛物线上，且在过弦AB的中点与抛物线对称轴平行或重合的

40

直线上）面积的现已知直线尸-X+如与抛物线£：炉=2叫（p>0）交于48两点,

且/为第一象限的点，E在4处的切线为/,线段的中点为。，直线。C〃x轴所在的

直线交E于点C,下列说法正确的是（）

A.若抛物线弓形面积为8,则其内接三角形的面积为6

B.切线/的方程为2x-2y+p=0

C.若4"r♦47=Sj8C（〃eN*）,贝！|弦AB对应的抛物线弓形面积大于/1+/2+…+4一1+%”

（〃22）

D.若分别取AC,8c的中点匕，r2,过片，片且垂直y轴的直线分别交E于G，Q,

则S-CC1+S&BCC2=4s

【解答】解：/选项：内接三角形的面积8x,=6,故选项/正确；

p

2X=-

y=2px12

选项：联立方程，解得X1_2,

83y1=p

y=—x4-2P72=-3P

P

又丁点4在第一象限，・・・4（pP）,

___f2pn

\y=yj2px,/.y=，当x=刍时，y'=l,

故切线方程为y-p=x-4,即2x-2尸"pu。，故选项5正确;

第13页共22页

C选项：由4"-I・4,=S~IBC(〃6N*),得小=4小，

令N=2,S^ABC=4'A2,弓形面积为48c=石&=4血+“2=4+引2，

所以不等式不成立，故选项C错误：

。选项：由4弓，p),B(£,-3/?)知£>-20),

•.•£)C〃x轴，-Ip),又AC,BC的中点V\,Vi,易求匕(％0),匕(挈,-2p),

Ci(0,0),Ci(2p,-2p),

.••Sfcci=|xC』1x2p=号'S&BCC2=1xC2V2x2p=号,S&ABC=|xCDx4p=4p2,

•'•SA/ICCI+SABCCZ~/SMBC成立，故选项D正确，

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬

之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年

龄，其中年龄位于区间［10,20）的有10位，位于区间［20,30）的有20位，位于区间［30,

40）的有25位，位于区间［40,50］的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为

【解答】解：..•年龄位于区间［30,40）的有25位，人数最多，

...这70位观众年龄的众数的估计值为35,

故答案为：35.

14.（5分）已知（2p+y）6的展开式中x%2的系数为240.

【解答】解：在⑵2ty）6的展开式中，通项公式为刀.+|=禺磔一—葭⑵沙。

第14页共22页

令r=2,可得展开式中x8/的系数为*.24=240,

故答案为：240.

15.（5分）写出一个具有性质①②③的函数/（x）-logix（答案不唯一）.

①，（x）的定义域为（0,+8）；

②/"（X1X2）~f（XI）+f（X2）；

③当（0,+8）时，f（x）<0.

【解答】解：由①②分析可得要求函数可以为对数函数，

由③分析可得函数/（X）在（0,+8）上单调递减，则对数函数的底数“e（0,1）,

故函数可以为/（X）=logIX,

故答案为：logIX（答案不唯一）.

16.（5分）在平行四边形A8CD中，4B=8,8c=10,乙4=生点£在边8c上，且。C

=CE.将△CDE沿。E折起后得到四棱锥。-/8ED,则该四棱锥的体积最大值为

400TT

96；该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为

【解答】解：平行四边形/8C。中，42=8,8c=10,//=亨，点£在边BC上，且OC

=CE.将△CDE沿DE折起后得到四棱锥C-ABED,

如图所示:

所以四边形ABED为等腰梯形；S梯形ABDE=/x（2+10）x8X坐=24V3；

当面C'底面Z8EZ）时，锥体的体积做大；高为/?=8x孚=4百；

故V锥体=1x24V3X4V3=96：

第15页共22页

根据题意，下底面为等腰梯形，设外接圆的圆心为7,

所以设7■到4)的距离为力

所以TA=TB,

故、52+c/2=Jl2+(4V3—d)2,解得d=V3,

所以/T=J(V3)2+52=2V7,

2

所以外接球的半径为04=VAT?+OP=J(2V7)+(8X^X1)2=芋,

故S麦=4・兀,(苧)2=学.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”，在①S“+(4)nT=2(”6N*),②ai=l,S”+2a“+i

1111

=2(〃€N*),③一+—+—+…+—=2"-1(MGN*)这三个条件中任选一个，解

Q2a3an

答下列问题.

(1)求｛。”｝的通项公式；

(2)若d=k>g2〃"，求数列｛如｝的前“项和

【解答】解：(1)方案一：选择条件①

由S〃+G)nT=2,可得S"=2-G)nT,

1

当〃=1时，a\=S\=2-(-)1-1=1,

111

,rl,r2n[

当〃22时，an=Sn-Sn.\=2-(-)-2+(-)=(-)

:当〃=1时，〃i=l也满足上式，

：.an=(；)〃F，〃€N*.

方案二：选择条件②

依题意，由S〃+2斯+1=2,

可得S”一i+2〃〃=2,

两式相减,可得斯+2研1-2an=0,

1

整理，得。〃+1=2即，

第16页共22页

数列｛。”｝是以1为首项，T为公比的等比数列，

11

"尸卜(5)'「1=(-)'-，〃eN*.

