2017-2021北京初三（上）期中数学汇编：圆周角

16/162017-2021北京初三（上）期中数学汇编圆周角一、单选题1．（2021·北京海淀·九年级期中）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2020·北京丰台·九年级期中）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（

）A． B． C． D．3．（2017·北京海淀·九年级期中）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（）A．35° B．55° C．65° D．70°4．（2019·北京朝阳·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，阴影部分图形的面积为（

）A．4π B．3π C．2π D．π5．（2021·北京大兴·九年级期中）如图，点P为⊙O外一点，点A、B在圆上，PA，PB交优弧AB于点C、D，若∠AOB=60°，则判断∠APB大小正确的是（

）A．∠APB=30° B．∠APB>30° C．∠APB<30° D．不能确定6．（2019·北京朝阳·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（

）A．29° B．31° C．59° D．62°二、填空题7．（2018·北京海淀·九年级期中）如图，⊙O的动弦，相交于点，且，．在①，②，③中，一定成立的是____________（填序号）．8．（2021·北京大兴·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=30°，则∠A的度数等于____．9．（2019·北京朝阳·九年级期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB＝∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB＝∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是_____；（2）∠APB＝∠ACB的依据是_____．10．（2021·北京大兴·九年级期中）如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC=37°，∠CAE=31°，则∠APB的度数为_____．三、解答题11．（2021·北京海淀·九年级期中）已知：，是直线上的两点．求作：△ABC，使得点在直线上方，且．作法：①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；②以点为圆心，长为半径画圆；③在劣弧上任取一点（不与A，B重合），连接，．就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．∵，∴是等边三角形．∴．∵，，在⊙上，∴（_____________）（填推理的依据）．∴．∵四边形内接于⊙，∴（_____________）（填推理的依据）．∴．12．（2020·北京丰台·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若DE=，，∠BAC=60°，求⊙O的半径．13．（2020·北京丰台·九年级期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：．求作：边上的高．作法：如图，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线，交于点，则直线是线段的线；③以为圆心，为半径作，与的延长线交于点，连接，线段即为所作的高．（1）补全尺规作图并填空﹔（2）判断为高的依据是．14．（2019·北京朝阳·九年级期中）如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是．（2）按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值．x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11（3）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并面出函数y1，y2的图象．（4）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．15．（2019·北京朝阳·九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．16．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证：.17．（2017·北京海淀·九年级期中）如图，在⊙中，.求证.

参考答案1．D【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解．【详解】解：∵是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵，∴∠A=40°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．2．C【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．【详解】∵AC=AC，∴∠D=∠B，∵∠BAC=∠D，∴∠B=∠BAC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直径，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B．3．B【分析】根据“同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可.【详解】∵∠AOB与∠C是同弧所对的圆心角与圆周角，∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝55°．故选：B．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理及等腰三角形的性质是关键.4．C【分析】先求出△BOC是等边三角形，再根据垂径定理及圆周角定理得到∠CBO＝∠BOD，由S△BCD＝S△BCO将阴影部分面积转化为S扇形OBC，代入数值求解即可.【详解】解：连接BC，OD，设CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝6，∴＝，CE＝ED＝3，∴∠BOC＝∠BOD＝60°，EO＝，OC＝2，∴∠CBO＝∠BOD，∴BC∥OD，∴S△BCD＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝2π．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、圆周角定理及勾股定理，将阴影部分面积转化为扇形面积是解题关键.5．C【分析】连接BC，已知∠AOB=60°，∠AOB与∠ACB为优弧AB所对的圆心角和圆周角，利用圆周角定理求得∠ACB，再利用三角形外角的性质得出答案即可．【详解】如图，∵∠AOB与∠ACB为优弧AB所对的圆心角和圆周角，∴∠ACB=∠AOB=×60°=30°，∵∠ACB是△PBC的外角，∴∠APB＜∠ACB=30°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理的运用，三角形外角的性质，掌握同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系是解决问题关键．6．B【详解】∵AB是O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=59°，∴∠A=90°−∠ABD=31°，∴∠C=∠A=31°故选B.7．①③【分析】根据AB=CD证明,得∠ABC=∠BCD,再根据圆周角定理及推论即可得出结论.【详解】解:∵AB=CD,∴,∴,即,∴∠ABC=∠BCD=∠BOD,∴∠BED=∠ABC+∠BCD=2×∠BOD=∠BOD,∵,∴,故①正确;②无法证明;∵∠ABC=∠BOD,∴∠ABC=,故③成立,综上,答案为①③.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．60º【分析】根据等腰三角形的性质由OB=OC得∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和定理计算出∠BOC=120°，然后根据圆周角定理求解．【详解】∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠BOC=180°−30°−30°=120°∴∠A=∠BOC=60°.【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理的用法.9．

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换

同弧所对的圆周角相等【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】（1）如图2中，∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），∴OA=OB=OC（等量代换）故答案是：（2）∵，∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．故答案是：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等和等量代换；（2）同弧所对的圆周角相等．【点睛】考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质．10．99°##90度【分析】由∠ACB为△ACE的外角，求得∠ACE=∠A+∠AEC，由圆周角定理，得∠ADB=∠ACB，根据三角形外角定理即可求得答案．【详解】解：∵∠ACB为△ACE的外角，∴∠ACE=∠A+∠AEC∵∠AEC=37°，∠CAE=31°，∴∠ACE=68°．由圆周角定理，得∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=68°，∴∠APB=∠A+∠ADB=31°+68°=99°，故答案为：99°．11．（1）见解析；（2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；（2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得．【详解】解：（1）如下图即为所求．（2）证明：如图，在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．∵，∴是等边三角形．∴．∵，，在⊙上，∴（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）．∴．∵四边形内接于⊙，∴（圆的内接四边形对角互补）．∴．故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAE，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，由垂直的定义得到∠AEP=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAE=30°，推出AB=2BD，设BD=x，则AB=2x，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵AC⊥PD，∴∠AEP=90°，∴∠ODP=∠AEP=90°，∴OD⊥PE，∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∵AC⊥PE，DE=，∴AD=2DE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AB=2BD，设BD=x，则AB=2x，∵AD2+BD2=AB2，∴∴BD=2，AB=4，∴AO=2，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（1）画图见解析，垂直平分；（2）直径所对的圆周角是直角【分析】（1）利用基本作图可判断PQ垂直平分AC；（2）根据圆周角定理求解．【详解】解：②作直线，交于点，则直线是线段的垂直平分线；（1）如图，AD为所作；（2）∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC．故答案为垂直平分线；直径所对的圆周角为直角．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．14．（1）0≤x≤6；（2）3；（3）详见解析；（4）3或4.91或5.77．【分析】（1）由AB＝6可得0≤x≤6；（2）PA＝6时,通过表格可得AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，由勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，所以AB是直径，当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3；（3）根据表格中的数据，描点连线画图即可；（4）当PA＝PC或PA＝AC或PC＝AC时，根据函数图像可得x即AP的长.【详解】解：（1）∵AB＝6cm，∴自变量x的取值范围是0≤x≤6；故答案为0≤x