浅谈初中数学教学中的概念教学

浅谈初中数学教学中的概念教学第一页，共三十七页，2022年，8月28日

概念教学在数学教学中有着极其重要的地位，它一直是数学教学研究的一个主题．当前的课改实践中，存在轻视数学概念的教学，忽视数学概念的抽象逻辑建构特征，过于强调情景化、生活化、活动化的倾向.所以，应更深入地研究概念教学，以丰富概念教学法的知识并指导实践.

下面我们以“圆周角”、“函数”这两个概念的教学为例进行探讨第二页，共三十七页，2022年，8月28日

一种是以“圆心角”为基础，带领学生进一步研究与圆有关的角.1、给出一些圆周角,让学生归纳出圆周角的定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.(学生利用已有认知结构中的有关知识理解新概念，这种方式叫概念同化.)2、通过图形辨析巩固圆周角的定义，对它进行分类：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部.3、引导学生探究圆周角的性质：圆周角定理4、利用圆周角解决有关数学问题以及生活中的实际问题.“圆周角”是一个几何概念，对于它的教学常见的方式有两种：第三页，共三十七页，2022年，8月28日

另一种是以某种生活情景为背景，给出能用“圆周角解决的实际问题，引出“圆周角”，研究“圆周角”.与前一种的区别在于问题源于“生活情景”.而前一种是“数学情境”.情境的英文是Context，它的意思是上下文、前后有关联的东西.“情境”有别于“情景”，情景”的“景”是具体、直观和吸引人的，而“情境”的“境”是指构成和蕴涵在情景中的那些相互交织的因素及其相互之间的关系，是一种以激发学生问题意识为价值取向的刺激性的数据材料和背景信息.

第四页，共三十七页，2022年，8月28日从本质上讲，产生学习的根本原因是“问题”没有问题也就难以诱发和激起求知欲，感觉不到问题的存在，学生也就不会去深入思考.因此，情境创设应强调其问题导向性和衍生性，让问题成为学习的动力、起点和贯穿学习过程中的主线，把学习过程看作是发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，激发学生强烈的学习愿望，从而注意力高度集中并积极主动地投入学习，培养学生勇于探索、创造和追求真理的科学精神.

第五页，共三十七页，2022年，8月28日我们再来探讨函数概念的教学.

函数概念是中学数学中的最重要概念之一，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终．理解函数概念及由其反映的数学思想方法，学会用函数的观点和方法解决数学问题和现实问题，是中学阶段最重要的数学学习任务之一．因此，搞好函数概念的教学至关重要.另一方面，函数概念因其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一，无论是教师的教还是学生的学，都存在很大困难．第六页，共三十七页，2022年，8月28日“函数”的教学一般都是从生活情景中选取实例，先抽象出常量和变量的概念，进而抽象、归纳出函数的概念.

这是数学概念教学的另一类常见类型：概念形成.概念形成是以学生的直接经验为基础，用归纳的方式抽取出一类事物的共同属性，从而达到对概念的理解.因此，在教学方法上的表现与布鲁纳倡导的“发现法”一致，适合低年级的学生学习数学概念，也适合“原始概念”的学习.因为原始概念多是建立在对具体事物的性质的概括上，依赖的是学生的直接认识与直接经验.第七页，共三十七页，2022年，8月28日

数学概念形成的教学要强调让学生经历概念的概括过程．其基本环节：①情境引入；②具体例证的属性分析、比较、综合；③概括共同本质特征得到概念的本质属性；④下定义（准确的数学语言描述）；⑤概念的辨析──以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；⑥用概念作判断──形成用概念作判断的“基本规范”；⑦概念的“精致”──建立与相关概念的联系．

第八页，共三十七页，2022年，8月28日而“圆周角”的概念教学是：概念同化.概念同化则以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用理解概念，因而在教学方法上多是直接呈现定义，与奥苏贝尔（Ausubel）的“有意义地接受学习”方法基本一致.由于数学概念具有多级抽象的特点，学生学习新概念在很大程度上依赖旧概念以及原有的认知结构，因此概念同化的学习方式在概念学习在经常使用，特别对高年级学生的学习更加适用.第九页，共三十七页，2022年，8月28日概念是什么？概念是人们在社会实践中形成的思维形式，是人们对客观事物的本质、事物的全体、事物的内部联系的认识.每一个概念都包含着两个方面：一个是它反映的事物的本质，这叫做概念的内涵；一个是它所反映的事物的范围，也即所反映的事物的全体，这叫做概念的外延.一.概念、数学概念第十页，共三十七页，2022年，8月28日