方案三：选择条件③

依题意，由工+工+工+…+3=2”-1,

Q]0,203。九

可得工+工+工+.••+7^—=2"1_1，

a2a3an-l

两式相减，可得工=2〃-2"r=2"r,

an

1I-

"尸无，=(^)〃，几WN*・

1

(2)由(1),可得d=R)g207=log2(5)〃=-(〃-1),

故T”=bi+b2+・・・+bn

=(-1)+(-2)+•••+[-(77-1)]

_n(n-l)

―2~•

18.(12分)如图，在平面四边形力8co中，对角线力。平分N8/。，△48C的内角4,B,

。的对边分别为〃，b,c,已知V^bcosB+〃cosC+ccosZ=0.

(1)求3；

(2)若AB=CD=2,△48。的面积为2,求AQ.

【解答】解：(1);V2/?cosB+tzcosC+ccos^=0,

V2sirLScos5+sirL4cosC+sinCcosJ=0,

AV2sin5cosB+sin(J+C)=0,

/.企sin/?cos8+sin8=0,

V0<B<n,

，sin5#0,

V2

cosB=­

第17页共22页

(2),••△48C的面积S=2,

.1.37r

S=^^sin-=2,

即a=2或，

.\AC=Vc2+a2-2accosB=2A/5,

.•.c°sNC”=弯竽=等

2x2x2芯5

又平分N8/D,

20+力。2-42V5

cosZCAD=

2x2追x4D丁

：.AD=4.

19.(12分)如图，圆柱。01的轴截面是一个边长为2的正方形，点。为棱881

的中点，G为弧点51上一点,且NCiOi5i=不

(1)求三棱锥D-C\OO\的体积；

(2)求二面角C\-OD-0\的余弦值.

【解答】解：⑴过C1作CiEJ_Oi8i交/出于点E,因为0£=。向=1,“1。出=等

所以△0iG8i为正三角形，所以E为Oi8i中点，即gE=字，

又因为平面平面/18C1，面/88/门面小81cl=381,C\ELA\B\,CiEu面

A\B\C\,

所以GE_L面小5184,即CiE_L面。

因为。为的中点，所以。1。=。。=/，又0|。=2,

即。1。2+0£(2=00]2,即/。1。。=今则△0]。。的面积为1,

^D-C1OO1=Vci-DOOi-J5ADOIO-C】E=IX1X-y-=学

(2)因为在圆柱。。1中，轴截面是正方形，取弧48的中点C,

第18页共22页

所以OC,OB,OOi两两垂直，以OC,0B,。。1为X轴，y轴，z轴正方向建立空间直角

坐标系，如图所示.

由题意知O(0,0,0),D(0,1,1),Ai(0,-1,2),的(亨，2),

OD=(0,1,1),OCj=(亨，2),

设平面的法向量元=(x,y,z),

则卜个=亭x+S+2z=°，

(n•。。=y+z=0

取y=l,则z=-l,x=V3,则五=(B,1,-1),

平面0。。1的法向量可取R=(1,0,0)

所以cosvil'稽＞=萧篇=悬=争’

设二面角C1-。1为。，则。为锐角，

所以cos。=Icosa,R)|=

V15

所以二面角C「OD-Oi的余弦值为一丁.

20.(12分)漳州市某路口用停车信号管理，在某日9：00后的一分钟内有15辆车到达路

口,到达的时间如下(以秒作单位)：1,4,7,10,14,17,20,22,25,28,30,33,

第19页共22页

36,38,41.记％=1,2,3,15,A(D表示第A辆车到达路口的时间，W(D表

示第左辆车在路口的等待时间，且"'(1)=0,%(汁1)=加"{0,W(/)+A(/)-A

(/+1)+3},(i=l,2,•••,14),记b],"表示a,b中的较大者.

(1)从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；

(2)记这15辆车在路口等待时间的平均值为W,现从这15辆车中随机抽取1辆，记f

=W(k)-W,求?的分布列和数学期望；

(3)通过调查，在该日10：00后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：

1,4,10,14,15,16,17,18,19,21,25,28,30,32,38.现甲驾驶车辆欲在9：

00后一分钟内或10：00后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较9：00和

10：00后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.

【解答】解：(1)这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，记“两辆车到达路

髭2

口的时间均在15秒以内”为事件4则P(4)=丹=余，

C15

2

所以从这15辆车中任取2辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为五;

(2)一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为：0,0,0,0,0,0,0,I,1,1,

2,2,2,3,3,

i7771+1+1+2+2+2+3+31

则miW=--------正--------=b

所以S的可能值为-I，0,I,2,

731312

产聂=7)=记，P(S=°)=正=亏，尸(S=l)=记=手尸4=2)=正,

所以t的分布列为：

-1012

P7112

155515

7117

所以-1x+0x-=-+1x-=-4-2x-z-q=0；

JLOJJXJ

(3)10：00后的1分钟内这15辆车在路口等待的时间分别为：0,0,0,0,2,4,6,

8,10,11,10,10,11,12,9,

因为9：00后的1分钟内15辆车在路口等待的时间之和为15,

设10：00后的1分钟内的15辆车在路口等待的时间之和为X,

X

贝Ij2+4+6+8+10+11+10+10+11+12+9>15,所以<>1,

第20页共22页

所以