2020学年冀教版数学九年级下册第三十一章随机事件的概率教案冀教版

第三十一章随机事件的概率

31.1确定事件和随机事件

学习目标

1.理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念；

2.能够识别必然事件、不可能事件和随机事件.（重点）

教学过程

一、情境导入

在一些成语中也蕴含着事件类型，例如瓮中捉鳖、拔苗助长、守株待兔、水中捞月所描

述的事件分别属于什么类型事件呢？

.r

*贽

▼朗

«

■

不

典

二、合作探究

探究点：必然事件、不可能事件、随机事件

【类型一】必然事件

例1下列事件是必然事件的是（）

A.如果㈤=|6|,那么a=6

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

C.圆的半径为3,圆外一点到圆心的距离是5,过这点引圆的切线，则切线长为4

D.三角形的内角和是360°

解析：由于互为相反数的两个数绝对值也相等，因此绝对值相等的两个数可能不相等,

A选项错误；平分的弦若是直径，那么两条直径互相平分，很明显，它们不一定互相垂直，

B选项错误；直接利用勾股定理计算可得，C选项正确；三角形内角和等于180。，D选项错

误.故选C.

【类型二】不可能事件

例2下列事件中不可能发生的是（）

A.打开电视机，中央一台正在播放新闻

B.我们班的同学将来会有人当选为劳动模范

C.在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快

D.太阳从西边升起

解析：“太阳从西边升起”这个事件一定不会发生，所以它是一个不可能事件.故选

D.

【类型三】随机事件

例3下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温

是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360。.其

中是随机事件的是（填序号）.

解析：书的页码可能是奇数，也有可能是偶数，所以事件①是随机事件；100℃的气温

人不能生存，所以不可能测得这样的气温，所以事件②是不可能事件，属于确定事件；骰子

六个面的数字分别是1、2、3、4、5、6,因此事件③是随机事件；四边形内角和总是360°,

所以事件④是必然事件，属于确定事件.故答案是①③.

方法总结：一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发

生的是随机事件.

三、板书设计

必然事件：一定会发生

不可能事件：一定不会发生

随机事件：可能发生

教学反思

本节课由生活中常见的例子，引出必然事件、不可能事件、随机事件的概念，让学生了解到

随机事件发生的可能性有大小，培养学生动脑的习惯，体验生活与新知识的紧密联系，提高

学习兴趣.

31.2随机事件的概率

31.2.1概率的认识

学习目标

1.了解概率的定义，理解概率的意义；（重点）

2.理解。（冷=?在一次试验中有〃种可能的结果，其中4包含加种）的意义.（重点）

教学过程

一、情境导入

在如图所示（48,C三个区域）的图形中随机撒一把豆子，豆子落在哪个区域的可能性最大？

二、合作探究

探究点：简单随机事件的概率

【类型一】概率的简单计算

例1盒子里放有三张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把

两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）

1213

A-B.-C-D.7

3364

解析：分母含有字母的式子是分式，整式a+1,a+2,2中，抽到a+1,a+2做分母

时组成的都是分式，共有3X2=6种情况，其中a+1,a+2为分母的情况有4种，所以能

42

组成分式的概率瓦=1.故选B.

63

方法总结：列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率.

【类型二】利用面积求概率

例2一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概

率是（）

解析：观察这个图可知，阴影区域（3块）的面积占总面积（9块）的（，故其概率为、.故选

A.

方法总结：当某一事件/发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时，概率的计算

方法是事件/所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的总图形面积之比，即

一（力）=事件黑'源1即积概率的求法关键是要找准两点:（1）全部情况的总数；（2）符合条

件的情况数目.二者的比值就是其发生的概率.

三、板书设计

教学反思

教学过程中，强调简单随机事件的概率的计算应确定事件总数及事件4包含的数目.事件力

发生的概率及4）的大小范围是0WP（4）W1.

31.2.2概率的简单应用

学习目标

1.进一步理解概率公式；（重点）

2.能够用概率公式解决简单的实际问题.

教学过程

一、情境导入

一个箱子中放有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个

小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏是否公平.

二、合作探究

探究点：概率的简单应用

【类型一】概率的实际应用

例1小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9

个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（）

1111

A-20B,5C'4D'3

解析：总共有20种情况，抽中数学题有5种可能，所以是故选C.

方法总结：等可能性事件的概率的计算公式：P<A）=~,其中〃是总的结果数，如是该

n

事件成立包含的结果数.

