狭义相对论基础

狭义相对论基础第一页，共五十三页，2022年，8月28日经典力学只适用于大块物体低速运动的情况。当物体的运动速度与光速可比拟时，则要用相对论力学来描述，而微观粒子的运动情况符合量子力学的规律。宏观物体微观粒子经典力学量子力学相对论力学量子力学低速运动高速运动（非相对论形式）（相对论形式）第二页，共五十三页，2022年，8月28日第八章狭义相对论基础力学的研究是建立在时间和空间测量的基础上的。经典力学认为时间间隔和空间间隔的测量是不依赖于参照系的选择的，是绝对的。在此基础上建立的经典力学精确地描述了宏观物体低速运动的情况。如：机器的运转、天体的运动等。但当物体以与光速可比拟的速度运动时，经典的绝对时空观点与实际情况出现了很大的偏差。此时，要以相对论时空观点来描述高速物体的运动情况。第三页，共五十三页，2022年，8月28日(1)

伽利略变换和经典时空观；(2)

洛仑兹变换和相对论时空观；(3)狭义相对论动力学基础。主要内容：返回第四页，共五十三页，2022年，8月28日§8-1

伽利略变换、经典时空观运动的描述是相对的，即在不同的参照系中观察同一物体的运动时，空间位置和运动速度是不同的。其差别由两个参照系的相对运动所决定。牛顿认为：在不同的惯性参照系中，时间间隔和空间间隔的测量不依赖于参照系的选择，而具有绝对的意义。第五页，共五十三页，2022年，8月28日1、加利略坐标变换：设S、S’为两个惯性参照系，对应轴相互平行，X、X’轴重合，S’相对S以匀速u沿X轴正向运动。t=t’=0时，o、o’重合。XYZutxyzoPS系S’系则：同一质点P在S、S’系中的时空坐标有如下关系：称为伽利略坐标变换，由此变换可得牛顿的绝对时空观。正变换：逆变换：第六页，共五十三页，2022年，8月28日2、经典的绝对时空观：(1)同时的绝对性：设某事件在S系中发生在t时刻，在S’系中发生在t’时刻。则：即在S系和S’系中，同一事件发生在同一时刻。第七页，共五十三页，2022年，8月28日(2)时间间隔的绝对性：设某事件在S系中的持续时间为Δt=t2–t1

，在S’系中的持续时间为Δt’=t2’-t1’。即：在不同的惯性系中，同一事件持续的时间相同。或：S系和S’系中的时钟走得一样快。则由同时的绝对性得：第八页，共五十三页，2022年，8月28日(3)空间间隔的绝对性：设一把尺在S系中长为Δx=x2–x1，在S’系中长为Δx’=x’2–x’1

。——————即：空间间隔的测量不依赖于惯性参照系的选择。或：S系中的尺在S’系中长度不变。则由加利略变换：第九页，共五十三页，2022年，8月28日(4)伽利略相对性原理：由伽利略坐标变换式，可得速度变换式：和加速度变换式：所以：即：伽利略相对性原理：或：力学定律的形式对伽利略变换是不变的。在所有惯性系中，牛顿定律的形式是完全相同的。第十页，共五十三页，2022年，8月28日3、绝对时空观的困难：返回(1)因果关系中时序颠倒的问题;(2)超新星爆炸持续时间的问题;(3)经典电磁理论中光速不变问题;(4)微观粒子的静止寿命和运动寿命不同的问题。乙看到球出手的时刻比它实际时刻晚Δｔ′＝ｌ／（ｃ＋Ｖ）．显然Δｔ′＜Δｔ乙看到即将击球的时刻比实际时刻晚Δｔ＝ｌ／ｃ蟹状星云到地球的距离ｌ大约是5千光年，而爆发中抛射物的速度Ｖ大约是1500ｋｍ，用这些数据来计算，ｔ′比ｔ短25年。第十一页，共五十三页，2022年，8月28日§8-2

狭义相对论的两个基本假设第十二页，共五十三页，2022年，8月28日1905年爱因斯坦在《论动体的电动力学》一文中提出了狭义相对论的两个基本假设。从而建立了相对论理论。作为经典电磁理论基础的麦克思韦方程组能不加修改地符合相对论的理论。而牛顿力学则作为相对论在低速情况下的一个特例。(1)狭义相对性原理：(2)光速不变原理：物理定律的形式（力的、光的、电磁的等）在所有惯性系中都是相同的。即所有惯性参照系都是等价的。狭义相对性原理是对伽利略相对性原理的推广。它指出了不可能借助于任何物理测量来识别一个惯性系究竟是固有的运动还是固有的静止。从而否定了以太的存在以及绝对运动和绝对静止的观念。在任何惯性系中，光在真空中的速率都相等。返回§8-2狭义相对论的两个基本假设第十三页，共五十三页，2022年，8月28日§8-3

