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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列的通项公式为,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列,从上到下的行共个数的和,则数列的前2020项和为()A. B. C. D.2.数列满足,且,,则()A. B.9 C. D.73.已知为虚数单位,若复数,,则A. B.C. D.4.下列四个图象可能是函数图象的是()A. B. C. D.5.已知函数(表示不超过x的最大整数),若有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6.等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A.-2 B.2 C.4 D.77.若复数(为虚数单位),则的共轭复数的模为()A. B.4 C.2 D.8.已知为等腰直角三角形,,,为所在平面内一点,且,则()A. B. C. D.9.已知,则()A. B. C. D.210.记为数列的前项和数列对任意的满足.若,则当取最小值时,等于()A.6 B.7 C.8 D.911.设函数,则,的大致图象大致是的()A. B.C. D.12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,的系数等于__.14.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点,且的最小值为,则该双曲线的离心率是__________.15.在中,角所对的边分别为,为的面积,若,,则的形状为__________,的大小为__________.16.设f(x)=etx(t>0),过点P(t,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,若S(1,f(1)),则△PRS的面积的最小值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0018.(12分)某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动,当天各店铺销售额破十亿,为了提高各店铺销售的积极性,采用摇号抽奖的方式,抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额(单位:千元)的频率分布直方图.(1)求抽取的这家店铺,元旦当天销售额的平均值;(2)估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家;(3)为了了解抽取的各店铺的销售方案,销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究,求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.19.(12分)如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,,,.(1)证明:平面平面;(2),分别是,的中点,是线段上的动点,若二面角的平面角的大小为,试确定点的位置.20.(12分)在极坐标系中,已知曲线C的方程为(),直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且,求r的值.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)求在点处的切线方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有两个实数根,且,证明:.22.(10分)在四棱锥的底面是菱形,底面,,分别是的中点,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(III)在边上是否存在点,使与所成角的余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

由题意,设每一行的和为,可得,继而可求解,表示,裂项相消即可求解.【详解】由题意,设每一行的和为故因此:故故选:D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.2.A【解析】

先由题意可得数列为等差数列,再根据,,可求出公差,即可求出.【详解】数列满足,则数列为等差数列,,,,,,,故选:.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.3.B【解析】

由可得,所以,故选B.4.C【解析】

首先求出函数的定义域,其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到,因为为奇函数,即可得到函数图象关于对称,即可排除A、D,再根据时函数值,排除B,即可得解.【详解】∵的定义域为,其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到,∵为奇函数,图象关于原点对称,∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时,,∴B项不正确.故选:C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力,一般根据四个选择项来判断对应的函数性质,即可排除三个不符的选项,属于中档题.5.A【解析】

根据[x]的定义先作出函数f(x)的图象,利用函数与方程的关系转化为f(x)与g(x)=ax有三个不同的交点,利用数形结合进行求解即可.【详解】当时,,当时,,当时,,当时,,若有且仅有3个零点,则等价为有且仅有3个根,即与有三个不同的交点,作出函数和的图象如图,当a=1时,与有无数多个交点,当直线经过点时,即,时,与有两个交点,当直线经过点时,即时,与有三个交点,要使与有三个不同的交点,则直线处在过和之间,即,故选:A.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域(最值)问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.6.B【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得,再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为,则则故选:B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差,属于基础题.7.D【解析】

由复数的综合运算求出,再写出其共轭复数,然后由模的定义计算模.【详解】,.故选:D.【点睛】本题考查复数的运算,考查共轭复数与模的定义,属于基础题.8.D【解析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系,结合向量的坐标运算,可求得点的坐标,进而求得,由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系,则,,,由,易得,则.故选:D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.B【解析】

结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【详解】由,以及,解得..故选:B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.10.A【解析】

先令,找出的关系,再令,得到的关系,从而可求出,然后令,可得,得出数列为等差数列,得,可求出取最小值.【详解】解法一:由,所以,由条件可得,对任意的,所以是等差数列,,要使最小,由解得,则.解法二:由赋值法易求得,可知当时,取最小值.故选:A【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项,采用了赋值法,属于中档题.11.B【解析】

