二次函数压轴题最短路径问题

-.【方法说明】“和最小〞问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小〔将军饮马问题在直线＋PB最小．A

上找一点使得＋小．当点P为直线与直线lABB

的交点时，l

lB'【方法归纳】①如下图，在直线l找一点B使得线段AB小．过点A作⊥，垂足为，那么线段即为所求．②如下图，在直线l

l上找一点使得＋小．过点作关于直线

l的对称点′′与直线

交于点，此时＋最小，那么点即为所求．A

AB

Bl

lB'③如下图，在AOB的边BO分别找一点得＋＋PD最小．过点分别作关于，BO对称点，，连接，并与，BO分别交于点，，此时＋＋最小，那么点，D即为所求．P

E

D

F④如下图，在∠AOB的边，上分别找一点，F使得＋＋CF小．分别过点，D作关于，BO的对称点′，′，连接′′，并与，分别交于点，，此时＋＋最小，那么点，F即为所求．D

E

DB

F

C'-

⑤如下图，长度不变的线段CD直线l

-上运动，在直线l

.上找到使得＋BD最小的的位置．分别过点D′′′与′交于点′，再作点B关于直线l

的对称点′，连接′′与直线

交于点′，此时点′即为所求．

A'D

l

D

lB'1⑥如下图，在平面直角坐标系中，点为抛物线＝〕上的一点，点〔0〕在y4

轴正半轴．点在什么位置时＋PB最小？过点B作直线：＝－1的垂线段′，′与抛物线交于点′，此时＋PB最小，那么点即为所求．

B

P

A

P'HH'

O

xl【典型例题】1次函数＝－2＋．〔1〕当二次函数的图象经过坐标原点〔0〕时，求二次函数的解析式；〔2〕如图，当＝2时，该抛物线与y

轴交于点，顶点为，求、点的坐标；〔3〕在〕的条件下

轴上是否存在一点，使得＋最短？假设点存在，求出P点的坐标；假设点不存在，请说明理由．xD-

-.【思路点拨】〔1〕由二次函数的图象经过坐标原点〔0求出m的值即可；〔2〕把＝2代入求出二次函数解析式，令＝0，求出

的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；〔3〕根据当、、D线时根据“两点之间，线段最短〞得出＋最短，求出CD的直线解析式，令，求出x值，即可得出P的坐标．【解题过程】解次函数的图象经过坐标原点，0∴代入二次函数＝－2＋－1，得出：－1＝0，解得＝±1∴二次函数的解析式为：＝

或＝＋2；〔2〕∵＝2，∴二次函数＝－2＋－1得：＝－4＝〔－2〕－1，∴抛物线的顶点为：〔2，当＝0时，＝3，∴点坐标为，3－1〔3〕当、、线时PD最短，【方法一】∵〔0－1设直线CD解析式为＝＋3，代入得：2＋3＝－1，∴＝－2，∴＝－2＋3，33当＝0时，－2＋3＝0，解得＝，∴＋最短时，P点的坐标为：〔，022【方法二】过点⊥

轴于点，∵∥，∴

POCO33＝，∴＝，解得：＝，DECE2423∴＋最短时，点的坐标为：〔，02P

xE

D12图，抛物线＝＋﹣2与x2

轴交于，B点，与y

轴交于点，且〔﹣1，0〔1〕求抛物线的解析式及顶点坐标；〔2〕判断△的形状，证明你的结论；〔3〕点〔，0〕是轴上的一个动点，当＋值最小时，求m的值．-

-.yxO

D【思路点拨】〔1〕把点A的坐标代入求出的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点坐标；〔2发现△ABC是直角三角形通过勾股定理的逆定理证明物线的解析式求出点，的坐标，再得出，，长度，易得＋＝，得出△ABC是直角三角形；〔3〕作出点关于x

轴的对称点′，连接x

轴于点，根据“两点之间，线段最短〞可知＋值最小．求出直线解析式，即可得出点坐标，进而求出值．【解题过程】113解〔－1〕在抛物线＝＋－2上，∴×〔＋×〔〕＝0，解得＝－，222131325325∴抛物线的解析式为＝－－2＝〔－〕，∴顶点坐标为〔，－2222828〔2〕当＝0时＝－2，∴〔0，．13当＝0时，－2＝0∴22