同时的相对性、时间延缓、长度收缩第十四页，共五十三页，2022年，8月28日1、同时的相对性：YZoS系S’系X设一列车固定于S’系，车厢中部有一闪光灯M’。A’、B’为固定于车厢两端完全同步的时钟。且M’A’=M’B’。某时刻由M’发出一闪光信号。对S’系：因为A’、B’、M’相对S’系静止，所以闪光将同时到达A’、B’。对S系：由光速不变原理，闪光向A’、B’的传播速度均为c，但A’迎着光线运动，而B’背着光线运动，所以闪光将先到达A’而后到达B’。即：闪光到达A’、B’这两个事件在S系看来不是同时的。所以狭义相对论认为：同时是相对的。§8-3

同时的相对性、时间延缓、长度收缩第十五页，共五十三页，2022年，8月28日(1)

在S’系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在S系中也必定是同时发生的；注:(2)

若车厢固定在S系中，则在S’系看来，S系中不同地点同时发生的两个事件在S’系中也不是同时的。这一结果称为倒易性。倒易性是所有惯性系等价的必然结果；(3)

固定在同一惯性系中不同地点的时钟应该是完全同步的。只有这样对时间的测量才有意义；(4)

由绝对时空观，同时是绝对的。若S’系相对S系的速度越大，则闪光到达A’和B’的时间间隔就越大，这说明：时间间隔的量度也是相对的。第十六页，共五十三页，2022年，8月28日S’系2、时间延缓：XYS’系S系o对S’系：因为闪光灯A’和反射镜B’固定于S’系，所以由A’发出闪光经B’反射后回到A’，这两个事件在S’系中的时间间隔为：对S系：闪光由A’经B’反射回到A’这两个事件在S系中的时间间隔为：求得：第十七页，共五十三页，2022年，8月28日某参照系中同一地点先后发生的两个事件的时间间隔称为固有时（原时）。Δt’即为固有时。可见：固有时最短。或：运动的钟变慢。这种相对论效应称为时间延缓或时间膨胀。(1)

时间延缓是一种相对论效应，根据倒易性，S’系中的观察者同样会发现静止于S系中的钟走得慢。注:(2)

若u<<c，则Δt≈Δt’。所以牛顿的绝对时间概念是相对论时间概念在低速运动情况下的特例（或近似）。第十八页，共五十三页，2022年，8月28日例题1例题1：一飞船以u=9×103m/s的速率相对于地面（假定为惯性系）匀速飞行。飞船上的钟走了5s的时间，用地面上的钟测量经过了多少时间？由题意：所以：可见：即使对于9×103m/s这样大的速率来说，时间延缓效应也是很难测量出来的。若：u=0.2c，则Δt=5.103s；u=0.4c，则Δt=5.455s；

u=0.9c，则Δt=11.471s第十九页，共五十三页，2022年，8月28日例题2例题2：带正电的π介子是一种不稳定的粒子。静止时的平均寿命为2.5×10-8s

，然后衰变为一个μ介子和一个中微子。设有一束π介子经加速器加速获得u=0.99c的速率，并测得它在衰变前通过的平均距离为52m。这些测量结果是否一致？若以绝对时间的概念，π介子在衰变前通过的距离为：与实验结果不符。当π介子以0.99c的速率运动时，实验室测得的平均寿命为：若考虑相对论时间延缓效应，则Δt’=2.5×10-8s

为固有时。即在实验室测得它通过的平均距离为：与实验结果相符。第二十页，共五十三页，2022年，8月28日S’系：棒A’B’固定在X’轴上，其长度为l’。在S’系看来，x1相继经过B’、A’的时间为：3、长度收缩：长度的测量建立在同时的基础上。由于同时是相对的，所以长度的测量也是相对的。S系：t1时刻，B’经过x1，t1+Δt时刻，A’经过x1，此时B’的位置一定在x2=x1+uΔt处。即S系中此棒的长度为：XYoXYo第二十一页，共五十三页，2022年，8月28日棒静止时测得的长度称为固有长度（原长）。l’即为固有长度。可见：固有长度最长。或：运动的棒在运动方向上变短。这种相对论效应称为长度收缩或洛仑兹收缩。x1是S系中一固定点，所以B’、A’经过x1这两个事件的时间Δt为固有时。根据时间膨胀效应：所以：XYoXYo第二十二页，共五十三页，2022年，8月28日(1)

长度收缩也是一种相对论效应，根据倒易性，S’系中的观察者同样会发现静止于S系中的棒变短了；注:(2)