采用排除法:通过判断函数的奇偶性排除选项A;通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数的定义域为,其关于原点对称,因为,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称,故选A排除;对于选项D:因为,故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.12.A【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【详解】几何体的三视图的直观图如图所示,则该几何体的体积为:.故选:.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.7【解析】

由题,得,令,即可得到本题答案.【详解】由题,得,令,得x的系数.故答案为:7【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,属基础题.14.【解析】

根据双曲线方程,设及,将代入双曲线方程并化简可得,由题意的最小值为,结合平面向量数量积的坐标运算化简,即可求得的值,进而求得离心率即可.【详解】设点,,则,即,∵,,,当时,等号成立,∴,∴,∴.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线与向量的综合应用,由平面向量数量积的最值求离心率,属于中档题.15.等腰三角形【解析】∵∴根据正弦定理可得,即∴∴∴的形状为等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案为等腰三角形,16.【解析】

计算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ∥y轴,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的导数f′(x)=tetx,∴过Q的切线斜率k=t,设R(r,0),则k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,当t>1时,S′>0,当0<t<1时,S′<0,∴t=1为极小值点,也为最小值点,∴△PRS的面积的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),,,;(2)【解析】

(1)根据第1组的频数和频率求出,根据频数、频率、的关系分别求出,进而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根据分层抽样原则,分别从抽出2人,2人,1人,并按照所在组对抽出的5人编号,列出所有2名负责人的抽取方法,得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数,由古典概型概率公式,即可求解.【详解】(1),,,由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为:(2)因为第3、4、5组共有50名学生,所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生,每组分别为:第3组:人,第4组:人,第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取2人,2人,1人设第3组的3位同学为、,第4组的2位同学为、,第5组的1位同学为,则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法,故所求的概率为.【点睛】本题考查补全频率分布表、古典概型的概率,属于基础题.18.(1)元;(2)32家;(3)分布列见解析;【解析】

(1)根据频率分布直方图求出各组频率,再由平均数公式,即可求解;(2)求出的频率即可;(3)中的个数的所有可能取值为,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【详解】(1)频率分布直方图销售额的平均值为千元,所以销售额的平均值为元;(2)不低于元的有家(3)销售额在的店铺有家,销售额在的店铺有家.选取两家,设销售额在的有家.则的所有可能取值为,,.,,所以的分布列为数学期望【点睛】本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于基础题.19.(1)证明见解析;(2)为线段上靠近点的四等分点,且坐标为【解析】

(1)先通过线面垂直的判定定理证明平面,再根据面面垂直的判定定理即可证明;(2)分析位置关系并建立空间直角坐标系,根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系,即可计算出的坐标从而位置可确定.【详解】(1)证明:因为,,,所以,即.又因为,,所以,,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)解:连接,因为,是的中点,所以.由(1)知,平面平面,所以平面.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则平面的一个法向量是,,,.设,,,,代入上式得,,,所以.设平面的一个法向量为,,,由,得.令,得.因为二面角的平面角的大小为,所以,即,解得.所以点为线段上靠近点的四等分点,且坐标为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题,难度一般.(1)证明面面垂直,可通过先证明线面垂直,再证明面面垂直;(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值,要注意结合图形分析.20.【解析】

先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,可得圆心到直线的距离,再由勾股定理,计算即得.【详解】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,可得曲线C:()的直角坐标方程为,表示以原点为圆心,半径为r的圆.由直线l的方程,化简得,则直线l的直角坐标方程方程为.记圆心到直线l的距离为d,则,又,即,所以.【点睛】本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程,是基础题.21.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析【解析】

(Ⅰ)根据导数的几何意义求解即可.(Ⅱ)求导分析函数的单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值求解即可.(Ⅲ)根据(Ⅰ)(Ⅱ)的结论可知,在上恒成立,再分别设的解为、.再根据不等式的性质证明即可.【详解】(Ⅰ)由题,故.且.故在点处的切线方程为.(Ⅱ)设恒成立,故.设函数则,故在上单调递减且,又在上单调递增.又,即且,故只能在处取得最小值,当时,此时,且在上,单调递减.

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