渐进法和近似法

渐进法和近似法AllRightsReserved第一页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved●本章内容简介:9.1概述9.2力矩分配法的基本概念9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架9.4无剪力分配法9.5*多层多跨刚架的近似计算法第9章渐近法和近似法第二页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.1概述9.1.1基本方法

力法和位移法是分析超静定结构的两个经典的基本方法。9.1.2渐近解法

渐近法具有计算简便、步骤规范、易于掌握且精度可控（由运算次数的多少自行控制计算精度）等优点，因而成为工程设计的适用方法。本章将讨论力矩分配法和无剪力分配法。9.1.3近似解法

分层计算法，适用于计算在竖向荷载作用下的多层多跨刚架；

反弯点法，适用于计算受水平结点荷载作用的多层多跨刚架。第三页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.2力矩分配法的基本概念9.2.1力矩分配法的正负号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。9.2.2力矩分配法的基本思路第四页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.2力矩分配法的基本概念a)实际受力和变形情况第五页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved1.“锁住”结点B，求固端弯矩求结点不平衡力矩9.2力矩分配法的基本概念第六页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved2.“放松”结点B，求分配弯矩和传递弯矩

9.2力矩分配法的基本概念c)放松B点附加刚臂，使之转动qB（放松状态）-第七页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved3.利用叠加原理，汇总杆端弯矩9.2力矩分配法的基本概念d)结算各杆杆端弯矩第八页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先解决三个问题：第一，计算单跨超静定梁的固端弯矩。第二，计算结点处各杆端的弯矩分配系数。第三，计算各杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数。这也就是常称的力矩分配法的三要素。9.2力矩分配法的基本概念第九页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.2.3力矩分配法的三要素1.固端弯矩

常用的三种基本的单跨超静定梁，在支座移动和几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可由力法计算或由表8-1和表8-2中查得。2.弯矩分配系数和分配弯矩(1)转动刚度杆件杆端抵抗转动的能力，称为杆件的转动刚度，AB杆A端的转动刚度用SAB表示，它在数值上等于使AB杆A端产生单位转角时所需施加的力矩。9.2力矩分配法的基本概念第十页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved远端固定，SAB

=4i远端铰支，SAB

=3i杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端的支承情况有关。9.2力矩分配法的基本概念远端滑动，SAB

=i远端自由，SAB

=0第十一页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved(2)弯矩分配系数和分配弯矩9.2力矩分配法的基本概念由，得(a)将式(a)代入上式，得(b)第十二页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved引入弯矩分配系数9.2力矩分配法的基本概念(2)弯矩分配系数和分配弯矩将式(b)代入式(a)，得(j=B、C、D)（9-1）第十三页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReservedMAj称为分配弯矩。同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即9.2力矩分配法的基本概念(j=B、C、D)（9-2）（9-3）（9-4）(j=B、C、D)第十四页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved3.弯矩传递系数和传递弯矩远端弯矩与近端弯矩的比值称为弯矩传递系数。在等截面杆件中，弯矩传递系数C随远端的支承情况而不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下：9.2力矩分配法的基本概念（9-5）第十五页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved3.弯矩传递系数和传递弯矩远端固定：；远端铰支：；远端滑动：；9.2力矩分配法的基本概念利用传递系数的概念，图中各杆的远端弯矩为（9-6）(j=B、C、D)第十六页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.2.4用力矩分配法计算单刚结点结构【例9-1】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。9.2力矩分配法的基本概念a)计算简图b)运算过程第十七页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved绘M图9.2力矩分配法的基本概念c)M图(kN·m)第十八页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved【例9-2】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。9.2力矩分配法的基本概念a)原结构b)简化后结构第十九页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved解：运算过程如图所示d)M图(kN·m)c)运算过程9.2力矩分配法的基本概念第二十页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架对于具有多个结点角位移但无结点线位移（简称无侧移）的结构，只需依次反复对各结点使用上节的单刚结点运算，就可逐次渐近地求出各杆的杆端弯矩。具体作法是：首先，将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后，将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点（其他结点仍暂时固定），这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行反号分配、传递，直到传递弯矩小到可略去不计时为止；最后，将以上步骤所得的杆端弯矩（固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩）叠加，即得所求的杆端弯矩（总弯矩）。一般只需对各结点进行两到三个循环的运算，就能达到较好的精度。第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved【例9-3】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。并勾绘变形曲线。EI为常数。9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架解：运算过程如图所示。第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架M图(kN·m)第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架对于无结点线位移的结构，其结点转角位移除可用单位荷载法（图绘于力法基本结构上）计算外，还可用约束反力矩计算。即将任一结点在各轮渐进计算时的约束反力矩累加起来，再反号后除以该结点所连各杆端转动刚度之和，即得该结点的转角。由此可知，绘变形曲线时，只需将各结点累加起来的约束反力矩反号，就可直接判断结点转角的方向。本例中，结点B和C的转角分别为顺时针和逆时针方向，变形曲线如下图所示。第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved【例9-4】试用力矩分配法作图示无结点线位移刚架的弯矩图。9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved解：运算过程如图所示。9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved【例9-5】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。解：取等效半刚架。各杆的i1、i2值为相对线刚度。a)原结构b)等效半刚架9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved解：运算过程如图所示。9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第三十页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架c)M图(kN·m)a)原结构b)等效半刚架第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved【例9-6】设图示连续梁支座A顺时针转动了0.01rad，支座B、C分别下沉了ΔB