若u<<c，则l≈l’。所以牛顿的绝对空间概念是相对论空间概念在低速运动情况下的特例（或近似）；(3)

长度收缩不是物质的一种物理效应，而是和同时的相对性相联系的相对论效应；(4)

垂直于运动方向的棒，其长度保持不变。第二十三页，共五十三页，2022年，8月28日例题3例题3：固有长度为5m的飞船以u=9×103m/s的速率相对于地面（假定为惯性系）匀速飞行。从地面上测量，它的长度是多少？由题意：所以：可见：即使对于u=9×103m/s这样大的速率来说，长度收缩效应也是很难测量出来的。若：u=0.2c，则l=4.899m；u=0.4c，则l=4.583m；

u=0.9c，则l=2.179m第二十四页，共五十三页，2022年，8月28日例题4例题4：从π介子在其中静止的参照系来考虑π介子的平均寿命。（各数据参照例题2）从π介子参照系看来，实验室的运动速率为u=

0.99c，实验室中测得的距离l=52m为固有长度。在π介子参照系中测量此距离应为：而实验室飞过这一段距离所用的时间为：这正好是π

介子的平均静止寿命。返回第二十五页，共五十三页，2022年，8月28日§8-4

洛仑兹坐标变换、

相对论时空观符合爱因斯坦相对论时空观的时—空坐标变换式称为洛仑兹变换。第二十六页，共五十三页，2022年，8月28日XYZyzoPS系S’系1、洛仑兹坐标变换：设某时刻在P点发生的一个事件在S、S’系中的时空坐标分别为:在S系看来P到Y’Z’平面的距离为:所以：utS:(x,y,z,t);S’:(x’,y’,z’,t’)或：x§8-4洛仑兹坐标变换、相对论时空观第二十七页，共五十三页，2022年，8月28日在S’系看来P到YZ平面的距离为:所以：由(1)、(2)式中消去x’，可得：而o,o’的距离为:ut’XYZyzoPS系S’系ut’x’第二十八页，共五十三页，2022年，8月28日垂直于运动方向的长度测量与参照系无关。洛仑兹变换：洛仑兹逆变换：带’与不带’互换u与−u互换第二十九页，共五十三页，2022年，8月28日注:洛仑兹变换把空间测量与时间测量联系了起来。时间作为和空间地位相同的一个坐标而出现，从而导致了统一的四维时空概念。(1)真空中的光速c是一切实物物体运动速率的极限。若u≥c，则洛仑兹公式将失去意义。说明两个参照系之间的相对速率不能大于或等于c。而参照系总是建立在某个物体（或物体组）上的。因此，一物体相对于另一物体的速率不可能大于光速。或：(2)若u<<c，洛仑兹变换式转换为伽利略变换式。(3)第三十页，共五十三页，2022年，8月28日2、相对论时空观：设A、B两事件的时空坐标为：则：所以：S:A(x1,0,0,t1),B(x2,0,0,t2)S’:A(x1’,0,0,t1’),B(x2’,0,0,t2’)第三十一页，共五十三页，2022年，8月28日讨论：(1)

若S’系中，两事件发生于同一地点、同一时刻，即：(2)

若S’系中，两事件发生于不同地点、同一时刻，即：同一地点，同一时刻两事件的同时性是绝对的。不同地点，同一时刻两事件的同时性是相对的。x2’=x1’、t2’=t1’

，则

t2=t1

。x2’≠x1’、t2’=t1’

，则

t2≠t1

。第三十二页，共五十三页，2022年，8月28日讨论：(3)

时间延缓效应：——

时间延缓若S’系中，两事件发生于同一地点，不同时刻，即：x2’=x1’、t2’≠t1’。因Δt’=t2’−t1’为固有时，所以：第三十三页，共五十三页，2022年，8月28日(4)

长度收缩效应：在S系中测量此棒的长度时，必须同时测量其两端x1,x2。即

t2=t1

。所以：或：——

长度收缩若在S’系的x’轴上放一静止的棒，长度为

l’=x2’−x1’，则由洛仑兹变换：第三十四页，共五十三页，2022年，8月28日但可以证明:具有因果关系的两个事件发生的时间顺序，在任何惯性系中都不可能颠倒

!(5)

关于时序问题：若

t2’>t1’，即S’系中B事件迟于A事件发生。但

t2−t1

可大于、等于或小于零。即：两事件发生的时间顺序在不同参照系中有可能颠倒

!?由：得：第三十五页，共五十三页，2022年，8月28日若B事件由A事件引起，则A必向B传递了某种“作用”或“信号”。这一信号在

t1’

到

t2’

时刻由

x1’

传递到

x2’

