电子能带理论

电子能带理论第一页，共四十三页，2022年，8月28日

2.1近自由电子近似一、能带的形成

零势场中的电子

单电子的运动—势场的单电子：自由电子的运动：

V(r)一维晶体的Schodinger方程：加一项其他粒子对电子的作用势第二页，共四十三页，2022年，8月28日电子在周期性的势场中运动，满足：第三页，共四十三页，2022年，8月28日能带理论：求解金属晶体中电子的容许能态的能带模型能带模型：其一：近自由电子近似其二：紧束缚近似、克隆尼克—潘纳近似、瓦格纳—赛茨近似、原胞和原子轨道线性组合法二、能带形成的微观解释：（1）外层电子共有化第四页，共四十三页，2022年，8月28日晶体中电子的运动b.电子的共有化运动+原子的能级（电子壳层）++a.原子的能级第五页，共四十三页，2022年，8月28日+++++++原子结合成晶体时晶体中电子的共有化运动第六页，共四十三页，2022年，8月28日单个原子两个原子由于晶体中原子的周期性排列而使价电子不再为单个原子所有的现象，称为电子的共有化。晶体中周期性势场第七页，共四十三页，2022年，8月28日对大量原子有规则地排列成晶体时，由于原子离得很近，每个电子不仅受到本身原子核的作用，而且受到邻近原子核的影响,内层电子因受原子核的牢牢束缚而影响较小；价电子或外层电子却不同，外层电子受邻近原子的作用更强，容易脱离原来的原子而进入到其他原子当中。即电子不再分属各个原子所有，而是属于整个原子所共有，这称电子的共有化。

因为当有N个相同的自由原子时，每个原子内的电子有相同的分立的能级，它们是N重简并的，当这N个原子逐渐靠近时，原来束缚在单原子中的电子，不能在一个能级上存在（违反泡利不相容原则）从而只能分裂成N个非常靠近的能级（10-22ev），因为能量差甚小，可看成能量连续的区域，称为能带。第八页，共四十三页，2022年，8月28日孤立原子的能级2p2s1sn=1n=2原子间距电子能量能级分裂2p2s1sn=1n=2电子能量分裂的能级数计算：两个原子组成晶体时2s能级分裂为二个能级；2p能级本身是三度简并，分裂为六个能级。第九页，共四十三页，2022年，8月28日1s2p2sEo原子间距禁带禁带能带第十页，共四十三页，2022年，8月28日（2）电子的Bragg散射与能带电子被晶格散射后的波：第十一页，共四十三页，2022年，8月28日E2E3E5E4E6E7E10E

E~k曲线的表达图式第十二页，共四十三页，2022年，8月28日（3）布洛赫理论（Blochtheory):三维晶体结构晶体结构具有周期性电子所处势场V(x)是周期函数，周期势函数可展开成级数：代入单电子薛定谔方程：求得通解：单电子的运动—势场的单电子，其它粒子对电子的作用看作势

第十三页，共四十三页，2022年，8月28日

布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为：一个自由电子波函数与一个具有晶体结构周期性的函数的乘积。

只有在等于常数时，在周期场中运动的电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。

这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。它是按照晶格的周期a调幅的平面波，通解称布洛赫波，调幅函数与晶体周期相同第十四页，共四十三页，2022年，8月28日在一定波长和角度时幅度为零（对应能隙）其它位置原子能级被调幅（有增有减）成为能带。问题：a、能带理论b、能带模型c、能隙的宽度可用来区分

因此，布洛赫函数是比自由电子波函数更接近实际情况的波函数。第十五页，共四十三页，2022年，8月28日（4）能带理论解释导体、半导体、绝缘体形成a、满带：各能级都被两个自旋相反电子填满的能带满带当电子从原来状态转移到另一状态时，另一电子必作相反的转移，没有额外的定向运动。满带中电子不能形成电流。第十六页，共四十三页，2022年，8月28日导带电子可在外场作用下跃迁到高一级的能级形成电流。故称为导带。b、导带：能级没有被电子填满的能带c、空带：各能级都没有被电子填充的能带d、价带：价电子所处的带称为价带第十七页，共四十三页，2022年，8月28日e、金属、半导体、绝缘体的能带结构导体：价带是导带或等效导带导带满带满带空带满带空带重叠相连绝缘体：只有满带和空带，且禁带宽度较大满带空带禁带例如金刚石中两个碳原子相距15纳米时，Eg=5.33电子伏。第十八页，共四十三页，2022年，8月28日半导体：价带是满带，但是禁带宽度较小导体、半导体、绝缘体的不同，主要是能带结构不同满带空带禁带例如硅Eg=1.14电子伏，锗Eg=0.67电子伏，砷化镓Eg=1.43电子伏。

