2021年湖南省衡阳市中考数学考前冲刺卷及答案解析

2021年湖南省衡阳市中考数学考前冲刺卷

一．选择题（共12小题，满分36分）

l.(3分）－3的相反数是（)

1-3

c1

A.3B.-3D.

3

2.(3分）下列运算：G芷•x3=x6;@x红;＝釭气＠）(x2)3=x6:©(-3x)2=9x2中，

正确的是（)

A.@＠屯）B.CD@©c.@@@D.G)@@

3.(3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升

空，6月30日成功定点千距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法

表示应为（)

A.0.36X105B.3.6X105C.3.6X104D.36X103

4.(3分）下列运算正确的是()

-I1

A.(-1)0=0B.石＝土lc.卢＝1D.3=-

3

5.(3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

()

A豆祖B皂科克曲线

c.O笛卡尔L形线D/｀波那契螺旋线

x-l

6.(3分）要使分式一一有意义，x的取值是()

x+l

A.x::t:-1B.x=I=-1C.X＃士1D.X＃士1且x=I=-2

7.(3分）以上匹个条件中可以判定匹边形是平行四边形的有（)

G)两组对边分别平行；

＠）两组对边分别相等；

＠有一组对边平行且相等；

O对角线相等．

A.1个B.2个c.3个D.4个

8.(3分）下列不是三棱柱展开图的是（)

第1页共22页

Aq三叮

C三D.

、

9.(3分）不等式组{:__13(x2;_1;>－1的解集在数轴上表示正确的是（丿

了三．扣乒3记乒

,

勹II上一a1

A.-101B.-10

I

-lII上＿­1

C.-101D.-10

k、丿

10.(3分）反比例函数y=－经过点(2,1)，则下列说法错误的是（

X

A.k=2

B.函数图象分布在第一、三象限

c.当x>O时，y随x的增大而增大

D.当x>O时，y随x的增大而减小

11.(3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便

千管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道

的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（)

A.35X20-35x-20x＋正＝600

B.35X20-35x-2X20x=600

C.(35-2x)(20-x)=600

D.(35-x)(20-2.x)=600

12.(3分）如图1,在平面直角坐标系中，0ABCD在第一象限，且BC/Ix轴．直线y=x

从原点0出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被0ABCD截得的线段长度n与直

线在x轴上平移的距离m的涵数图象如图2所示．那么0ABCD的面积为（)

第2页共22页

n

2..______

X

。467m

图2

A.38.3迈c.6D.6寸2

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13.(3分）因式分解：2a2-l2a=_.

x红x

14.(3分）计算：一一－-x=

X

15.(3分）一个多边形的内角和等千它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是

16.(3分）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，如果乙1=130°，那么乙2等千

17.(3分）为节约用电，长沙市实”阶梯电价”具体收费方法是第一档每户用电不超过240

度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度提价

0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度提高0.3元某居民家12月份交电费222

元，则该居民家l2月份用电度

18.(3分）如图，直角坐标系中，已知点A(-3,0),B(0,4)，将丛AOB连续作旋转变

换，依次得到三角形G)，＠)，@），G),…则第19个三角形中顶点A的坐标是.

A。49,x

1216

三．解答题（共8小题，满分66分）

19.(6分）化简：b(a+b)+(a+b)(a-b).

20.(6分）2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至

2020年1月，甘肃省已有五家国家SA级旅游烘区，分别为A:嘉峪关文物泉区；B:平

凉咬蜗山风景名胜区；C:天水麦积山景区；D:敦煌鸣沙山月牙泉景区；E:张掖七彩

丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．

第3页共22页

(1)张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？

(2)若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A,B,C,D四个景区中任选

两个景区去旅游，求选择A,D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．

21.(8分）已知：如图，在6.ABC中，乙ACB=90°,AC=BC,AD平分乙CAB.求证：

AB=AC+CD.

C

AR-

22.(8分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h,精确到lh)，抽

样调查了部分学生i:,J，并用得到的数据绘制了下而两幅不完整的统计图．

丘}

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)求出扇形统计图中百分数a的值为，平均睡眠时间为8小时的人数

并补全频数直方图；

(2)求出这部分学生的平均睡眠时间的平均数、众数和中位数；

(3)如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少千8小时）的学生数．

23.(8分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地而所成的角a

一般要满足50°~a~75°,现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时

人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：画50°~o.77,cos50°~o.64,sin75°~o.97,

cos75°=0.26)?

1BB

第4页共22页

24.(8分）如图，在R心ABC中，乙C=90°,BD是乙ABC的平分线，点0在AB上，以

点0为圆心，OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.

