2022全国高考真题数学汇编：平面向量及其应用

9/92022全国高考真题数学汇编平面向量及其应用一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．62．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．24．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．6．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．7．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．8．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．9．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．10．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________三、解答题11．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.12．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．13．（2022·北京·高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．14．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：15．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．16．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．

参考答案1．C【解析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C2．D【解析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D3．C【解析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.4．B【解析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．5．.【解析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以．故答案为：.6．##【解析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.7．【解析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．8．##【解析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.9．【解析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．10．##【解析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圆半径为.故答案为:.11．(1)(2)(3)【解析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．（1）因为，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，故．12．(1)(2)【解析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.13．(1)(2)【解析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.(1)解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.(2)解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.14．(1)；(2)证明见解析．【解析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．15．(1)；(2)．【解析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．(1)由于，，则．因为，由正弦定理知，则．(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．16．(1)；(2)．【解析】（1）根据二倍角公