。“信号速度”不可能大于光速，即：所以：总有

t2>t1。其传递速度为：—

“信号速度”第三十六页，共五十三页，2022年，8月28日例题5例题5：在S’系中，一米尺与o’x’轴成30º角，若要使这米尺与x轴成45º角。则：(1)S’系应以多大速率相对于S系运动？(2)在S系中该米尺有多长？XYo(1)得：(2)返回第三十七页，共五十三页，2022年，8月28日§8-5

相对论速度变换第三十八页，共五十三页，2022年，8月28日速度在S系和S’系中的定义分别为：在洛仑兹坐标变换式中，对t’求导，得洛仑兹速度变换式：S系：S’系：§8-5相对论速度变换第三十九页，共五十三页，2022年，8月28日洛仑兹速度变换：洛仑兹速度逆变换：(1)

在垂直于x方向vy’≠vy、vz’≠vz，是因为S系和S’系中采用了不同的时间坐标所致；(2)

当u<<c时，洛仑兹速度变换将回到伽利略速度变换；(3)

若S’系中一光束沿x’方向以c传播，则在S系中该光束的速度为：可见：洛仑兹速度变换符合光速不变原理。第四十页，共五十三页，2022年，8月28日例题6例题6：地面上空两飞船分别以+0.9c和−0.9c的速度向相反方向飞行，求其中一艘飞船相对另一艘飞船的速度。设S系固定在速度为−0.9c的飞船上，则地面对S系的速度为u=+0.9c。以地面为S’系，则另一飞船在S’系中的速度为vx’=0.9c。由洛仑兹速度逆变换式：相对于地面来说，两飞船的“相对速度”的确等于1.8c。但就一个物体来说，它对任何其他物体或参照系的速度不可能大于c，这才是相对论中速度概念的真正含义。返回XYo+0.9c−0.9c第四十一页，共五十三页，2022年，8月28日1、相对论质量：在相对论力学中，动量守恒定律仍然是成立的，且动量仍表示为：在牛顿力学中，质量m是与物体运动速度无关的常量。而在相对论力学中，为使动量守恒定律的形式对洛仑兹变换保持不变，必须认为物体质量与其运动速度有关。可以证明：式中：m0是物体相对参照系静止时的质量，称为静质量；m是物体相对参照系运动时的质量，称为相对论质量。§8-6狭义相对论动力学基础第四十二页，共五十三页，2022年，8月28日注:式中v是指物体相对某参照系的运动速率，而不是两个参照系之间的相对速率。(1)当v<<c时，m≈m0。此时运动物体的质量近似等于其静质量。这就是牛顿力学的结果。(2)若v→c，则m→∞。这说明，在真空中的光速c是一切物体运动速度的极限。(3)例：当v=104m/s时，m=1.000000001m0当v=0.98c时（如被加速器加速的电子），m=5.03m0第四十三页，共五十三页，2022年，8月28日在相对论中，相对论动量可表示为：质点所受的力，仍然用质点动量的变化率来定义：而用加速度表示的牛顿第二定律公式：在相对论力学中不再成立。第四十四页，共五十三页，2022年，8月28日2、相对论动能：在相对论力学中，静质量为m0，速率为v的质点的动能仍定义为：将该质点的速率从零加速到v的过程中，合外力对该质点所做的功。设质点在外力F作用下产生位移dr，则：即：第四十五页，共五十三页，2022年，8月28日又由相对论质量公式：得：两边取微分：或：比较(1)、(2)两式得：两边积分得：相对论动能公式第四十六页，共五十三页，2022年，8月28日注:当v<<c时:(1)当v→c时，Ek→∞

(m0≠0时)。可见，静质量不为零的质点的速度不可能大于或等于光速c。(2)有一种粒子（如光子）总是以光速c运动。因此，其静质量为零（m0=0）。(3)则:可见经典力学是相对论力学在低速情况下的特例。第四十七页，共五十三页，2022年，8月28日3、相对论能量：

在相对论动能公式中：

为质点静止时的能量，称为静止能量。

为质点运动时的能量，称为相对论能量。

称为相对论质能关系式。第四十八页，共五十三页，2022年，8月28日注:在核反应前后，粒子的总质量会变小，称为质量亏损。由相对论质能关系，得：(2)在几个粒子相互作用的过程中，最一般的能量守恒表达式为：(3)(1)在相对论中，把粒子的能量E和它的质量m直接联系在一起，说明一定的质量相应于一定的能量。两者只差一个恒定的因子c2。即质量的亏损伴随着能量的释放。此时：可见能量守恒和质量守恒在相对论中完全统一了起来。第四十九页，共五十三页，2022年，8月28日例题