＝－1，

＝4，∴，0，＝4，＝5．∵＝25，＝＋＝20，∴＋＝．∴△是直角三角形．〔3〕作出点C于x连接′x

轴的对称点′，那么′，2，轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知＋值最小．【方法一】＝2＝241设直线′解析式为＝＋，那么，解得：．∴＝－＋2．＋＝－＝－12812412424∴当＝0时，－＝0，＝．∴＝．124141【方法二】设抛物线的对称轴交

轴于点．∵∥

轴，∴∠′＝∠，∠′＝∠，∴△′∽△．′m224∴＝，∴＝，∴＝．ED32541－28-

-.yC'M

E

xO

D3函数＝﹣3〔≠0〕图象的顶点为，与x

轴交于、两点〔在点右侧、关于直线：＝

3＋3对称．3〔1〕求、B两点坐标，并证明点在直线l〔2〕求二次函数解析式；

上；〔3〕过点作直线∥交直线l

于点，、别为直线和直线

上的两个动点，连接、、，求＋＋和的最小值．H

xB【思路点拨】〔1次函数＝≠0只有一个未知参数＝0出方程〔≠0即可得到点，的坐标．把点A的坐标代入直线l

的解析式即可判断是否在直线上；〔2〕根据点、B关于过点的直线：＝

3＋3对称，得出＝，过顶点作⊥AB交31AB点，得＝＝2，利用勾股定理求出HC长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式，2求出，即可得到二次函数解析式；〔3〕直线∥易得直线BK解析式，联立直线l的解析式方程组，即可求出K的坐标．因为点，关于直线AK称＝根点之间最短〞得出＋最小值是点关于直线的对称点，连接，交直线于，所以＝，易得＋MK的最小值为-

-.，即BQ的长是＋＋的最小值，求出QB的长即可．【解题过程】解意，得＋2＝0〔≠0x＝﹣3，x，∵点在点右侧，∴A点坐标为〔点坐标为〔1，0∵直线：＝

33＋3，当＝﹣3时，＝×(－3)＋3，∴点A在直线l33

上．〔2〕∵点、关于过点的直线：＝

3＋3对称，∴＝＝4，31过顶点⊥ABAB于C，那么＝＝2，3，2∴顶点〔－1，23函数解析式，解得＝－

3，2∴二次函数解析式为＝－

333－3＋，22〔3〕直线的解析式为＝3

＋33，直线BK解析式为＝3＋33，3＝＋3由3，解得，即〔3，23，＝233－3∵点、关于直线AK称，∴＋MN最小值是，＝＝23，过点作直线的对称点接，交直线AH于么＝＝＝23⊥，∴＋的最小值是，即BQ长是＋＋MK的最小值，∵∥，∴∠＝∠＝90°由勾股定理得＝8，∴＋＋的最小值为8．Q

yMH

H

Nx

xCB

OD4图，对称轴为直线＝2的抛物线经过〔－1〕两点，与x〔0是第一象限的抛物线上的动点．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕当＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点的坐标；

轴另一交点为．〔3〕假设△PCM以点P顶点的等腰三角形，求

为何值时，四边形周长最小？请说明理由．-

a＋＝54＝9-a＋＝54＝9.yyCM

Mx

xEFBA

OEFB【思路点拨】〔1〕由对称轴为直线＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为＝〔〕，再把点，B代入即可求出抛物线的解析式；〔2〕求四边形MEFP的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点作⊥y

轴于点，由S

＝S－－MEFPOFPNeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)

即可得出；〔3〕四边形的四条边中，线段，长度固定，当＋最小值时，四边形的周长取得最小值．将点M右平移1个单位长度EF的长度关于

轴的对称点，－1，与x

轴交于点，此时＋＝PM最小．【解题过程】解称轴为直线＝2∴设抛物线解析式为＝〔－2〕．将〔－1〕代入得：

，解得

，∴＝－〔－2〕＝－＋4＋5．〔2〕当＝1时，〔1，0，＝2．设〔，－＋5如答图2，过点作⊥

轴于点，那么＝，＝＋5，∴＝－＝－＋4．S

＝S

1－－＝〔＋〕•OFPNeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)2

1－•2

1－•2

111＝〔＋2＋5〕－•〔－＋4〕－×1×122299＝－＋＋229153＝－〔－〕2＋41691539153∴当＝时，四边形MEFP面积有最大值为，此时点P标为〔，416416〔3〕∵〔0，1是以点为顶点的等腰三角形，∴点的纵坐标为3．-

