傅立叶变换的物理意义

本文格式为Word版，下载可任意编辑——傅立叶变换的物理意义傅立叶变换的物理意义转傅立叶变换的物理意义(转)2022-09-1416:52傅立叶变换的物理意义1、为什么要举行傅里叶变换，其物理意义是什么?傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理说明:任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独变更的正弦波信号转换成一个信号。

因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱)，可以利用一些工具对这些频域信号举行处理、加工。结果还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将得志确定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法依旧具有典型的恢复论和分析主义的特征。“任意“的函数通过确定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简朴的函数类:1.傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2.傅立叶变换的逆变换轻易求出,而且形式与正变换分外类似;3.正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简朴的乘积运算,从而供给了计算卷积的一种简朴手段;5.离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于繁杂鼓舞的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.出名的卷积定理指出傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

2、图像傅立叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化强烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低;而对于地表属性变换强烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化强烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有分外明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，那么其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数傅立叶变换以前，图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，那么图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过查看图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?由于实际上对图像举行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的处境下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小(可以这么理解，图像中的低频片面指低梯度的点，高频片面相反)。一般来讲，梯度大那么该点的亮度强，否那么该点亮度弱。这样通过查看傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，假设频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是对比温和的(由于各点与邻域差异都不大，梯度相对较小)，反之，假设频谱图中亮的点数多，那么实际图像确定是尖锐的，边界清晰且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以明显地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分开出有周期性规律的干扰信号，譬如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消释干扰另外我还想说明以下几点:1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵说明:若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心邻近图中阴影区。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质抉择的。同时也说明一股图像能量集中低频区域。

2、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间片面是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大(幅角对比大)傅立叶变换在图像处理中有分外分外的作用。由于不仅傅立叶分析涉及图像处理的好多方面，傅立叶的提升算法，譬如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。

印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用:1.图像巩固与图像去噪绝大片面噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频--噪声;边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来巩固原始图像的边缘;2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量3.图像特征提取:外形特征:傅里叶描述子纹理特征:直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征:将提取的特征值举行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据;常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换;傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续处境下要求原始信号在一个周期内得志十足可积条件。离散处境下，傅里叶变换确定存在。冈萨雷斯幅员像处理里面的解释分外形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长(或频率)来抉择。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,议论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。

傅立叶变换有好多优良的性质。譬如线性，对称性(可以用在计算信号的傅里叶变换里面);时移性:函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱那么保持不变;频移性:函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性(将不同的信号调制到不同的频段上同时传输);卷积定理:时域卷积等于频域乘积;时域乘积等于频域卷积(附加一个系数)。(图像处理里面这个是个重点)信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快;频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小回响了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变片面，而低频分量抉择信号的整体形象。

在图像处理中，频域回响了图像在空域灰度变化强烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘片面是突变片面，变化较快，因此回响在频域上是高频分量;图像的噪声大片面处境下是高频片面;图像平缓变化片面那么为低频分量。也就是说，傅立叶变换供给另外一个角度来查看图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来查看图像的特征。书面一点说就是，傅里叶变换供给了一条从空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言，以下概念分外的重要:图像高频分量:图像突变片面;在某些处境下指图像边缘信息，某些处境下指噪声，更多是两者的混合;低频分量:图像变化平缓的片面，也就是图像轮廓信息高通滤波器:让图像使低频分量抑制，高频分量通过低通滤波器:与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过带通滤波器:使图像在某一片面的频率信息通过，其他过低或过高都抑制还有个带阻滤波器，是带通的反。

模板运算与卷积定理在时域内做模板运算，实际上就是对图像举行卷积。模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，好多图像处理过程，譬如巩固/去噪(这两个分不领会)，边缘检测中普遍用到。根据卷积定理，时域卷积等价与频域乘积。因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。

譬如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器;在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。

图像去噪图像去噪就是压制图像的噪音片面。因此，假设噪音是高频额，从频域的角度来看，就是需要用一个低通滤波器对图像举行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。但是这种处境下往往会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板，高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量，模糊图像边缘的同时也抑制了噪声。还有一种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。由于脉冲点都是突变的点，排序以后输出中值，那么那些最大点和最小点就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差。

椒盐噪声:对于椒盐采用中值滤波可以很好的去除。用均值也可以取得确定的效果，但是会引起边缘的模糊。

高斯白噪声:白噪音在整个频域的都有分布，犹如对比困难。

冈萨雷斯幅员像处理P185:算术均值滤波器和几何均值滤波器(尤其是后者)更适合于处理高斯或者平匀的随机噪声。谐波均值滤波器更适合于处理脉冲噪声。

图像巩固有时候感觉图像巩固与图像去噪是一对冲突的过程，图像巩固经常是需要巩固图像的边缘，以获得更好的显示效果，这就需要增加图像的高频分量。而图像去噪是为了消释图像的噪音，也就是需要抑制高频分量。有时候这两个又是指类似的事情。譬如说，消释噪音的同时图像的显示效果