2021-2022学年福建省南平市八年级（上）知识演练数学试卷（四）（附答案详解）

2021-2022学年福建省南平市八年级（上）知识演练数学

试卷（四）

1.下列图标是轴对称图形的是（）

A.B.

2.F列四个分式中，是最简分式的是（

A.XBX2+2X+1

a+b*x+1c.—3ay

3.在△ABC中，44=70°,NB=55°,则△48。是()

A.钝角三角形B.等腰三角形C.等边三角形等腰直角三角形

4.将分式方程2+4=3化为整式方程，正确的是（）

X—2Z-X

A.%—4=3B.x+4=3

C.x-4=3(%—2)D.x+4=3(x—2)

5.如图，在AABC和△ABD中，/C4B=NDAB,点A,B,

在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定△

ABC0△48。的是（）

A.BC=BDB.“=4D

C.4CBE=4DBED.AC=AD

6.如图，在四边形ABC。中，乙4=90°,AD=3,BC=5,

对角线BO平分44BC,则ABC。的面积为（）

A.7.5

B.8

C.15

D.无法确定

7.能够用如图中已有图形的面积说明的等式是()

A.Q(Q+4)=a2+4a

B.(a+4)(a-4)=a2—16

C.(a+2)2=a?+4a+4

D.(CL+2)(CL—2)—a?—4

8.如图，在AABC中，分别以点A,8为圆心，以大于|4B的长为半径在AB两侧作弧，

两弧相交于点M,N,作直线MN分别交边AB,AC于点。，E,连接CD,若△CDB的

面积为7,ACOE的面积为2,则AAOE的面积为（）

9.如图，在4PAB中，PA=PB,D,E,F分别是边PA,PB,AB上的点，且AD=BF,

BE=AF,若NP=112。，则NDFE的度数为（）

P

A.34°B.30°C.17°D.15°

如图，△ABC是等边三角形，。为AC边上一点,

以BD为边作等边三角形8OE,连接CE.若BC=5,

CE=3,则CO的长为（

D.5

11.生物学家发现一种病毒，其长度约为0.00000032米，数据0.00000032用科学记数

法表示为.

12.分解因式：a妤—8ax+16a=.

13.已知在平面直角坐标系中，点Pi（a-1,5）和P2（2,b-1）关于x轴对称，则（a+i）2021

的值为.

14.两个完全相同的正五边形都有一边在直线/上，且有一个公共顶点O,其摆放方式

如图所示，贝吐40B等于度.

第2页，共17页

B

o

15.在平面直角坐标系中，A点的坐标为(0,4),8的坐标为(3,0),C(a,b)为平面直角坐

标系内一点，若乙4BC=90。，且B4=BC,则M的值为.

16.若%2+3%-3=0,贝k(x+l)(x+2)(x+3)的值为.

17.计算：[xy(3x—2)—y(x2-2x)]+x2y.

18.解方程：——+1=~~~-

X-22X-4

19.如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：4(4,0),5(-1,4),C(-3,l)

(1)在图中作448'<7'使44'夕(?'和4ABC关于x轴对称；

(2)写出点4'、B'、C'的坐标.

20.如图，在△ABC中，。为AC延长线上一点，E为AB边上一点，连接。E交BC于

点F,若乙BCD=92°,心力=27",乙BED=44°.

(1)求的度数；

(2)求NBFD的度数.

D

21.已知(a+b)2=7,(a—b')2=3,求下列式子的值:

(l)a2+b2；

(2)3ab.

22.规定a,6两数之间的一种运算，记作(a,b)：如果a。=b,那么(a,b)=c.例如：因

为23=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：(5,125)=,(-2,4)=；

(2)①若(-2,a)=3,则(1=；

②若(b,9)=2,贝妖=；

(3)求证:(4,5)+(4,6)=(4,30).

23.2021年是中国工农红军长征胜利85周年，某商家用2100元购进了一批长征胜利主

题的纪念衫，上市后供不应求，在第一批纪念衫售完后，商家又用4800元购进了

第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价比第一批的贵了5

元.

(1)求该商家购进的第一批纪念衫的单价是多少元？

(2)若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下的30件按标价的八折优惠售出，如

果两批纪念衫全部售完后的利润不低于930元(不考虑其他因素)，那么每件纪念衫

的标价至少是多少元？

24.阅读材料：利用完全平方公式，将多项式/+bx+c变形为(x+m)2+n的形式,

然后由(x+m)2>0就可求出多项式/+bx+c的最小值.

例题：求/-12x+37的最小值.