【类型二】与函数有关的问题

例2在了=口2岁口8.口8的“口”中，任意填上“+”或“一”，可组成若干个不同的

二次函数，其中图象的顶点在入轴上的概率为（）

111

A.-B-C-D.I

4J/

解析：在“口”中，任意填上“+”或“一”，共有+++,++—,+-+,+——,

-++,-+一一+,------8种情况，当ac的符号相同时，犬-4ac=0,这种情况有

41

+++,H-----H,---------4种，故图象的顶点在x轴上的概率为［=5.故选C.

oZ

方法总结：图象的顶点在x轴上，即Z/-4ac=0,找出全部情况的总数，再求出符合条

件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.

【类型二】游戏的公平性

例3话说唐僧师徒越过石蛇岭,吃完午饭后,三徒弟商量着今天由谁来刷碗,可半天也没

个好主意。还是悟空聪明，他灵机一动，拔根猴毛一吹，变成一粒骰子，对八戒说道:我们三人

玩掷骰子游戏，游戏规则如下：如果掷到2的倍数就由八戒来刷碗；如果掷到3的倍数就由

沙僧来刷碗：如果掷到4的倍数就由我来刷碗.这个游戏对八戒（填“公平”或“不

公平”）.

解析：骰子6个面上分别标有的数字为1,2,3,4,5,6,其中2的倍数有3个，3的倍数

有2个，4的倍数只有1个，所以八戒刷碗的概率为二3=上1，沙僧刷碗的概率为2：=1」悟空

6263

刷碗的概率为L因为即八戒刷碗的可能性最大，故这么做对八戒不公平.

6236

方法总结：判断游戏是否公平，一般先将各个事件发生的概率计算出来，然后再比较概

率的大小，只有在概率都相等的情况下，游戏才公平.

三、板书设计

随机事件的概率

一般地，如果在一次试验中，有〃种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其

中使事件/发生的结果有血加种，那么事件4发生的概率为OWPOOWl.

教学反思

教学过程中，强调简单的概率的计算应确定事件总数及事件4包含的数目.事件4发生

的概率尸(4)的大小范围是OWPS)W1,通过适当的练习，及时巩固所学知识，引导学生从

练习中总结解题规律，培养学生独立思考与归纳总结的能力.

31.3用频率估计概率

学习目标

1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律.

2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率.

3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系.

教学过程

一、情境导入

养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先

捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后,

再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？

探究点一：频率

【类型一】频率的意义

例1某批次的零件质量检查结果表:

抽检

个数801002003004006008001000

优等品

个数6083154246312486634804

优等品

频率

(1)计算并填写表中优等品的频率；

(2)估计从该批次零件中任取一个零件是优等品的概率.

分析：通过计算可知优等品的频率稳定在0.8附近，可用这个数值近似估计该批次中优

等品的概率.

解：(1)填表如下:

抽检

个数801002003004006008001000

优等品

个数6083154246312486634804

优等品

频率0.750.830.770.820.780.810.79250.804

(2)0.8

【类型二】频率的稳定性

例2在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”、

“3”“4”“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是

解析：随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率愈来愈接近于一个常数，这个常数

即为它的概率.故答案是：接近5

6

探究点二：用频率估计概率

【类型一】用频率估计概率

例3掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是()

A.可能有5次正面朝上

B.必有5次正面朝上

C.掷2次必有1次正面朝上

D.不可能10次正面朝上

解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是1,因此，平均每

2

两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上.选项B、C、D不一定正确，选项A正确，故

选A.

方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很

多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小.

【类型二】推算影响频率变化的因素

例4“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料

球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸

箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中：……多次重复上述过程后，

发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2,由此可以估计纸箱内红球的个数约是_______个.

解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2,说明红球大约占总

数的0.2,所以球的总数为1000X0.2=200,故答案为：200.

方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该

事件发生的概率.概率与频率的关系是：（1）试验次数很大时，频率稳定在概率附近；（2）

用频率估计概率.

【类型三】频率估计概率的实际应用

例5为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归

鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记

的鱼有5条，则鱼塘中估计有一条鱼.

解析：设鱼塘中估计有x条鱼，则5:200=30:x,解得x=l200,故答案为：1200.

方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想.

三、板书设计

I频率的意义影响频率变化的因素|

用频率】计概率U用频率估计概率|

|频率的稳定性频率估计概率的实际应而I

教学反思

教学过程中，强调频率与概率的联系与区别.会用频率估计概率解决实际问题.

