2022年暑假初升高数学第2讲：集合的表示方法（学生版）

2022年暑假初升高数学第2讲:集合的表示

方法

学习目标核心素养

1.掌握集合的两种表示方法.（重1借.助空集，区间的概念，培养数学抽象的素

点）养.

2.掌握区间的概念及表示方2.通过学习集合的两种表示方法，培养数学

法.（重点）运算的素养.

」新知皿探二

i.集合的表示方法

（1）列举法：把集合中的元素出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写

在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法.

思考1：观察下列集合：

（1）中国古代四大发明组成的集合；

（2）20的所有正因数组成的集合.

问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？

提示：能.（1）中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；（2）中的元素

为:1,2,4,5,10,20.

问题2：如何表示上述两个集合？

提示：用列举法表示.

（2）描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x）,而

不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p（©称为集合A的一个特征性

质.此时，集合A可以用它的特征性质p（x）表示为12W1.这种表示集合的方

法，称为特征性质描述法，简称为描述法.

思考2：观察下列集合：

（1）不等式x-223的解集；

（2）函数y=f—1的图像上的所有点.

问题1：这两个集合能用列举法表示吗？

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提ZF：不能.

问题2：如何表示这两个集合？

提ZF：利用描述法.

2.区间的概念

设a,b是两个实数，且aVb：

(1)集合IxlaWxW6可简写为与，山,并称为闭区间；

⑵集合[xkz<xV(可简写为(a,b),并称为开区间；

(3)集合{x|aW九V/?}可简写为&3，集合{x|“V九W/?}可简写为④_0,并都

称为半开半闭区间；

(4)用“+8”表示正无穷大,用“一8”表示负无穷大,实数集R可以用

区间表示为(一8,十8).

(5)满足不等式x>a和xWb,x<Z?的实数x的集

合用区间分别表示为及，+8),3，+8),(—8,(—8,b).

1.下列判断错误的是()

A.方程r=9的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示

B.不大于2020的自然数构成的集合是无限集

C.集合A=x+=0是空集

D.[xIA2=0}={0}

2.把集合{期?—3x+2=0}用列举法表示为()

A.{x=l,尤=2}B.{x|x=l,x=2}

C.{1—3x+2=0}D.{1,2}

3.用区间表示下列数集.

(l){4x22}=；(2){x|3VxW4}=.

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4.用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

合作探究。提素养

HEZUOTANJIU丁ISUYANG

4声型1用列举法表示集合

【例1】(1)若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是()

A.1B.2C.3D.4

(2)用列举法表示下列集合.

①不大于10的非负偶数组成的集合；

②方程N=x的所有实数解组成的集合；

③直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合；

x+y=1,

④方程组,的解.

X—y=-1

规律方法

用列举法表示集合的步骤

(1)求出集合的元素；

(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次;

(3)用大括号括起来.

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1.已知集合4={—2,—1,0,1,2,3},对任意有同68,且8中只有4

个元素，求集合B.

立型2用描述法表示集合

[例2]试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程/-2=0的所有实数根组成的集合；

⑵由大于10小于20的所有整数组成的集合.

♦律方法

集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素

的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合

时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集

合.

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2.用描述法表示下列集合：

(1)方程f+V—©+Gy+NnO的解集；

(2)二次函数—10图像上的所有点组成的集合.

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类型3/集合的表示法的应用

角度一方程、不等式问题

【例3】若集合A=｛x|o?+ax—1=0｝只有一个元素，则。=()

A.-4B.OC.4D.0或一4

♦律方法

在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与

特性的验证分析，探索参数的取值范围.

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3.若集合人=3加+奴+1=0,xGR｝不含有任何元素，则实数。的取值

范围是.

角度二对参数分类讨论问题

【例4】已知集合a^R｝.

(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合.

(2)若A中至多有一个元素，求。的取值范围.

规律方法

识别集合含义的两个步骤

(1)一看代表元素：例如｛x|p(x)｝表示数集，｛(x,y)|y=p(x)｝表示点集.

(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).

提醒：一般地，集合｛刈⑶=0｝表示方程段)=0的解集；，｛刈口)>0｝表示不

等式,兀劝>0的解集；，｛x[y=*x)｝表示y="x)中x的取值的集合；，(y|y=/(x)｝表

示y=/(x)中y的取值的集合.

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4.若A={x|af+2x+l=0,a£R}=0,求a的取值范围.

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1.。与{0}的区别

(1)0是不含任何元素的集合；

(2){0}是含有一个元素的集合.

2.在用列举法表示集合时应注意：

(1)元素间用分隔号“，”；

(2)元素不重复；

(3)元素无顺序；

(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法

比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的

情况下，也可以用列举法表示.

3.在用描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、

还是集合或其他形式；

(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性

时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑.

4.关于无穷大的两点说明

(1)8是一个符号，而不是一个数；

(2)以“一8”或“十8”为区间的一端时，这一端必须用小括号.

当堂达标。曲5H基

DAZGTAZGDABIACGUSHUANCJI

1.下列说法正确的是()

A.0£0B.。={0}

C.。中元素的个数为0D.。没有子集

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2.已知集合4={0,1,2},则集合8={x-y|xeA,yCA}中元素的个数是()

A.1B.3

C.5