解：x2-12%+37=x2-2xX6+62+1=(%-6)2+1.

••・不论x取何值，(x—6)2总是非负数，即(x-6)220,

(x-6)2+1>1.

.•.当x=6时，/一i2x+37有最小值，最小值是1.

根据上述材料，解答下列问题：

(1)填空：x2-4x+=(x-)2；

(2)将产+8x—2变形为(x+m)2+n的形式，并求出/+8x-2的最小值；

(3)如图所示的第一个长方形的长为3a+2,宽为2a+5,面积为工，第二个长方形

的长为5a,宽为a+5,面积为S2,试比较其与S?的大小，并说明理由.

25.如图，在AACE中，Z.CAE=90°,AE=AC,。是CE边上一动点(不与点C,E重

合)，在AE同侧以为腰，作等腰直角三角形AOB,其中NZMB=90。，过点A

作4F1CB,垂足为凡

⑴求证：△ABC丝AADE；

(2)试探索4尸与CE之间的位置关系，并说明理由；

(3)求证:CD=2BF+DE.

第4页，共17页

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A,B,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折

叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以是轴对称图形；

故选：C.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查最简分式的概念，涉及因式分解，分式的基本性质，本题属于基础题型.

分子分母没有公因式即可为最简分式

【解答】

解：4注，最简分式；

a+b

8.原式=色孚=%+1,故B不是最简分式；

C.原式=§,故C不是最简分式；

3y

D原式=①警警=a+b,故。不是最简分式.

故选4

3.【答案】B

【解析】解：•••在△ABC中，=70°,/-B=55°,

:.ZC=180°-Z.A-/-B=55°,

:.Z.B—zC,

△ABC是等腰三角形.

故选：B.

根据三角形的内角和定理求得NC=180。一41-48=55。，于是得到NB=4C,即可

得到结论.

本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的判定，熟记三角形的内角和是解题的关键.

4.【答案】C

第6页，共17页

【解析】解：将方程两边都乘以x-2,得：x-4=3(x-2),

故选：C.

分式方程的左右两边同乘以最简公分母x-2即可.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

5.【答案】A

【解析】解：添力C1A不能判断△ABC丝△ABD,

添力口B用AAS判断△ASC^AABD,

添加C,

■：ACBA+NCBE=180",4ABD+乙EBD=180°,

乙CBE=乙DBE

•■乙ABC=乙ABD

；.△ABC丝△ABD(ASA),

添力「。用S4S判断AABC四△ABD,

故选：A.

A.不能判断^ABC^^ABD；

8.用AAS判断△ABCgAAB。；

C.^ABC^^ABD(ASA)；

。.用SAS判断△ABCg/MB。.

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA.

AAS,掌握这几种方法的熟练应用.

6.【答案】A

【解析】解：如图，过点£＞作DE1BC于点E.

­••U=90°,

ADLAB,

■：8。平分4ABC,

AD=DE=3,

*8C5

=

11

X5X3

2-2-=5.

故选：A.

如图，过点。作DE1BC于点E.利用角平分的性质得到DE=4。=3,然后由三角形的

面积公式来求△BCD的面积.

本题考查了角平分线的性质.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平方差公式的几何背景，理解图形中各个部分面积之间的关系是得出答案关

键.根据图形中各个部分的面积之间的关系得出答案.

【解答】

解：如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2X2=4,

于是有S①+S②=(a+2)(a-2)=S①+S③=(S①+S③+S④)一S@=S正方形-

S④=a?-4,

所以(a+2)(a-2)=a2-4,

故选D.

8.【答案】B

【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，

点。是AB的中点，

SNADC=SHBDC，

S^BDC-SACOE=5,

SAADC—S^CDE=5>

.•.△4DE的面积为5,

故选：B.

根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点。是AB的中点，根据三角形

的面积公式计算，得到答案.

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

点的距离相等是解题的关键.

9【答案】A

【解析】解：丫PA=PB,

・•・Z.A=乙B,

在△40户和48/E中，

AD=BF

乙/=,

AF=BE

.^ADF^hBFE(SAS)f

・•・Z.ADF=乙BFE,

第8页，共17页

vzP=112°,

・・・乙4=乙B=|(180°-乙P)=34°,

,:乙DFB=Z-DFE+乙EFB=+Z.ADFf

・•・乙DFE=4/=34°,

故选：A.

根据等腰三角形的性质得到乙4=4B,证明AADF&ABFE,得到乙4DF=/BFE,根

据三角形内角和定理计算可得44=4B=1(180°-4P)=34。，根据三角形的外角的性

质即可解决问题.