31.4用列举法求简单事件的概率

31.4.1用列表法求简单事件的概率

学习目标

1.用列举法求较复杂事件的概率.

2.理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义.

3.用列表法求概率.

教学过程

一、情境导入

希罗多德在他的巨著《历史》中记录，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经

常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公元前1200年，有了立方体的骰子.

二、合作探究

探究点一：用列表法求概率

例1一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1,2两个数字，若

随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号

码之积为偶数的概率是()

1113

AqB.gC，2D.-

解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算.列表分析如下:

12

1(1,1)(1,2)

2(1,2)(2,2)

由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3

3

种：(1,2),(1,2),(2,2),故选D.

【类型二】学科内综合题

例2从0,1,2这三个数中任取一个数作为点尸的横坐标，再从剩下的两个数中任取一

个数作为点P的纵坐标，则点尸落在抛物线y=—f+x+2上的概率为_______.

解析：用列表法列举点尸坐标可能出现的所有结果数和点尸落在抛物线上的结果数，然

后代入概率计算公式计算.用列表法表示如下：

012

0—(0,1)(0,2)

1(1,0)—(1,2)

2(2,0)(2,1)—

共有6种等可能结果，其中点一落在抛物线上的有(2,0),(0,2),(1,2)三种，故

点。落在抛物线上的概率3是1故答案为1*

oz乙

方法总结:用列表法求概率时,应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果.

例3如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5,当合上开关时，至少有一个灯泡发

光的概率是（）

A.0.25B.0.5C.0.75D.0.95

解析：先用列表法表示出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算.列表表示所有可

能的结果如下:

灯泡1发光灯泡1不发光

灯泡2发光（发光，发光）（不发光，发光）

灯泡2不发光（发光，不发光）（不发光，不发光）

根据上表可知共有4种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的结果有3种，二

P（至少有一个灯泡发光）=『故选C.

方法总结：求事件/的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件/包含的可

能结果，再根据概率公式计算.

【类型四】判断游戏是否公平

例4甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1,2,3的大小和形状完全相同

的小球放在一个不透明的口袋中.

（D求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；

（2）从袋中随机摸出一球然后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之

和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜.试分析这个游戏是否

公平？请说明理由.

分析：（1）直接利用概率定义求解；（2）先用列表法求出概率，再利用概率判断游戏的公

平性.

解：（1）A标号是D=鼻.

（2）这个游戏不公平，理由如下：

把游戏可能出现标号的所有可能性（两次标号之

和）列表如下：

第一次和第二次123

1234

2315

3456

54

，尸（和为偶数）=d，A和为奇数）=g,二者不相等，说明游戏不公平.

方法总结：用列举法解概率问题中，可以采用列表法.对于一次实验需要分两个步骤完

成的，用两种方法都可以，以列表法为主.判断游戏是否公平，只需求出双方获胜的概率.

三、板书设计

教学反思

教学过程中，强调在生活、学习中的很多方面均用到概率的知识，学习概率要从身边的现象

开始.

31.4.2用画树形图求简单事件的概率

学习目标

1.进一步理解有限等可能事件概率的意义.

2.会用树状图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重复不遗漏地求出所有可

能的结果，从而正确地计算问题的概率.

3.进一步提高运用分类思想解题的能力，掌握有关数学技能.

教学过程

一、情境导入

学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相

等的四个区域，分别用数字“1”“2”“3”“4”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任

其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则

乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是多少？

二、合作探究

探究点：用树状图求概率

【类型一】摸球问题

例1一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，

小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

,1-11

A.]B.-C.-D.—

解析：用树状图或列表法列举出所有可能情况，然后由概率公式计算求得.画树状图（如

图所示）：

开始

红绿白白

/T\/1\/N

绿白白红白白红绿白红绿白

21

，两次都摸到白球的概率是正=于故选C.

【类型二】转盘问题

例2有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘从B,游戏规定，转动两个转盘各一

次，指向大的数字获胜.现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？

分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果.其中4大于6

的有5种情况，4小于8的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案.

解：选择<转盘.画树状图得:

开始

A295

/1\小ZK

B348348348

・.•共有9种等可能的结果，力大于8的有5种情况,力小于8的有4种情况,

54

・••凡（大于a=不，凡小『用=不，选择力转盘.

方法总结：树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

【类型三】游戏问题

例3甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打.