高中数学 单元测试三 简单几何体的面积和体积 北师大版必修2

单元测试三简单几何体的面积和体积班级姓名考号分数本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个大球的半径为()2案A.2案A.答BC1-2D.解析：根据体积不变：3〃X13X2=3”r3，解得r=当2.2•长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,x,表面积为108，则x等于()A．2B．3C．5D．6答案：D解析：该长方体的表面积为2(3X4+3x+4x)=108,x=6.3•设等腰梯形ABCD是圆台的一个轴截面，且AD〃BC,AB=3,AD=2,BC=4,则圆台的侧面积为()A.9nB.10nC.14nD.18n答案：A解析：由圆台的轴截面及相关数据知圆台的底面半径分别为1,2,母线长为3,则圆台的侧面积为n(ri+r2)l=n(1+2)X3=9n.4.过圆锥的轴的平面截圆锥所得三角形是边长为2的等边三角形,则该圆锥的体积为D.D.2\p3n3答案：A_解析：正方体的对角线长等于球的直径，该球的半径为R,则-■；3a=2R，所以球的表面为S=4nR2=n・(2R)2=3na2=3n,a=1.5.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是(5.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是(A.3邈+“J3_Bj2+3\；3C.2冷2+3\：3D.3-•••/2+2-鳶答案：B

解析：该几何体是上面是正四棱锥，下面为正方体的组合体，体积为V=（V3）3+1X^；3）2X2=3\；3+\/2.6.—个棱长为a的正方体的顶点都在一个球面上，该球的表面积为3〃，则a等于（）A.1B.辺C.\焉D.2答案：A_解析：正方体的对角线长等于球的直径，该球的半径为R,则y'3a=2R，所以球的表面为S=4〃R2=〃・（2R）2=3〃a2=3〃，a=1.7．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积比是（）A．1：2：3B．1：7：19C．3：4：5D．1：9：27答案：B解析：考查几何体的体积．可以直接求，也可以用间接法．本题还可以选取特例或特殊值．根据锥体的平行截面性质，如图所示，三个圆锥高的比是1：2根据锥体的平行截面性质，如图所示，三个圆锥高的比是1：2：3，从而它们的体积比是1：8：27.圆锥被分成的三部分的体积的比是1：7：19.8.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，高为1,M为线段AB的中点，则三棱锥C-MC1D1的体积为（）2c.1d.§答案：D1112解析:SACDC=2X1X2=1，・・・VC—MCD=VM-CDC=tS^CDC^h=zX1X2=z.11211113133已知轴截面是正方形的圆柱，高与球的直径相等，则圆柱的表面积和球的表面积的比是（）A.答解析：设球半径为R，则圆柱的高为2R，底面圆的半径为R，S柱=2"R+；；2*・2*=2球球面上有A，B，C三点，AB=AC=2，BC=2，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为（）A.4〃B.6〃C.12〃D.4\亦答案：C解析：由题意知AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形，故△ABC所在圆的圆心在斜边BC的中点处，则有R2=12+^2）2=3，所以S球=4〃R2=4〃X3=12〃，故选C.

二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上一个球的表面积是144〃cm2,它的体积是.答案：288〃cm34〃4〃解析：由公式得S=4〃R2=144〃，故R=6.则V=〒R3=〒X63=288〃.12．已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V=.答案：1+¥解析：该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成，体积v=1+3xix¥=1+¥・326现要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m,长和宽的和为20m,那么仓库的容积的最大值是m3.答案：300解析：设仓库的长为x,则仓库容积为3x(20—x)=—3x2+60x=—3(x—10)2+300,所以当仓库底面为一边长为10m的正方形时，容积最大为300m3.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15〜18小题各10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知圆台的上、下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：设圆台的上、下底面半径为r、R,母线为l,则有〃r2+〃R2=〃(r+R)l,所以l〃□+〃R222+522929=-一=-7—7=-7.即该圆台的母线长为不.〃十2+577长、宽、高分别为80cm,60cm,50cm的水槽中有水216000cm3.求水槽中水面高度；现在水槽中放入一个直径为30cm的铁球，求此时水面的高度(结果保留一位小数).解：设水面高度为xcm,由80X60x=216000得x=45，所以水面高度为45cm.4球体积为3〃r3=4500〃，水槽体积为80X60X50=240000,由于240000—216000=24000>4500〃，所以80X60x=216000+4500〃,x=451516〃心1516〃心47.9此时水面高度约为47.9cm.已知三棱柱三个侧面都是矩形，若底面的一边长为2cm,另两边长都为3cm,侧棱长为4cm,求它的体积和表面积.解：由题意设AB=AC=3,BC=2,AA'=4,则底面BC边上的高为再也―1=2迈,所以体积为V=2x2X2\：2X4=8\_：2cm3,表面积为S=2X§X2X2\：2+(3+3+2)X4=4\;2+32(cm2).—个高为16的圆锥内接于一个体积为972n的球，在圆锥内又有一个内切球，求:圆锥的侧面积；圆锥的内切球的体积．解：(1)如图所示，作轴截面，00］内切于△ABC.设00的半径为R,由题意，得4〃R3=972n,R3=729,R=9,・・・CE=18.由已知CD=16,故ED=2.连结AE，VCE是00的直径，・・.CA丄A|，又AB丄CE,・・・CA2=CD・CE=16X18=288,CA=12\；2.AD2=CD・DE=16X2=32,AD=4于是S=nX410X12-72=96n.圆锥侧TOC\o"1-5"\h\z(2)设内切球半径为r.厂「「•••△ABC的周长为2X(12飞/2+4寸2)=32冷'2，・2"32々2=2x81/2X16.一4256・・・r=4,于是V内切球=3nr3=丁n•18•斜三棱柱ABC—ARC』勺底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC的射影0是厶ABC的中心，AA与AB的夹角为45°.1求证：AA丄面ABC；求此棱柱的侧面积；求此棱柱的体积．解：(1)如图所示，••底面△ABC为正三角形，点片在面ABC上的射影点O为AABC的中心，・••点O在AD上,(D为BC中点)AD丄BC,・・・BC丄AA.1又・・・片点在面ABC上射影点O为厶ABC的中心，而△ABC为正三角形，OA=OB,・・・AA=AB.又VZAAB=45°,111/.△A1AB为等腰直角三角形，即AA】丄A”AA丄BC,ABABC=B,1111・AA丄面ABC.⑵・・•底面△ABC为正三角形，且点t在面ABC上的射影点0为AABC的中心，・・・侧面AA”B与侧