本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌

握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键.

10.【答案】B

［解析］解：在CB上取一点G使得CG=CD,力卜、

•••△4BC是等边三角形,

4ACB=60°,

：.△CDG是等边三角形，

:.CD=DG=CG9

•・•乙BDG+乙EDG=60°,乙EDC+乙EDG=60°,

:.乙BDG=乙EDC,

在aBOG和△EDC中，

(BD=DE

\^BDG=乙EDC,

WG=DC

••△BDG咨AEDC(SAS),

・•・BG=CE，

・•・BC—BG+CG=CE+CD,

vBC=5,CE=3,

CD=BC-CE=5-3=2.

故选：B.

在CB上取一点G使得CG=CD,即可判定4CCG是等边三角形，可得CD=DG=CG,

易证NBDG=乙EDC,即可证明4BDG^AEDC{.SAS'),由全等三角形的性质可得BG=

CE,根据CD=BC-CE即可得出答案.

本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质以及等边三角形的判定和性质，本题

中求证△BDG^AEDC是解题的关键.

11.【答案】3.2xIO-

【解析】解：0.00000032=3.2x10-7

故答案为：3.2x10-7.

绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axio-n,与较大数的科

学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面

的0的个数所决定.

此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为ax10",其中1<|a|<10,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

12.【答案】研％-4)2

【解析】解：ax?—8ax+16a,

=a(x2—8x+16),

=a(x—4)2.

先提取公因式a,再对余下的多项式利用完全平方公式进行分解.完全平方公式：(a-

b)2=a2-2ab+b2.

本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式,

然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

13.【答案】-1

【解析】解：••・点PMa-1,5)和「2(23-1)关于x轴对称，

ci—1=2,b—1=—5>

解得a=3,b=—4,

(a+b)2°2i=(3-4)2021=-1.

故答案为：-1.

根据关于X轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出〃、人的值，然后代入代

数式进行计算即可得解.

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规

律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，

纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反

数.

14.【答案】108

【解析】解：如图,

由正五边形的内角和，得乙1=42=43=44=108°,

Z5=z6=180°-108°=72°,

Z7=180°-72°-72°=36°.

第10页，共17页

Z.AOB=360°-108°-108°-36°=108°,

故答案为：108.

根据多边形的内角和，可得N1,42,43,Z4,根据等腰三角形的内角和，可得47,根

据角的和差，可得答案.

本题考查了正多边形的性质，多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角

是解题关键.

15.【答案】21或3

【解析】解：当点C在x轴上方.如图，作CDlx轴,

4点的坐标为(0,4),B的坐标为(3,0),

•••OA=4,OB=3,

v乙48c=90°,

AAABO4-Z.CBD=90°,

,.・4/8。+々840=90°,

・•・Z,BAO=乙CBD,

・・•在△AB。和△BCD中

/.BAO=乙CBD

Z.AOB=Z-BDC,

AB=BC

.•・△48。/△BCD(44S),

:.BD=OA=4,CD=OB=3,

・・・C点坐标为(7,3),

Aah=7x3=21；

当点C在x轴下方.如，作CElx轴，

与⑴证明方法一样可证得△48。出^BCE(AAS),

・,.BE=OA=4,CE=OB=3,

OF=4-3=1,

•••。点坐标为(一1,一3),

ab=-1x(-3)=3.

故答案为21或3.

讨论：当点C在x轴上方.作CDLx轴，。4=4,0B=3,由于NABC=90。，利用等

角的余角相等得到484。=然后根据“AAS”可判断△力BOgABCO,则80=

OA=4,CD=OB=3,于是C点坐标为(7,3),得到帅=21；当点C在x轴下方.如，

作CE1x轴，与(1)证明方法一样可证得△ABO^^BCE,得到BE=0A=4,CE=OB=

3,则。E=4-3=l,所以C点坐标为(一1,一3),得到ab=3.

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、

“ASA”、“A4S”；全等三角形的对应边相等.也考查了分类讨论的思想、坐标与图

形性质.

16.【答案】5.

【解析】解：%2+3%-3=0,

x2+3x=3,

x(x+l)(x+2)(x+3)

=[x(x+3)][(x+l)(x+2)]

=(x2+3x)(/+3x+2)

=3x(3+2)

=3x5

=15,

故答案为：5.

利用乘法的结合律，单项式乘多项式的法则，多项式乘多项式的法则进行计算，即可得

出答案.