金属导电与半导体导电的差别：金属导电的载流子是自由电子，半导体导电的载流子是导带中的电子和价带中的空穴。第十九页，共四十三页，2022年，8月28日2.2布里渊区理论

格矢量：

定义：倒格矢：

描述能带结构的模型—布里渊区理论：第二十页，共四十三页，2022年，8月28日晶格的周期性

1晶格周期性的描述——原胞和基矢晶格共同特点——周期性，可以用原胞和基矢来描述

原胞——晶格中最小重复单元第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日原胞——一个晶格中最小重复单元基矢——原胞的边矢量——三维晶格的重复单元是平行六面体——重复单元的边长矢量第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日单胞——为了反映晶格的对称性常取最小重复单元的几倍作为重复单元单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期单胞的基矢——单胞三个边的矢量单胞基矢第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日一些情况下——单胞就是原胞一些情况下——单胞不是原胞简单立方—单胞是原胞面心立方—单胞不是原胞第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日面心立方晶格原胞基矢原胞的体积单胞基矢单胞的体积第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日1)简单立方晶格

——原胞为简单立方晶格的立方单元基矢原胞体积——原胞中只包含一个原子2简单晶格

——由完全等价的一种原子构成的晶格第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日4晶格周期性的描述——布拉伐格子

简单晶格，任一原子A的位矢第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日

能带中的能级数晶体中电子的能量不能取禁带中的数值，只能取能带中的数值。由图5可以看出：第一能带k的取值范围为第二能带k的取值范围为第三能带k的取值范围为每个能带所对应的k的取值范围都是*。注*：我们把以原点为中心的第一能带所处的k值范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的

k值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日布里渊区：布里渊区边界描述了晶体周期性边界（势场）对电子作用。电子先填充低能级，对应等能面离布里渊区边界远，不受周期场的影响，是球面；但随着电子依次向高能级填充，对应等能面接近布里渊区边界，受周期场的影响，发生变形；等能面与布里渊区边界相交时。形成不连续能带。布里渊区的两个著名应用：其一：用来区分金属和绝缘体其二：合金相的琼斯理论第三十页，共四十三页，2022年，8月28日第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日二维正方晶格的布里渊区第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日E第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日第二章复习要点1.近自由电子近似的基本方法2.能带形成及其解释3.布里渊区理论作业：1.什么是费米能？试解释温度升高为什么费米能降低？2.自由电子理论与近自由电子理论的主要结论有哪些不同?第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日一、密度泛函理论

材料科学基本物理原理：材料的性质取决于结构。

结构(r)波函数ψ(r)材料的性质

电子密度n(r)用传统的多体量子力学精确求解薛定谔方程得波函数不现实时，可以从电子密度入手！材料的性质中起主要作用的是基态能，基态能是：基态电子密度的函数：第三章现代电子理论第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日即：

关键要得到E[n(r)]的函数形式!!分析：

晶格振动不计

核、核作用能

电、核作用能

Te—电子振动第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日关键在于求：1)、托马斯—费米理论:为拉格朗日算子，在物理上相当于化学势或电子的费米能(1)动能局域化假设(2)第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日推广：3.3原子的作用力：第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日计算：微扰理论：第三十九页，共四十三页，2022年，8月28日3.4科恩—萨姆泛函第四十页，共四十三页，2022年，8月28日设体系的Hamilton量H中含有某参量λ，En是H的本征值，ψn是归一的束缚态本征函数（n为一组量子数），则证据题设，ψn满足本征值方程：其共轭方程为：对λ求导数并左乘<ψn|得：<ψn|ψn>=1

[证毕]由共轭方程知，上式等号左边第二项为0，H-F定理很有实用价