概念是人们对事物本质的认识，逻辑思维的最基本单元和形式.概念的辩证法是指概念的形成、变化和发展以及概念间的联系和转化的辩证关系.对概念的辩证本性的研究，是辩证逻辑的主要内容.从生动的直观到抽象的思维，形成一系列概念，这些概念的真理性又要返回实践中接受检验.如此循环往复，是人的认识日益接近于客观现实的一般途径.科学认识的主要成果就是形成和发展概念.概念越深刻、越正确、越完全地反映客观现实.概念的最基本特征是它的抽象性和概括性.第十一页，共三十七页，2022年，8月28日人们认识周围事物最初形成的概念是前科学思维时期的日常生活概念.这种最初形成的概念，通常是作为对周围事物的感性经验的直接概括，并不具有很高的抽象性.科学思维中运用的概念即科学概念，是在相关理论指导下形成的，而且它总是处于特定的理论系统之中，具有较高的抽象性和概括性.人们对于同一事物的认识，往往形成不同内容的科学概念.不同的学科对于同一事物会形成不同内容的科学概念，而在同一学科的不同理论中，对于同一事物也会形成不同内容的科学概念.人们对于特定事物的本质的认识，即科学概念的内容，并不是单一的、无条件的，而是多方面的、有条件的.概念总是随着人的实践和认识的发展，处于运动、变化和发展的过程中.这种发展的过程或是原有概念的内容逐步递加和累进，或是新旧概念的更替和变革.第十二页，共三十七页，2022年，8月28日数学概念是什么?

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式.

在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础.正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.第十三页，共三十七页，2022年，8月28日

数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心.概念学习是数学学习的核心之一.概念学习的研究一直是心理学研究的重要课题，包括对概念的分类、概念的结构、概念获得、概念的运用等方面的研究.概念获得的研究是概念学习研究中的一部分重要内容.二十世纪以来，许多学者从哲学、心理学、数学本身及数学教育等不同方面揭示了数学概念及其获得的规律，为数学概念获得的教与学的系统研究奠定了基础.第十四页，共三十七页，2022年，8月28日

从数学本身的发展来看，数学概念的来源一般认为有两方面：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得，二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获.所以，数学概念既有抽象性，也有它的具体内容.也就是说，一方面，数学概念是感官对外在经验的活动或思考，经由抽象之后所得的数、量、形的性质，或者是历代数学家把前代的概念结果更加抽象化、一般化而得来的.二.数学概念的基本特征第十五页，共三十七页，2022年，8月28日

但另一方面，从学生学习的角度看，数学概念的获得又不完全是一个逻辑的过程，将受到学生个体的思维发展水平及教学方式、环境等的影响.因此，我们可以从两个不同的角度来分析数学概念的特点：一是作为科学对象，二是作为学习对象.当然，两者之间有着密切的联系.另外，还需要说明的是，我们这里讨论的是数学概念的一般特征，而不是学生个体所掌握的数学概念的特点.个体所掌握的数学概念是与他本人的数学认知结构水平相适应的，即同一个数学概念，由于认知水平的不同，存在着不同水平的理解.第十六页，共三十七页，2022年，8月28日数学本身的一个基本特点就是抽象性，数学概念的发展也是一个抽象的结果.（1）数学抽象的基本方法数学抽象主要有两条途径：等势抽象与理想化，其中最基本的是等势抽象.等势抽象的过程涉及以下四种本质的数学活动：①构造集合.首先要根据目标明确集合的性质，然后根据性质辨别所需对象的属性，区分出满足集合性质的元素，从而最终确定集合的外延.②建立等价关系.选择一定的数学等价关系来划分集合，检验等价关系应满足的三个条件.③确定等价关系.也即根据已知的等价关系判断元素之间的等价性，类化集合元素，并从每一个等价类中选定一个代表元素组成一个新的集合.④符号化.也即把所构造出来的新的数学对象用符号表示，并用形式符号代替具体的对象参与思维，从而简化思维过程.1.数学概念发展的抽象性第十七页，共三十七页，2022年，8月28日

数学中的另一种抽象途径就是理想化.所谓理想化就是在现实原型的基础上，抽象出本质的属性或者推断出潜在的可行性，然后摒弃所有其他的属性，从而使原型蜕化为数学模型的过程.在理想化的过程中，最重要的一条数学能力就是构造数学模型的能力.从心理过程上看，数学概念的形成也有两种基本的抽象方式：①“一般化抽象”，也即减少概念的限制，使其适用于更规范的情境；②“分离式抽象”，也即通过将概念与背景相分离而达到抽象的目的.第十八页，共三十七页，2022年，8月28日