(1)判断直线AC与oo的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=16,CD=15,求00的半径．

A

D

1

25.(10分）如图，抛物线y=a(x+l产的顶点为A,与y轴的负半轴交千点B,且S凶OB=－.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C是该抛物线上A、B两点之1、司的一点，求!:::,ABC面积的最大值．

y

A

X

26.(12分）如图，在等腰直角6ABC中，乙B=90°,AB=BC=8.动点P以每秒2个单

位长度的速度从点A向终点B运动，过点P作PF.lAC千点F,以AF,AP为邻边作°FAPG:

°FAPG与等腰直角6ABC的重叠部分而积为S（平方单位），S>O,点P的运动时间为t

秒．

(1)直接写出点G落在BC边上时的t值．

(2)求S与t的函数关系式．

(3)直接写出点G分别落在6ABC三边的垂直平分线上时的t值．

第5页共22页

c

A

第6页共22页

2021年湖南省衡阳市中考数学考前冲刺卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分）

l.(3分）－3的相反数是()

1

c一1

A.3B.-33D.

3

【解答】解：－3的相反数是3.

故选：A.

2.(3分）下列运算：@;;,.x3＝孔＠记＋x2=2.x气＠）(x2)3＝孔＠(-3x)2=9启中，

正确的是（)

A.@@@)B.CD@©c.G)@)@D.©@@)

【解答】解：x2•x3=x2+3=x5，因此G)不正确；

根据整式加减的计算方法，合并同类项可得x红x2=2x2,因此＠）正确；

｀）呈产呈炒，因此＠）正确

©(-3x)2=(-3)2·x2=9入2，因此＠正确；

因此正确的有：@@@,

故选：A.

3.(3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升

空，6月30日成功定点千距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法

表示应为（)

A.0.36X105B.3.6Xl05C.3.6X104D.36X103

【解答】解：36000=3.6X10气

故选：C.

4.(3分）下列运算正确的是（)

A.(-1)0=oB.打＝士1C.3R=lD.3一1=；

【解答】解：A、（－l)o=L故选项错误；

B、打＝1,故选项错误；

C、口＝－l,故选项错误

一11

D、3-,故选项正确．

=3

第7页共22页

故选：D.

5.(3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

()区0

A赵笛爽卡弦尔图心B线波

.0.勹

c形线D那契螺旋线

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：B.

x-1

6.(3分）要使分式一一有意义，x的取值是()

x+l

A.x::1:lB.X'=F-1C.X＃士lD.x=I=士1且x=I=-2

x-1

【解答】解：要使分式一一有意义，

x+l

则x+l=r=O,

解得：x#-1,

故选：B.

7.(3分）以上匹个条件中可以判定匹边形是平行四边形的有（)

O两组对边分别平行；

@)两组对边分别相等；

@）有一组对边平行且相等；

＠对角线相等．

A.1个B.2个c.3个D.4个

【解答】解：G)两组对边分别平行，符合平行匹边形的定义，故G)正确；

＠两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故＠）正确；

＠由一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，故＠正确；

＠对角线互相平分的四边形是平行四边形，故＠错误；

第8页共22页

所以正确的结论有三个：0@@,

故选：c.

)

8.(3分）下列不是三棱柱展开图的是（门/

Ai三＞BD

C三

【解答】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三

棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．

B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故B不能围成三棱柱．

故选：B.

x-3(x-l)>-1

9.(3分）不等式组{X-12x-1的解集在数轴上表示正确的是（)

了三千

A飞。111卜B1

c飞t--t--fD.--1。11IF

x-3(x-l)>-l(D

【解答】解：{x-1.2x-1

亏今亏－＠

解不等式G)得：x<2,

解不等式＠）得：x>-l,

所以不等式组的解栠为：-I:::;x<2,

故选：B.

k

10.(3分）反比例函数y=－经过点(2,1)，则下列说法错误的是（)

X

A.k=2

B.函数图象分布在第一、三象限

C.当x>O时，y随x的增大而增大

D.当x>O时，y随x的增大而减小

k

【解答】解：？反比例函数y=－经过点(2,1),

X

第9页共22页

k

:.l=;::

2'

解得，k=2,故选项A不符合题意；

?k=2>0,

:．该函数的图象在第一、三象限，故选项B不符合题意；

当x>O时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意、选项D不符合题意；

故选：c.

