2012-2021北京重点校高二（上）期末数学汇编：椭圆

23/232012-2021北京重点校高二（上）期末数学汇编椭圆一、单选题1．（2019·北京·101中学高二期末）若椭圆+=1（a>b>0）的焦距为2，且其离心率为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．2．（2019·北京·101中学高二期末）已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A． B．C． D．3．（2019·北京·101中学高二期末）椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个锐二面角，使点A1在平面B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（）A．30° B．45°C．60° D．以上答案均不正确4．（2019·北京师大附中高二期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．（2019·北京师大附中高二期末）已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A． B． C． D．6．（2012·北京四中高二期末（文））已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2 B．6 C．4 D．127．（2018·北京·首都师范大学附属中学高二期末）已知点是椭圆的一个焦点,且椭圆经过点那么A．3 B．6C．9 D．128．（2018·北京八中高二期末）方程的曲线为椭圆,实数的取值范围是A． B． C． D．9．（2018·北京市十一学校高二期末）已知为坐标原点,椭圆上的点到左焦点的距离为,为的中点,则的值等于A． B． C． D．10．（2018·北京八中高二期末）若椭圆和椭圆的焦点相同且.给出如下四个结论:①椭圆和椭圆一定没有公共点;②;③;④.其中,所有正确结论的序号是A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③11．（2018·北京市十一学校高二期末）已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是A． B． C． D．12．（2021·北京·101中学高二期末）已知椭圆：，点，，分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点，若，则椭圆的离心率是A． B． C． D．二、填空题13．（2019·北京师大附中高二期末）设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则△的面积等于___________.14．（2018·北京·101中学高二期末（文））若椭圆（m<4）的离心率为，则m=________．15．（2012·北京四中高二期末（文））已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．三、解答题16．（2019·北京师大附中高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线于E、Ｆ两点，当点P在椭圆C上运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.17．（2019·北京师大附中高二期末）已知点和椭圆.（1）设椭圆的两个焦点分别为，试求△的周长；（2）若直线与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线与x轴分别交于M，N两点，求证：.18．（2019·北京·101中学高二期末）已知椭圆W：+=1（a>b>0），直线：=与轴，轴的交点分别是椭圆W的焦点与顶点．（1）求椭圆W的方程；（2）设直线m：=kx（k≠0）与椭圆W交于P，Q两点，过点P（，）作PC⊥轴，垂足为点C，直线交椭圆w于另一点R．①求△PCQ面积的最大值；②求出∠QPR的大小．19．（2018·北京·101中学高二期末（理））已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）当时，求的面积；（3）当为钝角时，求点横坐标的取值范围.20．（2020·北京·首都师范大学附属中学高二期末）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（2018·北京师大附中高二期末（理））已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.22．（2018·北京市十一学校高二期末）已知椭圆的一个顶点为,半焦距为,离心率,又直线交椭圆于,两点,且为中点.（1）求椭圆的标准方程;（2）若,求弦的长;（3）若点恰好平分弦,求实数;（4）若满足,求实数的取值范围并求的值;（5）设圆与椭圆相交于点与点,求的最小值,并求此时圆的方程;（6）若直线是圆的切线,证明的大小为定值.23．（2018·北京·101中学高二期末（文））已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．（）求圆和椭圆的方程．（）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．24．（2018·北京·101中学高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为．（）求椭圆的方程．（）设点为坐标原点，过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．25．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.26．（2021·北京·人大附中高二期末）已知椭圆过点，且离心率为．(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．27．（2018·北京八中高二期末）如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于,两点．当直线经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为.（Ⅰ）求该椭圆的离心率;（Ⅱ）设线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点．记的面积为,（为原点）的面积为,求的取值范围.28．（2018·北京·101中学高二期末（理））已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.