数学中的大多数概念都是一般化抽象的结果，分离式抽象一般只出现在一些由定义给出的概念中.数学定义并非一开始就是精确的，其中有一个抽象化和精致化的过程：①产生一个模糊的想法；②尝试对这个想法用语言进行描述；③通过形式的定义得到初步的概念；④尝试由定义给出具体的例子、推出某些性质、验证相关的定理、寻找等价或者相似的对象；⑤对原先的定义进行修正以排除那些不合理的推论；⑥调整、变更或者拓展对概念的理解，以便适应新的可能性.第十九页，共三十七页，2022年，8月28日(2）数学抽象的特点可以说，人类社会中的几乎所有的概念都是抽象的结果，但与其他学科相比，数学抽象有其自身的特点.一是出于新结构的需要；二是构造一个新的抽象集合；三是通过确认新的结构而不断重构已知的抽象集合，使其更便于使用.

第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超出了其他学科在的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋与抽象概念和它们的相互关系的圈子之中.第二十页，共三十七页，2022年，8月28日（3）数学抽象的水平分析

其一是依据思维主体与客体之间的关系.

其二是依据对过程——对象两重性的反思水平.

其三是依据数学抽象的复杂度.第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日

概念表征是概念学习的一个重要研究课题.所谓表征是用某一种形式，将事物或想法重新表现出来，以达到交流的目的；当其所表现的意义能切实掌握后，表征可进一步地成为思维的材料，从而简化解题过程.表征就是以一物代替另一物.表征在活动中具备两种功能：沟通工具以及思维的材料.作为沟通的工具，是用特定的表征形式，来描绘活动经验；作为思维的材料，是用表征来代表物化的数学概念或内蕴化地活动类型，而对表征所代表的意义进行思维操作.2.数学概念表征的多元性第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日

数学概念表征的多元性还反映在学习者对概念的理解上，从概念的认知角度看，学习者对概念的表征可以分为内部表征和外部表征.其中，内部表征是指个体对所学概念的可能的心理构造，而因为是内部的，所以这种表征一般不能被直接观察到，需要通过合适的评价工具.与内部表征相反，外部表征是一种物理的、可观察的行为或对象，如文字、符号、图形等，但通过这些可观察的外部表征并不总是能够反映个体真实的内部表征.第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日

首先，根据数学概念发展的抽象性，都有一个按层次递进的过程；其次，不同的数学概念表征在一定程度上反映个体对概念的不同理解.直接由感知得到的概念称为初级概念，由初级概念再抽象之后得到的概念称为二级概念.具体化的概念；过程性的概念；形式化的概念.具体期；确认期；分类期；产生期；形式期.数学概念理解的层次性除了有数学本身的特点所决定外，也与学习者个体的心理发展水平有关.依据数学概念理解层次来探讨合适的学习序列，一直是数学教育工作者致力研究的方向.3.数学概念理解的层次性第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日

数学概念的前三个特征直接导致了它的第四个特征：数学概念具有广泛的联系.这里的联系既包括概念与其背景的联系，也包括概念之间的联系；既有纵向的联系，也有横向的联系.概念的系统化程度也是评价学生概念理解的一条重要指标.学生要理解一个数学概念，就必须围绕这个概念逐步建立一个概念网络，这个网络越丰富越复杂，这个学生的理解也就越深刻.4.数学概念联结的系统性第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日三.数学概念的学习

1.数学概念的形成

概念形成的核心是理解，而理解是一种心理结构的构造过程，因此概念就是理解状态的某种心理表征，而这个结果又影响下一次的概念形成，构成了一个所谓的理解循环.特征分析理论认为概念是一组特征，这些特征的联结规则是从例子中抽象出来的，这些抽象出来的特征就是决定定义作用的一组特征.原型理论认为自然概念是原型，而不是一系列的特征.一个类别的原型是该类别实例的核心趋势，原型具有该类别大多数成员所共有的大多数属性，且有非该类别成员的最少属性，原型具有最高的提示效果，最能提示某一实例属于何种类别.

