新教材高中数学导数及其应用.2.2.2函数最值的求法课时分层作业含解析新人教B版选择性必修

06/707/7/课时分层作业(十七)函数最值的求法(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为()A．16B．12C．32D．6C[∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.]2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)A[令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．]3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围为()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D[由题意得函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导函数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且3－6b>0，∴0<b<eq\f(1,2)，故选D.]4．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．3B．18C．20D．0C[令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，则f(x)min＝f(－3)＝－19，f(x)max＝f(－1)＝f(2)＝1，由题意知|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，∴t≥20，故tmin＝20.]5．函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方，那么a的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))A[设h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a－x2＋3x，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值．因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方，所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．]二、填空题6．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．－71[f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．令f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.]7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．eq\f(\r(2),2)[由题意画出函数图像如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt(t>0)，则y′＝2t－eq\f(1,t)＝eq\f(2t2－1,t)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(2),2))),t).当0<t<eq\f(\r(2),2)时，y′<0，可知y在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))内单调递减；当t>eq\f(\r(2),2)时，y′>0，可知y在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))内单调递增．故当t＝eq\f(\r(2),2)时，|MN|有最小值．]8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．[4，＋∞)[因为x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，设g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，则g′(x)＝eq\f(3?1－2x?,x4).令g′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2).当0<x<eq\f(1,2)时，g′(x)>0；当eq\f(1,2)<x≤1时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1]上有极大值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4，它也是最大值，所以a≥4.]三、解答题9．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋sinx，x∈[0,2π]．[解](1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝eq\f(3,2).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))f′(x)0－0＋f(x)57↘－eq\f(115,4)↗由于当x>eq\f(3,2)时，f′(x)>0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上为增函数．因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－eq\f(115,4)，无最大值．(2)f′(x)＝eq\f(1,2)＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝eq\f(2π,3)或x＝eq\f(4π,3).计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2).所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.10．已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[解](1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1<k<2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.11．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，eq\r(11)) B．(－1,4)C．(－1,2] D．(－1,2)C[由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－2↗2↘由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜eq\r(11).又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.]12.(多选题)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．x－1045f(x)1221下列关于函数f(x)的命题中真命题为()A．函数y＝f(x)是周期函数B．函数f(x)在[0,2]上是减函数C．如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为5D．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a有4个零点BC[由图像不能判断出y＝f(x)是否为周期函数，故A错误；由已知中y＝f′(x)的图像可得在[0,2]上f′(x)＜0，即f(x)在[0,2]是减函数，即B正确；由已知中y＝f′(x)的图像，及表中数据可得当x＝0或x＝4时，函数取最大值2，若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即C正确；由f(x)＝a，因为极小值f(2)未知，所以无法判断函数y＝f(x)－a有几个零点，所以D错误．故选BC.]13．(一题两空)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则实数a＝________，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．3－13[对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9，故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]14．若函数f(x)＝eq\f(ex,x＋2)在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为________．(－1，＋∞)[f′(x)＝eq\f(ex?x＋1?,?x＋2?2)，令f′(x)>0，解得x>－1；令f′(x)<0，解得x<－1.故f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，若f(x)在(－2，a)上有最小值，则a>－1.]15．已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x).(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是eq\f(3,2)，求a的值．[解]函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2).(1)∵a<0，∴f′(x)>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是eq\f(3,2)相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是eq\f(3,2)相矛盾；③当1<a<e时，函数f(x)在[1，a)上有