5555-5555.令＝－＋5＝3，解得＝2±6．∵点P在第一象限，∴〔2＋6四边形的四条边中，、长度固定，因此只要＋小，那么的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度〔的长度，1作点关于x

轴的对称点那么，－1连接PM与轴交于点，此时＋＝PM最小．设直线PM的解析式为＝＋，将〔2＋6，3〔1，〕代入得：6)＋＝346－446＋446－446＋4，解得：＝，＝，∴＝－．＋＝－1当＝0时，解得＝

6＋56＋56＋56＋1．∴〔，0＝，∴＝．4444∴＝

6＋1时，四边形周长最小．4yN

M

x

M

M

1

xEFBA

OE

F图112图，抛物线＝(2

M2图2与x轴交于，两点〔点在点的左侧y

轴交于点，顶点为．〔1〕求点，，D的坐标；〔2〕连接，过原点O作⊥，垂足为与抛物线的对称轴交于点，连接．求证：∠∠；〔3的点E圆心为半径画圆对称轴右侧的抛物线上有一动点点作⊙E的切线，切点为，当PQ长最小时，求点P的坐标，并直接写出点坐标．-

22-22.

yEHx

xA

D【思路点拨】1〔1〕由顶点式直接得出点坐标，再令＝0，得(2

D出方程，即可得出点，的坐标；〔2〕设AE相交于点，可以发现△与△ADF组成一个“8字型〞．对顶角∠＝∠，只要∠＝∠FAD即可．因为＝90°只需证明＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE为直角三角形，得∠∠＝90°即可得出结论；〔3〕先画出图形．因为PQ⊙切线，所以△PEQ为直角三角形，半径EQ度不变，当斜边最小时，PQ的长度最小．设出点的坐标，然后表示出，求出PE的最小值，得到点的坐标，再求出点坐标即可．【解题过程】1解坐标为〔3，，得(2

解得

＝3＋2，x

＝32．∵点A在点的左侧，点坐(32，0)，点坐标〔32，07〔2〕过⊥y轴，垂足为．那么＝0，那么＝，C坐标为0，27279∴＝＝．设对称轴交x

轴于点．∵⊥，∴∠＋∠∵∠＋∠＝90∵∠＝＝90．9∴

CG23＝，即＝．∴，即点E标为(3，2)，＝3．3由勾股定理，得＝6，＝3，∴＋＝6＋3＝9．∴△AED直角三角形，即∠设AE交于点．∴∠∠＝90＋∠∴∠∠，∴∠∠．〔3〕由⊙半径为1，根据勾股定理，得＝－1．要使切线长PQ最小，只需长最小，即最小．设P标为〔，理，得－3)＋(－2)．-

-.1∵＝(－3)－1，∴(－3)＋2．∴＝2＋2＋＝(－1)＋5．211当＝1时，最小值为5．把＝1代入＝(－3)－1，得(22

－3)

1，解得

＝1，

＝5．又∵点P对称轴右侧的抛物线上，∴1913此时坐标为〔3，1〕或(，)．55y

＝1舍去．∴点坐标为(5，1)．

2E

E

H

F

x

A

1

P

x

D

D6：＝﹣2，抛物线＝＋＋

的对称轴是y

轴，且经过点〔0，〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕如图①，点是抛物线上任意一点，过点作直线l的垂线，垂足为，求证：．〔3〕请你参考〔〕中结论解决以下问题：〔〕如图②，过原点作任意直线，交抛物线＝＋＋

于点，分别过两点作直线l

的垂线，垂足分别是点、，连结、，求证：．〔点〔1，1该抛物线上是否存在点，使得＋FO得最小值？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．y

yyEx

xO

D

F

xl

l

N

l【思路点拨】〔1〕因为抛物线的对称轴是y

轴，所以＝0，再代入点〔0，出抛物线的解析式；〔2〕由〔〕设出P的坐标，分别表示出，PQ的长度，即可得出结论；〔3∥，所以∠＝180°．由2〕的结论可得＝＝，可得出∠＝∠∠∠易得∠＋∠＝90°得到∠＝90°即可；-

