电功表达式的推导基于不同版本教材的对比

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大学教材在内，只有人教版高中物理选修3-1和粤教版高中物理选修3-1配有插图。人教版的插图为“弯曲的”圆柱形导体的剖面图，粤教版的插图为圆柱形导体的立体图，人教版的插图比粤教版的更具有一般性。此外，人教版所取电路为“很小一段电路”，其余教材多为“一段电路”或“电路”。

（3）众多版本教材中，只有人教版高中物理选修3-1和梁灿彬的《电磁学》表明了公式q=It和W=qU中q、t的含义。相对而言，人教版因对象为中学生，表达更加细致。

二、对教材的答疑解惑

人教版高中物理选修3-1的这一片面表述虽然较为细致，但还是轻易让师生产生诸多“不解”：（1）為什么所取的电路是“很小一段电路”？这样得出的结果对实际电路（较长）适用吗？（2）q=It中的q是指时间t内通过“某一横截面”的电荷量还是指通过“这段电路”的电荷量？二者一致吗？（3）在时间t内，通过某一横截面的电量q刚好从左端移到右端吗？（4）对全体这些电荷所做的总功W为什么刚好等于qU呢？对此，教师需要知道电功表达式的来龙去脉，才能给学生解释领会。

（一）定性分析：等效思想

人教版高中物理选修3-1中之所以取“很小一段电路”，是由于采用了微元的思想，类似于将一段变速直线运动看成由多数段极短时间内的匀速直线运动组合而成。在如此短的导体中自由电荷几乎分布在某一截面（如M）内，因此，在将这片面电荷从截面M移至距之分外近的截面N的过程中电场力所做的功就等于qU。再者，由于导体很小，电荷从截面M移至截面N的时间也很短，且在这段时间内，电荷也恰好完全从截面N移出。由电流的定义式可知，该过程中移动的总电荷量为q=It，代入W=qU，可得W=UIt。

若取较长的一段电路，那么可以通过“等效”的物理思想来分析。在如图1所示的一段电路中，电荷自左向右做定向移动。在时间t内，从这段电路左端进入的自由电荷的电荷量为q=It，而在这段时间内，也有一致电荷量的自由电荷从这段电路的右端穿出。这样一个过程，“相当于”在时间t内，电场将电荷量为q=It的自由电荷从这段电路的左端移到电路的右端（越过MN之间的电路），而这段电路的电荷却保持不变。当然，并不是有电荷q=It直接从电路的左端移动到了右端，而只是在效果上“相当”；电荷分布不变不等于电荷没有移动，它其实是一种动态平衡。这就宛如粗细平匀的水管中匀速滚动的水流一般，确定量的水从一段水管左侧流入的时间内必有一致量的水从右端流出，而这段水管中的水量是保持不变的。

明确了这种等效思想后，就不难理解为何该过程中电场力所做的W=qU了。

实际上，学生在学习机械能学识时常遇到的求重力对“柔嫩体”（外形易变的物体，如绳、链条、液体等）所做的功（或重力势能的变化）问题也用到了这种等效的方法。

譬如，在图3（a）中，开启U型管的阀门后，原本高度差为h的两侧液面最终等高。如要求出此过程中液体重力所做的功或重力势能的裁减量，可以“等效”地认为，仅将左侧上端高h2的液柱移至右侧液面上端，其余片面液柱的位置没有变更，如图3（b）所示，即W=ρSh2g·h2，其中ρ、S分别为液体的密度和U型管的横截面积。

再如，总长L的光滑匀质铁链跨过一个光滑轻质小滑轮，开头时底端相齐，略有扰动后一端下落，那么至铁链刚脱离滑轮的过程中，铁链重力所做的功或重力势能的裁减量的计算可以“等效”地认为，

图4仅将左侧长为L2的铁链移至右侧下端，右侧铁链的位置没有变更，如图4所示，即W=m2g·L2，其中m为整条铁链的质量。

通过上述铺垫，再结合等效思想的分析，学生就轻易理解W=qU以及教材的相关表述了。

（二）定量分析：微积分学识

此外，还可以通过微积分的学识来定量分析更一般的处境。如图5所示，取电路中长为L的一段导体，假定导体粗细平匀，导体左右两端截面分别记为M、N，在M、N之间所加的电压为U，M、N之间导体内自由电荷的总电荷量为Q。

再来看时间t的含义。设导体中自由电荷定向移动的速率为v，那么将M、N之间的全体自由电荷全部移出N所需的时间t=Lv，此时M左侧长为L的导体内的自由电荷恰好全部移进M、N之间；若有长为l的导体中的自由电荷全部从N移出，那么t′=lv≠Lv，此时M左