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实例对比理论是布鲁克斯（Brooks,1978）提出的.他认为概念形成是隐含的、非分析的，并不是有意识地提出假说.他指出许多自然概念太复杂，不能通过分析学习，而为了判断类别成员而去检验关键性特征是否存在，这又是个麻烦的方法.因此，他认为人们在学会某一类别的一个实例后，鉴别后来的实例是通过已知实例的总体相似性的比较而进行的.除此之外，维格诺德（Vergnaud,1983）用概念域C=(S,I,R)来说明概念的形成，并将一组情境（S）视为建立概念（C）的第一个维度，（I）是从一组情境中抽离出其不变性，然后用符号表征（R）其不变性.第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日

上述概念形成的方式虽有不同的理论和观点，但概念形成基本上需要两个条件：一是学习者必须从许多事物、事件或情境中认识或抽象出它们的共有特征，以便进行概括；二是学习者必须能够辨别与概念相关或不相关的标志，以便进行区别归类.换言之，在概念形成的过程中，具有分类和辨别的能力是十分重要的.

斯根普（Skemp,1971）提出两条教学原则：（1）超过个人已有概念层次的高价概念不能用定义方式来沟通，只能搜集有关的例子供其经验，再靠他自已抽象以形成概念.（2）在数学中，由于与所学概念相关的例子中常常又会含有其他概念，因此在提供例子时必须确定学生已经形成这些预先概念.第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日2．数学概念的同化

在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念联系去学习和掌握概念的方式，叫概念的同化.概念同化的心理过程包括以下几个阶段：（1）辨认.辨认定义中的新观念哪些是已有概念?新旧观念之间存在什么关系?辨认构成包含了回忆与知识的重现.（2）同化.建立新概念与原有概念之间的联系，把新概念纳入原认知结构中，使新概念被赋予一定的意义.（3）强化.通过将新概念与某些反例相联系，使新概念更加稳固和清晰.第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日

概念形成是以学生的直接经验为基础，用归纳的方式抽取出一类事物的共同属性，从而达到对概念的理解.因此，在教学方法上的表现与布鲁纳倡导的“发现法”一致，适合低年级的学生学习数学概念，也适合“原始概念”的学习.因为原始概念多是建立在对具体事物的性质的概括上，依赖的是学生的直接认识与直接经验.

概念同化则以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用理解概念，因而在教学方法上多是直接呈现定义，与奥苏贝尔（Ausubel）的“有意义地接受学习”方法基本一致.由于数学概念具有多级抽象的特点，学生学习新概念在很大程度上依赖旧概念以及原有的认知结构，因此概念同化的学习方式在概念学习在经常使用，特别对高年级学生的学习更加适用.第三十页，共三十七页，2022年，8月28日

应当指出，概念形成与概念同化不是相互独立和互不相关的.概念形成包含着同化的因素，要用具体的、直接的感性材料同化新概念.同样，概念同化也不能脱离分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素.在数学概念学习中，两种方式不能孤立使用，如果仅用概念形成方式学习，显然不符合学校学习的经济性原则；而仅仅用概念同化方式学习，由于数学概念的高度抽象性，学生比较难以把握概念背后的丰富内容，难以理解概念的关键属性，因此应该把两者结合起来使用.教师可以在揭示概念的定义后，引导学生在定义的指导下去观察实际事例，定义的向导可以使学生比较容易地揭示事例中包含的与概念有关的关键属性.同时，通过正例与反例的应用，通过学生自己对事例的比较、分析、概括、分化和类化等，可以使概念的关键属性变得清晰，使事例成为理解概念的一种思维载体，然后引导学生将新概念与已有的认知结构中的有关概念建立联系，形成概念系统.第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日3.数学化与寻找意义

与形式化过程相关的是一种称为“数学化”的过程.数学化是弗赖登塔尔提出的数学教学的基本原则之一，其含义是数学地组织现实世界的过程.“笼统的说，人们在观察现实世界时，运用数学方法研究各种具体现象，并加以整理组织，对于这一过程，我称之为数学化.”他强调数学化的对象分为两大类：一类是现实客观事物，另一类是数学本身.对客观世界进行数学化的结果是数学概念、运算法则、规律和定理、为解决具体问题而构造的数学模型等；对数学本身进行数学化，既可以是某些数学知识的深化，亦可以是对已有的数学知识进行分类、整理、综合、构造，以形成不同层次的公理体系和形式体系，使数学知识体系更系统、更完美.第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日4.数学概念学习的认知障碍

准确地了解学生在概念学习中遇到的认知障碍是教学中做到“对症下药”的前提.

维果茨基认为，概念学习主要有三个困难：一是迁移，即设法把特定情境中形成的概念运用于一组新的物体或环境；二是给一个概念下定义，即在不涉及任何具体情境或印象的抽象水平上加以系统的阐述；三是在最终掌握概念并在抽象水平上系统阐述概念以后，把概念运用于必须借助于这些抽象的术语来加以观察的新的具体情境，这是最困难的.第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日数学概念的教学主要涉及以下几个环节：概念探究在特定的背景下，通过合