参考答案1．B【分析】计算出即可.【详解】由题意可知：，即，由椭圆的离心率，解得：，∴椭圆的标准方程：故选：B2．D【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程.【详解】设动圆的圆心，半径为圆与圆:内切，与C2：外切.所以.由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.则，所以动圆的圆心的轨迹方程为：故选：D【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.3．A【分析】画出满足条件的图形，由可得出为所求二面角的平面角，通过解三角形即可求出二面角.【详解】由椭圆得长轴，短轴.将坐标平面沿y轴折成一个锐二面角，如图.设点A1在平面上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为.则平面.所以.由,所以为所求二面角的平面角.在中，所以.由条件二面角为锐角，所以故选：A【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题.4．A【解析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出，的关系是解决本题的关键．5．C【详解】由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝．6．C【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，由椭圆定义得，所以的周长故选：C7．A【详解】∵点是椭圆的一个焦点∴①∵椭圆经过点∴②∴由①②得，即.∵∴故选A.8．D【详解】方程的曲线为椭圆,则有：，解得.故选D.9．A【详解】∵椭圆的长轴长为，∴，是的中位线，∴，故选A.10．B【详解】由椭圆共焦点可知：.因为且，所以由椭圆封闭性可知：两椭圆无公共点，故①项正确；若，，有，故②项错误；因为，所以，故③项正确；因为，所以，故，故④项正确.综上所述：正确的结论为①③④.故选B.点睛：在椭圆中，长轴长为，短轴长为，焦距为.比较大小常用的方法为作差法，也可以综合法和分析法，对于小题还可以用特值法.11．B【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，即实数的取值范围是，故选B.12．A【详解】解：如图所示，tan∠NMF=,tan∠NFO=，∵∠MFN=∠NMF+90°,∴∠NFO=180°−MFN=90°−∠NMF，即，,则b2=a2−c2=ac，∴e2+e−1=0,得.本题选择A选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．13．4【分析】由椭圆的定义有,结合可得,,又,则三角形面积可求.【详解】由椭圆有.由椭圆的定义有，又所以,,又.在△中,所以△为直角三角形,△的面积为故答案为:4【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.14．3【详解】∵椭圆的方程为：(m<4)，即0<m<4，则椭圆的焦点在x轴，，解得m=3；故答案为3.15．【详解】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的2倍，所以，则，所以，解得，故，所以椭圆的标准方程为16．（1）；（2）为定值1【分析】(1)由题意可知,,结合，可求出椭圆方程.(2)设,则直线AP的方程为，求出，同理得出，将点在椭圆上这个条件代入，可得到答案.【详解】（1）由题意可知又因为且，解得，所以椭圆C的方程为；（2）为定值1.由题意可得：，设，由题意可得：，所以直线AP的方程为，令，则，即；同理：直线BP的方程为，令，则，即；所以而，即，代入上式得，所以为定值1.【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题，考查运算能力，属于难题.17．（1）；（2）见解析【分析】(1)由椭圆的定义可得，则三角形的周长可求.(2)要证，则需证明以∠PMN＝∠PNM，设直线PA与PB的斜率分别为，只需证明，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可证明结论.【详解】（1）由题意可知，，所以.因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得，所以△的周长为.（2）由得.因为直线与椭圆C有两个交点，并注意到直线不过点P，所以解得或.设，则，.显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为，则.因为，所以∠PMN＝∠PNM.所以.【点睛】本题考查椭圆的定义的运用，考查直线与椭圆的关系和几何条件的转化，考查运算能力，属于难题.18．（1）；（2）①，②90.【分析】（1）由题意求出c，b，进而得到椭圆W的方程；（2）①设P（，），则Q（，），C（，0），可知S，利用点在椭圆上及均值不等式即可得到△PCQ面积的最大值；②设P（，），则Q（，），C（，0），k=，直线QR的斜率，直线QR的方程：（）与椭圆方程联立可得（2+）2－2，求得R点坐标，进而得到即可得到结果.【详解】（1）直线：与轴，轴的交点分别（，0），（0，），可知c=，，椭圆W的方程．（2）①设P（，），则Q（，），C（，0），可知S，有已知可知，根据重要不等式得，S，当且仅当或时，面积取得最大值．②设P（，），则Q（，），C（，0），k=．直线QR的斜率．可得直线QR的方程：（），设点R（，），联立消去得（2+）2－2，则，解得，所以，点R（，）．因为，所以，所以∠QPR=90°．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，三角形面积的最值及角的大小，考查推理能力与计算能力，属于中档题.19．（1）（2）（3）【分析】（1）由标准方程求出，再得，然后可得离心率；（2）由椭圆定义和余弦定理可求得，从而得三角形面积；（3）设，由可得的范围．【详解】解：（1）因为，所以，所以离心率为.（2）由椭圆的定义得：①且，在中，由余弦定理得：②由①②得，所以.（3）设点，所以(〖PF由已知为钝角，得(PF_1)所以，③又由椭圆的方程得，④联合③④得，解得所以点的横坐标的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，考查椭圆定义的应用，在涉及到椭圆上的点到焦点距离时常常要利用椭圆的定义解决问题．