流体力学讲义第一讲

流体力学讲义第一讲第一页，共二十五页，2022年，8月28日2、克罗内克尔符号3、交变符号

四、张量定义定义1：张量作为向量定义的推广

当由一个坐标系转换到另一个坐标系时，向量按下式变换则笛卡儿坐标系所确定的三向量组叫张量是张量的向量分量。

第二页，共二十五页，2022年，8月28日五、张量运算

1、相加

2、外积：r阶和s阶张量的外积是一个r+s阶张量，其分量为

原来张量的各个分量之积。

定义2：向量的并积，就代表一个二阶张量。第三页，共二十五页，2022年，8月28日4、内积：内积是外积的缩并。3、缩并：令张量的两个脚标相等并循环相加。5、张量场的微分：对张量的每个元素取其的导数张量的微分叫做张量的梯度（新得的张量其阶数多1）第四页，共二十五页，2022年，8月28日三、向量微分算子（哈密顿算子）哈密顿算子的符号是，有两种表示方法微分形式：（运算）积分形式：含义，用它作用在一个标量函数上来说明。（场的概念）

1、叫梯度（标量场的最大变

化率和变化率的方向）sv第五页，共二十五页，2022年，8月28日2、微分形式和积分形式是否等价：证明：取的二等值面和两二等值面之间的小圆柱,如图

沿柱面积分，该积分由三部分组成，即

所以：第六页，共二十五页，2022年，8月28日若定义一个向量场，则向量微分算子与它作用后分别得到：叫散度，标量，物理意义叫旋度张量场第七页，共二十五页，2022年，8月28日称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐标系中向量场的通量和散度

物理量的散度可用来判别场是否有源。通量：在向量场a中向曲面S的法向量为n，则曲面积分图0.4.1通量l第八页，共二十五页，2022年，8月28日有源场和无源场：散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场为无源场，否则为有源场。⑴

（常数）

散度的基本运算公式：

（2)(为标量）

（3)

散度anM散度的微分形式为：第九页，共二十五页，2022年，8月28日旋度定义：

取微小圆柱体，取为速度，法线方向为，对整个微元体进行以下积分。和的方向满足右手螺旋法则。定义：环量定义：在向量场a沿有向封闭曲线l的积分称为向量a沿曲线l的环量。向量场的环量和旋度物理量的旋度可用来判别场是否有旋（围绕某点旋转）。第十页，共二十五页，2022年，8月28日可证：旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场，叫旋度场在直角坐标系中表达式：引进哈密顿算子：第十一页，共二十五页，2022年，8月28日旋度运算基本公式第十二页，共二十五页，2022年，8月28日小总结梯度，散度和旋度代表一种向量场或标量场，他们的大小、方向和表达形式都不因直角坐标的变换而变化。梯度：描述标量场的不均匀性或变化率，把标量场变成了

向量场。散度：不描述向量场的变化率，把向量场变成了标量场。旋度：不描述向量场的变化率，不改变向量场的性质。第十三页，共二十五页，2022年，8月28日四、几个重要公式

1、

2、

3、

4、拉普拉斯算子总乘叉乘第十四页，共二十五页，2022年，8月28日五、几个积分定理

1、高斯定理

2、散度定理

3、旋度定理

4、斯托克斯定理斯托克斯定理的证明：对应用散度定理：

旋度经过S的通量环量（体积分与面积分之关系)第十五页，共二十五页，2022年，8月28日由公式知左端积分为零，而右端积分的表面应是包围V的整个曲面，即S加由C所包围的底面所以，，由标量三重积公式

可以写成：，故右端为：，对向量应用散度定理，有：其中是曲线C的外法线向量，是的外法线向量，二者相互垂直，由标量三重积公式可得：所以：Stokes公式联系了面积分和线积分之间的关系。第十六页，共二十五页，2022年，8月28日六、一般正交曲线坐标为什么？实际需要

1、一般曲线坐标系若任一点的坐标位置(x,y,z)可用其它三个独立变量表示，即存在关系式或第十七页，共二十五页，2022年，8月28日即每一组必有一组与之对应，反之亦然（其雅可比行列式不为零2、正交曲线坐标系若空间任意一点，三个坐标线的切线都是正交的，称此坐标系为正交曲线坐标系。沿着坐标线的切线方向的单位向量以表示。3、正交曲线坐标系与笛卡儿坐标的区别

1）在笛卡儿坐标中，沿坐标轴的单位向量是不变的，在正交曲线坐标系中，的方向，一般说，随点的位置而变化。

2）在笛卡儿坐标中，坐标线上的微分增量是dxi,与坐标值的增量是一致的，在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量是dsi,与坐标值的增量dqi则不一定相等。第十八页，共二十五页，2022年，8月28日4、坐标线的切线方向的单位向量的正交性式中为克罗内克符号，i，j，k为1，2，3的循环排列。5、正交曲线坐标系中的拉梅系数在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi不一定相等，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi一般要乘以系数Hi（拉梅系数），才会变成坐标线上的微分增量dsi，即第十九页，共二十五页，2022年，8月28日如何确定Hi？象在笛卡儿坐标中一样，在空间某一点A，沿三个坐标轴为棱边作一微分六面体，由于其边长分别为，，,设AB边在笛卡儿坐标中的分量为dx，dy，dz，由于它们都只是由于dq1的变化而引起的数，故所以第二十页，共二十五页，2022年，8月28日同理：进而可写出弧元素：微元面积：微元体积：第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日6、梯度、散度、旋度在正交曲线坐标系中的表示：

1）梯度

2）散度

3）旋度

第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日4）拉普拉