河北省承德市湾沟门乡办中学2023年高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省承德市湾沟门乡办中学2023年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，求的值为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C解析：

令

得；

（1）

令

得；

（2）令

得；

（3）（2）＋（3）得，故，再由（1）得。2.已知函数图象过点，则图象的一个对称中心是(

)A． B． C． D．参考答案：B考点：正弦函数的图像3.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

A．8

B．

C．10

D．参考答案：C本题考查了三视图的相关知识，难度中等.由三视图可知，该四面体可以描述为：面,,且,从而可以计算并比较得面的面积最大，为10，故应选C.5.如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60o，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（A）arcsin

（B）arccos（C）arcsin

（D）arccos参考答案：答案：D6.庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排往前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有

A．36种；

B．42种；

C．48种；

D．54种参考答案：B略7.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,…800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[1,200]的人做试卷A，编号落在[201,560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为(

)A.10 B.12 C.18 D.28参考答案：B，由题意可得抽到的号码构成以为首项，以为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为，落入区间的人做问卷，由，即，解得，再由为正整数可得，做问卷的人数为，故选B.8.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（） A．3000 B． 3300 C． 3500 D． 4000参考答案：考点： 函数最值的应用．专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用．分析： 由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0≤x≤70，x∈N），则y=（3000+50x）（70﹣x）﹣100（70﹣x），利用基本不等式求最值时的x的值即可．解答： 解：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0≤x≤70，x∈N）则y=（3000+50x）（70﹣x）﹣100（70﹣x）=（2900+50x）（70﹣x）=50（58+x）（70﹣x）≤50（）2，当且仅当58+x=70﹣x，即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000+300=3300（元），故选B．点评： 本题考查了学生由实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．9.抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是

（A）1

（B）8

（C）

（D）参考答案：10.在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为

A.直角三角形

B.钝角三角形

C.等边三角形

D.等腰三角形但不是等边三角形.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为等比数列的前项和，已知，，，则公比________.参考答案：412.若正数a，b，c满足+=+1，则的最小值是．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，对+=+1变形可得++=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得++=+++++≥6，即可得2（）+1≥6，化简可得答案．【解答】解：根据题意，若+=+1，则有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，则有2（）+1≥6，化简可得≥，即的最小值是；故答案为：．13.已知二次函数的值域为，则的最小值为_________.参考答案：略14.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为．参考答案：【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=++2×=．故答案为：．15.如图，设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC,AD两两互相垂直，且AB=AC=,AD=2，则OD与平面ABC所成的角为__________w。参考答案：；（或30°）略16.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为

．参考答案：

17.已知命题，则命题

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，满足：（I）求；（II）数列满足，数列的前项和为，求证.参考答案：19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点．（1）求证：平面；（2）当为何值时，二面角为．参考答案：（1）见解析（2）知识点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．解析：解：（1）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

∵，，是中点，

∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），＝(0，1，?1)，＝(，1，?1)，F（0，，），=（0，，），

∵，∴，∴平面．

（2）设BE=a，∴E（a，1，0），＝(a?，1，0)，＝(，0，?1)，

设平面PDE的法向量＝(x，y，z)，

则，

取x=1，得=（1，?a，），

平面PCE的法向量为＝(0，，)，

∵二面角C-PE-D为45°，

∴，

解得a=∴当BE=时，二面角C-PE-D为45°．

AF⊥平面PBC．思路点拨：（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥平面PBC．（2）设BE=a，求出平面PDE的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出当BE=时，二面角为45°．20.求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从8只吉祥物中选5只，满足条件的事件是选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”，共有C21C31种结果，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）ξ表示所得的分数，则ξ的取值为100，80，60，40．结合变量对应的事件，根据古典概型的概率公式和互斥事件的概率公式得到变量的分布列和期望．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从8只吉祥物中选5只，共有C85种结果，满足条件的事件是选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”，共有C21C31种结果∴选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率．（2）由题意知ξ表示所得的分数，则ξ的取值为100，80，60，40．根据古典概型的概率公式和互斥事件的概率公式得到；；；．∴ξ的分布列为∴．21.在中，BC=1，求的值。参考答案：（Ⅰ）由cosA＝sinC，得cosA＝cos(－C)，因为A∈(0，)，－C∈(－，)，所以A＝－C，或A＝C－，若A＝－C，则A＋C＝，B＝，这与cosB＝矛盾．所以A＝C－＝p－(A＋B)－，即2A＝－B，………………………5分所以cos2A＝sinB＝＝，即1－2sin2A＝，因为sinA＞0，所以s