湖北省四市2023届起点考试数学试卷（含答案解析）

第第页湖北省四市2023届高三起点考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，，若，则实数的取值范围为() A． B． C． D．【答案】D【解析】2．已知为虚数单位，复数，则() A．3 B．4 C．5 D．25【答案】C【解析】3．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是() A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则【答案】C【解析】4．已知，，则() A． B． C． D．【答案】B【解析】5．已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，，，设，则数列的前10项和为() A．1078 B．1068 C．566 D．556【答案】A【解析】6．我国古代名著《张丘建算经》中记载：今有方雉下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？大致意思：有一个正四棱雉下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1丈尺)() A．1946立方尺 B．3892立方尺 C．7784立方尺 D．11676立方尺【答案】B【解析】7．已知，是自然对数的底数，若，，，则有() A． B． C． D．【答案】A【解析】8．一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球．第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则() A． B． C． D．【答案】D【解析】①计第一步取出两个白球为事件，则，，，②计第一步取出两球为一黑一白为事件，则，，，③计第一步取出两个黑球为事件，则，，，，故由全概率公式，，同理，，．另解：在第一步完成之后，服从超几何分布，故．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是() A．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第75百分位数为7 B．若，，则 C．已知，，若，则，相互独立 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过【答案】BC【解析】10．已知函数，则() A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有4个零点 D．把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则() A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当隨圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1【答案】BCD【解析】12．函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有() A．函数的图象关于直线对称 B．若的导函数为，定义域为，则 C．的图象关于点中心对称 D．设数列为等差数列，若，则【答案】BCD【解析】由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故，是偶函数，对称轴为，A错；由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故，为奇函数，又定义域为，，B对；，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C对；由C选项知，当时，，由等差数列性质，，以此类推倒序相加，D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在中，是边上的点，且，设，则_____．【答案】【解析】14．已知展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为_______．【答案】【解析】15．已知圆：，过点作不过圆心的直线交圆于，两点，则面积的取值范围是________．【答案】【解析】16．在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为________．【答案】【解析】正中，为的中点，则，而平面，平面，即，而，，平面，则平面，平面，有，又，因此与的斜边中点到点，，，的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点，从而点是三棱雉外接球球心，设球的半径为，有，的外接圆圆心为的中点，设为，连接，则平面，如图，则有，即到平面的距离为，因此到平面距离的最大值为，又，即有，解得，，，所以球的体积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知数列前项和为，且，． (1)求； (2)设，求数列的前项和．【解析】(1)，，，，数列为等差数列，且，……3分又时，，，；……5分(2)，，，，两式相减得，．……10分18．(12分)如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，其轴截面是正三角形，点是上一点，，点，是底面圆上不同的两点，是的中点，直线与圆锥底面所成角满足． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值．【解析】(1)，，取的中点，连接，．则，且，平面，平面，即为直线与平面所成角，，从而，由勾股定理得，在中，，所以，……3分平面，，由，平面，所以．……6分(2)以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，得，，，设平面、的法向量分别为，．由，令得，由，令得；所以，则二面角的正弦值为．……12分19．(12分)在中，内角，，满足． (1)求证：； (2)求最小值．【解析】(1)由正弦定理有，从而，则，所以，即有，；……6分(2)由(1)，有，则，……10分故，当且仅当，即，时取等．所以的最小值为3．……12分20．(12分)设某种植物幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： (1)根据以上数据判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程(给出判断即可，不需说明理由)？ (2)根据(1)的判断，建立关于的经验回归方程，估计第100天幼苗的高度(估计的高度精确到小数点后第二位)； (3)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机选取其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线方程的斜率的最小二乘估计为．【解析】(1)，……2分(2)令，则，根据已知数据表得到如下表：，，……4分．……6分，故关于的经验回归方程，……7分令，；……8分(3)这7天中幼苗高度大于的有4天，服从超几何分布，其中，，，；；；所以随机变量的分布列为：，……10分随机变量的期望值．……12分21．(12分)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，，是双曲线上不同于的两点，且，于，证明：存在定点，使为定值．【解析】(1)因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线的标准方程为，代入点坐标，解得所以双曲线的标准方程为；……4分(2)①当直线斜率存在时，设：，设、，联立与双曲线，化简得，……5分，即，则有，，又，因为，……6分所以，所以，化简得，即，所以，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点，……9分②当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线：，与双曲线方程联立解得，此时也过点，综上，直线过定点，……10分由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值．……12分22．(12分)已知函数，是自然对数的底数． (1)当时，设的最小值为，求证：； (2)求证：当时，．【解析】(1)当时，，，……1分由于，，故存在，使得，由基本初等函数性质知，在递增，所以当时，，递减；当时，，递增，所以，设函数，，，故在递减，，所以．……