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文档简介
9/92022全国高考真题数学汇编平面向量及其应用一、单选题1.(2022·全国·高考真题)已知向量,若,则(
)A. B. C.5 D.62.(2022·全国·高考真题(文))已知向量,则(
)A.2 B.3 C.4 D.53.(2022·全国·高考真题(理))已知向量满足,则(
)A. B. C.1 D.24.(2022·全国·高考真题)在中,点D在边AB上,.记,则(
)A. B. C. D.二、填空题5.(2022·浙江·高考真题)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边,则该三角形的面积___________.6.(2022·全国·高考真题(理))已知中,点D在边BC上,.当取得最小值时,________.7.(2022·浙江·高考真题)设点P在单位圆的内接正八边形的边上,则的取值范围是_______.8.(2022·全国·高考真题(文))已知向量.若,则______________.9.(2022·全国·高考真题(理))设向量,的夹角的余弦值为,且,,则_________.10.(2022·上海·高考真题)在△ABC中,,,,则△ABC的外接圆半径为________三、解答题11.(2022·天津·高考真题)在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)求的值;(3)求的值.12.(2022·全国·高考真题)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,已知.(1)求的面积;(2)若,求b.13.(2022·北京·高考真题)在中,.(1)求;(2)若,且的面积为,求的周长.14.(2022·全国·高考真题(文))记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c﹐已知.(1)若,求C;(2)证明:15.(2022·浙江·高考真题)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若,求的面积.16.(2022·全国·高考真题)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)若,求B;(2)求的最小值.
参考答案1.C【解析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解:,,即,解得,故选:C2.D【解析】先求得,然后求得.【详解】因为,所以.故选:D3.C【解析】根据给定模长,利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解:∵,又∵∴9,∴故选:C.4.B【解析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.【详解】因为点D在边AB上,,所以,即,所以.故选:B.5..【解析】根据题中所给的公式代值解出.【详解】因为,所以.故答案为:.6.##【解析】设,利用余弦定理表示出后,结合基本不等式即可得解.【详解】设,则在中,,在中,,所以,当且仅当即时,等号成立,所以当取最小值时,.故答案为:.7.【解析】根据正八边形的结构特征,分别以圆心为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,即可求出各顶点的坐标,设,再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到,然后利用即可解出.【详解】以圆心为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示:则,,设,于是,因为,所以,故的取值范围是.故答案为:.8.##【解析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知:,解得.故答案为:.9.【解析】设与的夹角为,依题意可得,再根据数量积的定义求出,最后根据数量积的运算律计算可得.【详解】解:设与的夹角为,因为与的夹角的余弦值为,即,又,,所以,所以.故答案为:.10.##【解析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理:,得,由正弦定理△ABC的外接圆半径为.故答案为:.11.(1)(2)(3)【解析】(1)根据余弦定理以及解方程组即可求出;(2)由(1)可求出,再根据正弦定理即可解出;(3)先根据二倍角公式求出,再根据两角差的正弦公式即可求出.(1)因为,即,而,代入得,解得:.(2)由(1)可求出,而,所以,又,所以.(3)因为,所以,故,又,所以,,而,所以,故.12.(1)(2)【解析】(1)先表示出,再由求得,结合余弦定理及平方关系求得,再由面积公式求解即可;(2)由正弦定理得,即可求解.(1)由题意得,则,即,由余弦定理得,整理得,则,又,则,,则;(2)由正弦定理得:,则,则,.13.(1)(2)【解析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得的值,结合角的取值范围可求得角的值;(2)利用三角形的面积公式可求得的值,由余弦定理可求得的值,即可求得的周长.(1)解:因为,则,由已知可得,可得,因此,.(2)解:由三角形的面积公式可得,解得.由余弦定理可得,,所以,的周长为.14.(1);(2)证明见解析.【解析】(1)根据题意可得,,再结合三角形内角和定理即可解出;(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得,再根据正弦定理,余弦定理化简即可证出.(1)由,可得,,而,所以,即有,而,显然,所以,,而,,所以.(2)由可得,,再由正弦定理可得,,然后根据余弦定理可知,,化简得:,故原等式成立.15.(1);(2).【解析】(1)先由平方关系求出,再根据正弦定理即可解出;(2)根据余弦定理的推论以及可解出,即可由三角形面积公式求出面积.(1)由于,,则.因为,由正弦定理知,则.(2)因为,由余弦定理,得,即,解得,而,,所以的面积.16.(1);(2).【解析】(1)根据二倍角公
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