1I.(3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便

千管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道

的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（)

A.35X20-35x-20x＋正＝600

B.35X20-35x-2X20x=600

C.C35-2x)(20-x)=600

D.(35-x)(20-2.x)=600

【解答】解：依题意，得：(35-2x)(20-x)=600.

故选：C.

12.(3分）如图l，在平面直角坐标系中，口ABCD在第一象限，且BC/Ix轴．直线y=x

从原点0出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，宜线被口ABCD截得的线段长度n与直

线在x轴上平移的距离m的涵数图象如图2所示．那么口ABCD的面积为（)

n

2..______

-x

。467m

图2

A.3B.3-Jzc.6D.6迈

【解答】解：存在两种情况：

如图1，过B作BM.lAD千点M，分别过B,D作直线y=x的平行线，交AD于E,如

图1所示，

第10页共22页

y

}

//X

/,

／今，图1

,,,,//

//

由图象和题意可得，

AE=6-4=2,DE=7-6=I,BE=2,

.'.AD=2+1=3,

？直线BE平行直线y=x,

占BM=EM=迈，

:．平行四边形ABCD的面积是：AD•BM=3x迈＝3迈．

如图2,过D作DM.lBC千M,延长CB交直线DF于E,

,

1,//

`,///

,/

`/

r

x

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,/

,,/

/,,

/,,

,,,,

,,,

,,,,,,'图2

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

//

．二AD=DF=2,BE=l,

：．乙DAF＝乙DFA,

'.'ADIiBC,

.'.L_DAF＝乙EBF=LEFB,

.'.EF=BE=l,

.'.DE=l+2=3,

．．乙DEM=45°,LDME=90°,

33控

.'.DM=EM=—=—,

迈2

3石

:．平行四边形ABCD的面积是：AD•DM=2x—-2＝3迈．

第11页共22页

故选：8.

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13.(3分）因式分解：2a2-12a=2a(a-6)

【解答】解：2a2-12a=2a(a-6).

故答案为：2a(a-6).

x红x

14.(3分）计算：----x=__J__.

X

x(x+l)

【解答】解：原式＝-x

X

=x+l-x

=l.

故答案为：1.

15.(3分）一个多边形的内角和等千它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是___Q_.

【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：

(n-2)•180°=2X360°,

解得，n=6.

故答案为：6.

16.(3分）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，如果乙1=130°，那么乙2等千80°

【解答】解：由折叠得，乙4＝乙5,由平行线的性质得，乙5＝乙3,

:.乙4=乙3=180°-乙1=50°'

:.乙2=180°-乙4-乙5=180°-50°-50°=80°'

故答案为：80°.

17.(3分）为节约用电，长沙市实”阶梯电价”具体收费方法是第一档每户用电不超过240

度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度提价

第12页共22页

0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度提高0.3元，某居民家12月份交电费222

元，则该居民家12月份用电360度．

【解答】解：因为222<0.6X240+(400-240)X0.65=248,

所以该居民家今年12月份的用电量是多千240度而少千400度．

设该居民家12月份的用电量为X,则

240X0.6+(x-240)X0.65=222,

解得x=360.

答：该居民家12月份用电360度．

故答案是：360.

18.(3分）如图，直角坐标系中，已知点A(-3,O),B(0,4)，将D.AOB连续作旋转变

换，依次得到三角形G),＠,@)，G),…则第19个三角形中顶点A的坐标是(72,

拉＿

,X

A0|491216

【解答】解：?A(-3,O),B(O,4),

.'.QA=3,OB=4,

占AB=ff+42=5,

？凶OB连续作三次旋转变换回到原来的状态，

而L9=3X6+L

:．第19个三角形的状态与第1个一样，

:．第19个三角形中顶点A的横坐标为6X12=72,纵坐标是4,

即第19个三角形中顶点A的坐标是(72,3).

故答案为(72,3).

三．解答题（共8小题，满分66分）

19.(6分）化简：b(a+b)+(a+b)(a-b).

【解答】解：b(a+b)+(a+b)(a-b)

=ab+b2+a2-b2

=ab+a2.

第13页共22页

20.(6分）2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至

2020年l月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A:嘉峪关文物景区；B:平

凉控炯山风景名胜区；C:天水麦积山景区；D:敦煌鸣沙山月牙泉景区；E:张掖七彩

丹霞浆区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分泉区游玩．

(1)张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？

(2)若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A,B,C,D四个景区中任选

两个景区去旅游，求选择A,D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．

【解答】解：（l）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E:张掖七彩丹霞景区”

的概率是－；

5

(2)从A,B,C,D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：

叉第2lABCD

A\＼、BACADA

BAB＼＼、CBDB

CACBC＼＼、DC

DADBDCD、

共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个烘区的有2种，

21

:.p（选抒A、D)＝豆＝6·

21.(8分）已知：如图，在!::,ABC中，乙ACB=90°,AC=BC,AD平分乙CAB.求证：

AB=AC+CD.