本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的法则，多项式乘

多项式的法则，乘法的结合律，整体代入的数学思想是解决问题的关键.

17.【答案】解：原式=[3x2y—2xy—x2y+2xy]+x2y

—2x2y+x2y

=2.

【解析】先确定计算顺序，再按照整式混合计算法则计算.

本题考查整式混合计算，确定计算顺序是求解本题的关键.

18.【答案】解：去分母得：2+2久一4=乂+1,

解得：x=3,

经检验x=3是分式方程的解.

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整

式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

第12页，共17页

19.【答案】解：(1)如图.

(2)点A的坐标为(4,0),点B'的坐标为(-1,-4),点C'的坐标为(—3,—1).

【解析】本题考查了坐标与图形-对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反

数；关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数.

(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A的坐标为(4,0),点B'的坐标为(-1,-4),

点C'的坐标为(一3,-1),然后描点：

(2)由(1)可得到三个对应点的坐标.

20.【答案】解：(1)v/.BCD=92°,乙4=27°,ZOCI是△A8C的外角,

•••乙BCD—/.A+Z.B,

则NB=/.BCD-L.A=65°；

⑵•••NBED是△4DE的外角，

Z.BED=NA+Z.D,

•.心=27°,/.BED=44",

•••Z.D—乙BED—/.A=17°,

•••NBFD是△CDF的外角，乙BCD=92",

•••乙BFD=4。+4BCD=109°.

【解析】(1)直接利用三角形的外角性质即可求解；

(2)由三角形的外角性质可求得4。=17。，再次利用三角形的外角性质即可求解.

本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用.

21.【答案】解：(1)・•・(a+b)2=7,(a-b)2=3,

•••a2+2ab+b2=7①，a2-2ab+b2=3②，

①+②得：2a2+2/?2=io,

a2+b2=5-.

(2)v(a+b)2=7,(a—b)2=3,

:.a2+2ab+b2=7®,a2-2ab+b2=3②，

①-②得:4-ab=4,

ab=1,

3ab=3.

【解析】(1)由(a+by=7,(a-b)2=3,得出a?+2ab+b2=7①，a2-2ab+b2=

3②，两式相加即可求出结果；

(2)由(a+b)2=7,(a—b)2=3,得出a?+2ab+b2=7①，a2-2ab+b2=3②，

两式相减即可求出结果.

本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点是解决问题的关键.

22.【答案】32-8±3

【解析】⑴解：:53=125,

•••(5,125)=3,

(-2)2=4,

•••(-2,4)=2.

故答案为：3,2；

(2)解：①由题意得：a=(—2)3=-8,

故答案为：—8；

②由题意得：炉=9,

b=+3.

(3)证明：设(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,

则4a=5,4b=6,4C=30,

5x6=30,

4a.4》=4C,

a+b=c,

即(4,5)+(4,6)=(4,30).

(1)根据新定义的运算进行求解即可；

(2)①根据新定义的运算进行求解即可；

②根据新定义的运算以及平方根定义进行求解即可；

(3)根据新定义的运算以及同底数塞的乘法法则进行求解即可.

本题考查累的乘方与积的乘方，平方根定义，同底数幕的乘法，掌握累的运算性质是正

确计算的前提，理解新定义的运算是解决问题的关键.

23.【答案】解：(1)设该商家购进的第一批纪念衫的单价是x元，则购进的第二批纪念

衫的单价是(x+5)元,

依题意得:翳=2x等,

解得：％=35,

第14页，共17页

经检验，x=35是原方程的解，且符合题意.

答：该商家购进的第一批纪念衫的单价是35元.

(2)该商家购进的第一批纪念衫的数量为2100+35=60(件)，

该商家购进的第二批纪念衫的数量为4800+(35+5)=120(件).

设每件纪念衫的标价是y元，

依题意得：(60+120-30)y+30x0.8y-2100-4800>930,

解得：y>45,

y的最小值为45.

答：每件纪念衫的标价至少是45元.

【解析】(1)设该商家购进的第一批纪念衫的单价是x元，则购进的第二批纪念衫的单

价是(x+5)元，利用数量=总价+单价，结合购进的第二批纪念衫的数量是第一批购进

数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)利用数量=总价+单价，可求出该商家购进第一批、第二批纪念衫的数量，设每件纪

念衫的标价是y元，利用两批纪念衫全部售完后的利润=售价x数量-进货总价，结合两

批纪念衫全部售完后的利润不低于930元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取

其中的最小值即可得出结论.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量

关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

24.【答案】解：(l)M-4x+4=(x