=3cm和ΔC=1.8cm，试作出M图，并求D端的角位移θD。已知EI=2×104kN·m2。9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved解：运算过程如图所示。9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved()9.3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架a)支座移动b)M图(kN·m)c)

图（求qD）第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.4无剪力分配法对于有侧移的一般刚架，力矩分配法并不能单独解算，而必须与位移法联合求解。由于这样作并不简便，因此已很少采用。但是，对于工程中常见的符合某些特定条件的有侧移刚架，我国学者已于20世纪50年代，根据力矩分配法的基本原理，提出了一个非常适用的手算方法，即本节将介绍的无剪力分配法，它可以看作是力矩分配法的一种特殊情况。该方法可极为简便地应用于计算在水平荷载作用下的单跨多层对称刚架。9.4.1无剪力分配法的提出第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.4.2无剪力分配法的应用条件1）各梁两端无垂直杆轴的相对线位移，称为无侧移杆。2）各柱柱端均有侧移，但各柱的剪力是静定的（切断柱截面，由的平衡条件可求出），是特殊的剪力静定杆。9.4无剪力分配法a)原对称刚架b)等效半刚架（反对称荷载）第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.4.3无剪力分配法的计算过程1.剪力静定杆的固端弯矩当锁住结点1和结点2时，图d中剪力静定杆的固端弯矩可查表8-2。应注意：上端滑动支承处还有已知剪力的作用，即上柱柱顶端的实际水平荷载为FP2，而下柱顶端为FP1+FP2。9.4无剪力分配法

无剪力分配法的应用条件是：刚架中只包含无侧移杆（横梁）和剪力静定杆（单柱）这两类杆件。第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReservede)无侧移杆（横梁）c)等代半刚架d)剪力静定杆（单柱）9.4无剪力分配法2.零剪力杆件的转动刚度和弯矩传递系数转动刚度（9-7）第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved弯矩传递系数对于横梁，因其水平移动并不使两端产生相对线位移，不影响本身内力，故仍视为一端固定、一端铰支的单跨梁。9.4无剪力分配法（9-8）第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved【例9-7】试作图示刚架的弯矩图。各杆的EI为常数。9.4无剪力分配法a)单跨侧移刚架b)剪力静定杆第四十页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved解：运算过程如图所示。9.4无剪力分配法第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved绘M图c)M图(kN·m)9.4无剪力分配法第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.5*多层多跨刚架的近似计算法9.5.1分层计算法

分层计算法适用于多层多跨刚架承受竖向荷载作用时的情况。1.两个近似假设第一，忽略侧移的影响。第二，忽略每层梁上的竖向荷载对其他各层的影响。第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved2.基本作法9.5*多层多跨刚架的近似计算法a)原结构b)分层刚架第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.5.2反弯点法反弯点法是多层多跨刚架在水平结点荷载作用下最常用的近似方法，对于强梁弱柱的情况最为适用。1.变形和受力特征

(1)各杆的弯矩图都是直线，每杆均有一个反弯点。如能确定各柱反弯点的位置和反弯点处的剪力，则各柱端弯矩即可求出，进而可算出梁端弯矩。9.5*多层多跨刚架的近似计算法直线M图和反弯点第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved9.5.2反弯点法(2)结点侧移是主要位移，结点转角对刚架的弯矩影响很小（强梁弱柱尤其如此）。9.5*多层多跨刚架的近似计算法1.变形和受力特征反弯点法是多层多跨刚架在水平结点荷载作用下最常用的近似方法，对于强梁弱柱的情况最为适用。直线M图和反弯点第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved忽略结点转角，将刚架中的横梁化为刚性梁（EI=）。这样，结点转角为零，只有侧移，各柱的反弯点必在柱高中点。3.基本作法(1)计算柱的侧移刚度系数k2.一个近似假设9.5*多层多跨刚架的近似计算法第四十七页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved(2)求剪力分配系数hi和同层各柱剪力FQ9.5*多层多跨刚架的近似计算法由，得将式(b)代入式(a)，得(b)(a)第四十八页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved称为剪力分配系数。如果同层各柱等高，则9.5*多层多跨刚架的近似计算法（9-9）(i=1,2,3)(d)将式(c)代入式(b)，得令第四十九页，共五十六页，2022年，8月28日AllRightsReserved如果同层各柱等高，则即亦式中，ii=EIi/h，为该层各柱线刚度。(3)各柱上、下两端弯矩(4)梁端弯矩1）对于边柱，梁端弯矩为M=