一元回归分析

一元回归分析第一页，共三十七页，2022年，8月28日在研究实际问题时，往往归结到讨论若干变量之间的关系。变量之间的关系大致上可分作两类，一类是具有确定性关系的函数关系，它的特点是由某些变量的值能确定另外一些变量的值，如两物体之间的引力与两物体之间的距离及两物体的质量的关系就是一种函数关系。人与人之间的吸引力也与很多因素有关：外表，世界观，性格等等。这些因素只能说是对吸引力很有影响，而不能确定吸引力有多大。这类变量之间有非确定性的密切关系称为相关关系。它的特点是由某些变量的值能确定另外一些变量的分布。回归分析是研究相关关系的一种统计方法。第二页，共三十七页，2022年，8月28日一元线性回归数学模型例如：今有某品种大豆脂肪含量X(%)与蛋白质含量Y(%)的测定结果如下表，试分析这些数据蕴含的关系。将每一对观察值在同一直角坐标系中描出，得散点图如右：从散点图看出，与具有线性相关关系。第三页，共三十七页，2022年，8月28日一般地，设随机变量Y与变量X有相关关系，作次独立试验，得n对观测值：用试验数据对作出散点图，若如下图，则显示Y与X有线性关系的趋势。这里，若每一确定的，有数学模型：则称之为一元线性回归模型可知其中是与无关的常数，在回归分析中，我们假定X非随机变量，没有测量误差第四页，共三十七页，2022年，8月28日对每一确定的，建立数学模型：（回归模型）即有（回归方程、经验公式）回归分析的任务是，找出回归方程，并检验方程有效与否，当方程有效时对Y的值作预测与对X作控制。可知严格说是条件数学期望（回归函数）由此得出变量Y与X的近似表达式：第五页，共三十七页，2022年，8月28日最小二乘法考察我们希望求出的能使最小最小二乘估计最小二乘法分别求对的偏导，并令各偏导为零，得方程组可解得：设Y

与X

的一元线性回归方程是第六页，共三十七页，2022年，8月28日设Y与X的一元线性回归方程是可得：如：两个变量，其观测值为若回归方程为，则下列表述正确的是（）（B）回归直线必经过某个点（A）回归直线必不经过点（C）回归直线必不经过点（D）回归直线必经过点第七页，共三十七页，2022年，8月28日设Y与X的一元线性回归方程是可得：将记作记作同理把记作因此^^^第八页，共三十七页，2022年，8月28日例1、为研究一种过敏新药的施药剂量X与过敏症状消除时间Y的相关关系，对10个个体的临床试验数据如下表，试确定其一元线性回归方程。解：所求线性回归方程第九页，共三十七页，2022年，8月28日一般地，对测定出来的数据但变量X与Y是否真有线性相关的关系？用最小二乘法总是可以求出一条回归直线：也就是说回归直线方程有没有意义？有没有效？第十页，共三十七页，2022年，8月28日一元线性回归方程的方差分析（F检验）把Y的观测值的总离差平方和分解成两部分：即：回归平方和剩余平方和反映了自变量X对随机变量Y的影响，反映了试验误差和其它因素对Y的影响。第十一页，共三十七页，2022年，8月28日中，我们就来检验这个假设。若假设H0

：

成立：则若变量X与Y

没有线性关系，即回归方程中记为将的自由度分别记作显然有：第十二页，共三十七页，2022年，8月28日若假设H0

：

成立：则从而统计量对给定的检验水平，H0

的拒绝域为：F右边检验

“拒绝”就是认为回归方程在很大程度上是成立的，是有效的，或说X与Y的线性相关关系是有统计意义的。注意到：回归方程越有效的，SSE就越小，从而F就越大。第十三页，共三十七页，2022年，8月28日总计回归残差F比均方和自由度偏差平方和方差来源B、D、F

一元线性回归的方差分析表——设有n组数据，则下列结论下确的是（）。第十四页，共三十七页，2022年，8月28日例1（续）为研究一种过敏新药的施药剂量X与过敏症状消除时间Y的相关关系，对10个个体的临床试验数据如下表，试确定其一元线性回归方程。设对于给定的X，Y为正态变量，其方差与X无关。解：所求线性回归方程第十五页，共三十七页，2022年，8月28日选用统计量对回归方程作方差分析：检验假设：列出方差分析表：所求线性回归方程解：......第十六页，共三十七页，2022年，8月28日方差分析表方差来源回归剩余总和平方和自由度均方和F值F值临介值由此得：回归方程在检验水平下有效的。第十七页，共三十七页，2022年，8月28日例2、某部门所属10个企业全员劳动生产率与销售利润的调查资料如下：（1）建立销售利润与全员劳动生产率变化的回归直线方程；（2）在显著性水平下，检验回归直线方程是否有意义。第十八页，共三十七页，2022年，8月28日解：^因此回归直线方程为第十九页，共三十七页，2022年，8月28日解：......回归平方和剩余平方和说明在0.05的检验水平下，此回归方程是有意义的。因此回归直线方程为第二十页，共三十七页，2022年，8月28日一元线性回归方程的相关系数R检验令样本相关系数则显然有|R|越接近1，则Q越小，X与Y的线性关系越密切。设H0为X与Y没有线性相关关系的假设，H0的拒绝域为：，（非双边检验）这时认为回归方程很大程度上是成立的，是有效的，或者说X与Y的线性相关关系是有统计意义的。对给定的检验水平，第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日又因为与同号，当R>0时称X与Y

正相关，当R<0时称X与Y

负相关。F检验与相关系数检验的联系：F越大，则|R|越接近1。一元线性回归方程的相关系数R检验

另外，有时X与Y未必呈现线性相关的关系，但可作适当的变换化为线性回归问题。对X与Y关系的不同看法也许会得到多个不同的回归方程，这时可通过计算线性相关系数的办法求得最优者，系数越大者越优。第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日如果实测数据的散点图大致围绕下列某一曲线分布，可采取下列与之相应的变换化为线性回归问题。1.双曲线令则得2.幂函数令则得可线性化的一元非线性回归分析第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日3.指数函数令则得4.负指数函数令则得可线性化的一元非线性回归分析第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日5.对数函数令则得6.S型（Logistic）曲线令已知则得已知令则有第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日设Y与X的一元线性回归方程是由的取值状态估计的取值范围谓之预测，由对的取值限制来确定的取值范围谓之控制。1.点预测对给定的由算出的值为的点预测值。2.区间预测对给定的由求出以置信度的取值区间（置信区间）称作的预测区间。一元线性回归分析之预测与控制第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日考察统计量：2.区间预测对给定的由求出以置信度的取值区间（置信区间）称作的预测区间。第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日对给定的置信度，得的预测区间：即：其中的均值的置信区间：其中实用中，当n较大且时，预测区间近似地表为：或利用软件找出预测区间。其中第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日例3、对例1，当时，找出随机变量Y的置信度为95%的预测区间。解：Y的置信度为95%的近似预测区间为：由线性回归方程得Y的点预测为（所求线性回归方程）第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日3.的控制对给定的置信度，若要使令，解得则正是所应被控制的范围。一元线性回归分析之预测与控制由的近似预测区间：令，解得一般地，要求的控制区间长度第三十页，共三十七页，2022年，8月28日例4、对例1，对给定的置信度为95%，要求控制试找出的控制范围。解：令，解得令，解得所以的控制范围是令，解得由的近似预测区间：令，解得第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日再见！作业题P2221、2第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日P2221、所求线性回归方程对线性回归方程作方差分析，检验假设：第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日方差分析表总计回归残差F值均方和自由度偏差平方和来源F值临介值由此得：回归方程在检验