椭圆上的点对于两焦点的张角为钝角时，对应的条件是，若为锐角，条件中还需去掉两端点．20．（I）（II）存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.【详解】试题分析：（1）利用直接法设，利用直线与的斜率之积等于，得到关于的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设，点的坐标分别为三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得和的面积，利用，进而得到关于的方程，求得点的坐标为．试题解析：（1）点的轨迹方程为；5分（2）设点的坐标为，点的坐标分别为，则直线的方程为，直线的方程为．令，得，于是的面积，8分直线的方程为，，点到直线的距离，于是的面积，10分当时，得，又，所以，解得，因为，所以y_0=±√故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为．12分考点：1．动点的轨迹方程；2．点到直线的距离公式和三角形的面积公式．21．（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【详解】分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何性质求椭圆的焦距及离心率.（Ⅱ）设（，），先求出四边形面积的表达式，再利用基本不等式求它的最大值.（Ⅰ）在椭圆：中，，，所以，故椭圆的焦距为，离心率．（Ⅱ）设（，），则，故．所以，所以，．又，，故．因此．由，得，即，所以，当且仅当，即，时等号成立.点睛：本题的关键在于求此的表达式和化简，由于四边形是不规则的图形，所以用割补法求其面积，其面积求出来之后，又要利用已知条件将其化简为，再利用基本不等式求其最小值.22．（1）；（2）；（3）,；（4）,；（5）；（6）见解析.【详解】试题分析：（1）根据题意得方程组，解出方程组得椭圆方程；（2）联立方程组，解出即可得交点坐标，进而得弦长；（3）利用“点差法”可得斜率，根据点在直线上故而可得的值；（4）在（3）式的基础上等号两边同时除以，即可得的值，联立直线与椭圆的方程，根据可得，结合韦达定理可得点坐标，根据,所以，化简可得，两者结合即可得结果；（5）根据点与点关于轴对称，设出的坐标，再利用点在椭圆上，利用数量积的坐标表达式得出的表达式，最后利用二次函数的性质求其最小值及求此时圆的方程；

（6）利用（4）中的结果结合韦达定理可得OM∙ON=5m2-4k2-44k2+1，根据直线与圆相切可得，故而OM⋅ON=0，即可得结果.试题解析：(1)根据题意:,解得,所以椭圆的标准方程为;（2）联立直线方程和椭圆方程:,整理得:,解得或,所以,,则.（3）恰好平分弦,所以,在椭圆上,则,上下相减得,即,即,则,即,点在直线上,所以直线,整理得,所以,综上所述:,.（4）由（3）知,等号两边同时除以,得,所以.联立直线方程和椭圆方程:,整理得:,,解得,则,所以,则,因为,所以,则,化简得,则,又,所以,解得,综上所述:,.（5）设,,则,所以,点与点在椭圆上:,所以,当时,取得最小值,此时,,综上所述:的最小值为,此时圆的方程.（6）由（4）得且,所以,,所以直线是圆的切线,所以点到直线距离为,即,整理得,所以,即的大小为.23．（）；；（）见解析．【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；（2）设出，，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量QM,QN，并计算数量积QM⋅QN，结果为0，可得试题解析：（）依题意，得，，∴圆方程，椭圆方程．（）设，，∴，，，∵方程，令时，，方程为，令得，∴，，∴，∴．点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：（1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为；（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；（3）利用韦达定理得，，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）．24．（）．（）．【详解】试题分析：（1）由离心率和焦点坐标可列出的两个方程，结合可求得；（2）直线斜率不为，设方程为，设，，把直线方程代入椭圆方程由韦达定理可得，而OM⊥ON可得，代入韦达定理的结论可求得参数．试题解析：（），得，，∴椭圆方程为．（）依题意，直线斜率不为，设方程为，设，，联立：，消，∵相交，∴，，，∵，∴，∴，，∴，直线方程为．25．（Ⅰ）；（Ⅱ）结论是：，证明见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的方程求得的值，即可求解椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）设直线：，，，用直线的方程和椭圆的方程联立方程组，得到，，则可计算得出，进而得到，得点在以为直径的圆内，所以.试题解析：（Ⅰ）：，故，，，有，.椭圆的短轴长为，离心率为（Ⅱ）结论是：.设直线：，，，整理得：故，故，即点在以为直径的圆内，故点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用等问题，对于直线和圆锥曲线的位置关系，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易难点在与转换为点与圆的位置关系，从而得到结论，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.26．(1)(2)，或【详解】试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点，可得，再由离心率为结合，可求得，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，则，，由得，由韦达定理、弦长公式结合，可得，解方程即可求得的值.试题解析：（Ⅰ）由题意得，，所以．因为，所以，所以椭