C

AR~

【解答】证明：过D作DE.lAB,垂足为E,

.:乙ACB=90°,

:.乙C=乙DEA,

·:AD平分L.CAB,

:.乙CAD＝乙EAD,

？在LACD和LAED中

第14页共22页

卢勹AE,

AD=AD

.'.6ACD竺6AED:

占AC=AE,CD=DE;

'.'AC=BC,乙ACB=90°,

:.!::,ABC是等腰直角三角形，

:.乙B=乙CAB=45°,

:.乙BDE=I80°-90°-45°=45°

:.乙EDB=乙8,

:.CD=DE=EB;

占AB=AE+EB=AC+CD.

C

AR~

R

22.(8分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h,精确到lh)，抽

样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

人

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)求出扇形统计图中百分数a的值为45%，平均睡眠时间为8小时的人数18,

并补全频数直方图；

(2)求出这部分学生的平均睡眠时间的平均数、众数和中位数；

(3)如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少千8小时）的学生数．

【解答】解：(1)a=I-30%-5%-20%=45%,

调查总人数：12-:-20%=60（人），

“睡眠8小时”的学生人数：60X30%=18（人），

“睡眠7小时”的学生人数：60X45%=27（人），

第15页共22页

补全条形统计图如图所示：

人数

3027

18

故答案为：45%,18;

(2)平均数为：6X20%+7X45%+8X30%+9X5%=7.2（时），

学生睡眠时间出现次数蔽多的是7小时，约占45%，因此中众数是7,

将60名学生的唾呡时间从小到大排列，处在中间位置的两个数都是7小时，因此中位数

是7,

答：这组数据的平均数是7.2,中位数是7,众数是7;

(3)1200X(45%+20%)=780（人），

答：该校1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的大约有780人．

23.(8分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a

一般要满足50°~a~75°,现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时

人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：sin50°=0.77,cos50°=0.64,sin75°=0.97,

cos75°=0.26)?

B

1B

【解答】解：在Rth,ABC中，

AC

.cosa=环＇

:.AC=AB•cosa,

当a=50°时，AC=AB•cosa=6X0.64=3.84(m);

当a=75°时，AC=AB•cosa=6X0.26=1.56(m);

所以要想使人安全地琴上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在

第16页共22页

J.S6m~3.84m之间，

'.'I.56<2<3.84

:．此时人能够安全使用这架梯子．

答：当梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子．

24.(8分）如图，在R心ABC中，乙C=90°,BD是乙ABC的平分线，点0在AB上，以

点0为圆心，OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.

(1)判断直线AC与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若B£=16,CD=IS,求00的半径．

A

D

【解答】（I)解：直线AC与00相切，理由如下：

连接OD，如图，

·:BD为乙ABC平分线

:.乙1=乙2,

·..OB=0D,

:.乙I=乙3,

:.乙2=乙3,

:.ODIiBC.

．．．乙C=90°,

:.乙ODA=90°,

.'.AC是00的切线；

(2)解：过0作OG上BC,连接OE,

·:oc上BC,8£=16,

:.BG=EG=8,

·:乙C＝乙ODA=90°,

:．四边形ODCG为矩形，

:.GC=OD=OB,OG=CD=15,

第17页共22页

在Rtl:-.OBG中，OB=VB贮＋0贮＝寸护＋152=17,

:.oo的半径为17.

A

D

25.(JO分）如图，抛物线y=a(x+I产的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且S心AOB=;.

(l)求抛物线的解析式；

(2)若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求6ABC面积的最大值．

y

A

X

【解答】解：（1)由题怠得：A(-1,O),8CO,a),

:.QA=I,OB=-a,

1

·:St:.AoB=i·

11

:.-:X1X(-a)=-:,

22

解得，a=-l,

:．抛物线的解析式为y=-(x+I)气

(2)·:A(-1,0),8(0,-L),

:．直线AB为y=-X-1,

过C作CD_l_x轴，交直线AB于点D,

设C(x,-(x+l)2)，则D(x,-x-I),

:.CD=-(x+L)2+x+l,

·;St:,ABc=St:,AC沪St:,BCD=卓－(x+l)2+x+l]Xl,

第18页共22页

.1121

(-)+-

:.s凶\Be=—-2x+28'

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