1a2411a241〔〕如图③，作′⊥l形的性质可以得出结论．【解题过程】

于，⊥l

-.于，交抛物线与，作′⊥，由〔2〕的结论根据矩解意，得，解得：，∴抛物线的解析式为：＝－1＝c＝040＝4＋2＋c＝－1

－1；111〔2〕如图①，设〔，＝，＝﹣1，∵⊥，∴＝2，∴＝．444在Rt△中，由勾股定理，得＝

11＋(－1)，∴＝；44〔3②，∵⊥，⊥，∴＝，＝，∥，∴∠∠，∠＝∠∠∠∵∠∠＋∠，∠∠＋∠＝180°，∴∠∠＋∠＋＋∠＋∠＝360°∴2∠＋2∠＝180°∴∠∠＝90°∴∠＝90°，∴⊥；〔〕如图③，作′⊥l

于，⊥l

于，交抛物线与，作′⊥，yDO

E

F'l

FGH∴∠＝∠＝∠′＝90°，＝，′＝′，∴四边形′E矩形＋＝＋＝′＋′＝′＋′，＝′，∴＜′，∴＋＜′＋′，∴＜′＋′，∴＋＜′＋′，∴F所求作的点．5∵〔1的横坐标为，∴，4【举一反三】1滨州〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝＋＋c0〕三点．

经过〔﹣2，〔1〕求抛物线＝＋＋

的解析式；〔2〕假设点该抛物线对称轴上的一点，求＋OM最小值．-

-.

A12平面直角坐标系中，抛物线＝﹣＋〔2

为常数〕的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为〔0，﹣1坐标为〔4在第四象限．〔1〕如图，假设该抛物线过，B两点，求该抛物线的函数表达式；〔2〕平移〔〕中的抛物线，使顶点在直线AC上滑动，且与于另一点．〔〕假设点直线AC方，且为平移前〕中的抛物线上的点，当以Q点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M坐标；〔〕取BC中点，连接，．试探究

PQ是否存在最大值？假设存在，求出该最大值；假设＋不存在，请说明理由．-

-.y

C

y

CN

N

OAB

OA

B3眉山〕如图，在直角坐标系中，点〔0，4绕点A顺时针方向90°得到点；顶点在坐标原点的拋物线经过点．〔1〕求抛物线的解析式和点的坐标；〔2〕抛物线上一动点，设点P到轴的距离为d，点到点的距离为，试说明＋1；〔3〕在2〕的条件下，请探究当点位于何处时，的周长有最小值，并求出周长的最小值．-

-.y

x-

y＝－1＝－3yy＝－1＝－3y.【参考答案】1．解〔﹣2，﹣4〕三点的坐标代入＝＋＋

中，得4－2＋＝－411＝0，解得＝﹣，＝1，＝0，∴解析式为＝﹣＋．22111〔2〕由＝﹣＋＝﹣〔﹣1〕＋，222可得抛物线的对称轴为＝1，并且对称轴垂直平分线段，∴＝，∴＋＝＋，连接AB交直线＝1于，那么此时＋最小，过点A作⊥

轴于点，在RtABN，＝＝4＋4＝4，∴＋最小值为42．yNO

xM2．解腰直角三角形ABC的顶点的坐标为〔0，－1的坐标为〔4，3∴点B坐标为〔4，－1过〔0，－1〕两点，＝－1∴1－＋＝－12

，解得：＝2，＝－1，1∴抛物线的函数表达式为：＝－＋2－1．2〔2〔0，－1AC的解析式为：＝－1．设平移前抛物线的顶点为，那么由〔1〕可得P的坐标为〔，1P在直线AC．∵点P直线AC滑动，∴可设的坐标为〔，－11那么平移后抛物线的函数表达式为：＝－〔－〕＋－1．2＝－1－2解方程组：1，解得，，＝－(－)＋(－1)2∴〔，－1，－3过点P∥轴，过点∥y，那么＝－〔－2〕＝2，＝〔－1〕－〔－3〕＝2．∴＝22＝AP．假设以、、点为顶点的等腰直角三角形，那么可分为以下两种情况：①当PQ为直角边时：点的距离为22〔即为的长-

y＝－1y2-y＝－1y2.由〔0，〕可知，△为等腰直角三角形，且，2．1如答图1点作直线1∥抛物线＝－－1于点么符合条件的点．2∴可设直线l

的解析式为：＝＋b，∵〔4，－1＝4＋，解得＝＝－5，∴直线l

＝－5－2的解析式为：＝－5．解方程组1，得：，，＝－＋2－1＝－72∴，－1〔－2，－7②当PQ为斜边时：＝，可求得点PQ的距离为2．如答图2，取中点，那么点F的坐标为〔2，－