江西省萍乡市界头中学2022年高三数学文月考试题含解析

江西省萍乡市界头中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从已有3个红球、2个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球中至少有1个白球的概率是

(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：B2.已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。与C交于A,B两点，=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为A．18

B.

24

C.

36

D.

48参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的关系．H8

【答案解析】C解析：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴，∴|AB|=2p=12，∴p=6又∵点P在准线上，∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP?AB）=×6×12=36，故选C．【思路点拨】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．3.若，则的大小关系为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D∵0＜a＜b＜1，ab∈（0，1），logba＞logbb=1，z=＜0，则的大小关系为．故选：D．

4.已知直线：x+ay+6=0和:（a-2）x+3y+2a=0，则∥的充要条件是a=（

）

A．3

B．1

C．-1

D．3或-1参考答案：C略5.如图，已知等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C,选C.6.函数的零点一定位于的区间是

（

）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）参考答案：C略7.已知函数，下列判断正确的是（）A.在定义域上为增函数 B.在定义域上为减函数C.在定义域上有最小值,没有最大值 D.在定义域上有最大值,没有最小值参考答案：C【分析】求出函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最小值即可．【详解】∵,∴,令,得,∴当x

时,,单调递减．当

时,,单调递增,所以,无最大值．故选：C．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力．8.若是锐角三角形，向量p=(sinA，cosA)，q=(sinB，-cosB)，则p与q的夹角为

A．锐角

B．直角

C．钝角

D．以上均不对参考答案：答案：A9.下列试验能构成事件的是(

)A、掷一次硬币

B、射击一次C、标准大气压下，水烧至100℃

D、摸彩票中头奖

参考答案：D10.“”是“”的(

)A．充分不必要条件

B.必要不充分条件C．充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：【答案】A【解析】由得，所以易知选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若角的终边落在射线上，则=____________。参考答案：012.函数的反函数为．参考答案：y=arcsinx，x∈[﹣1，1]【考点】反函数．【分析】得出值域为[﹣1，1]，求解x=arcsiny，y∈[﹣1，1]，换变量写出解析式即可．【解答】解：∵函数的值域为[﹣1，1]，x=arcsiny，y∈[﹣1，1]，∴反函数为：y=arcsinx，x∈[﹣1，1]故答案为：y=arcsinx，x∈[﹣1，1]13.棱长为2的正四面体ABCD（如左图），它的正视图如右图，则其侧视图面积是

.

参考答案：14.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则+++…+=

参考答案：15.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝____________.参考答案：略16.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F，则满足三角形ABF为等边三角形的椭圆的离心率是

。参考答案：若三角形为等边三角形，则有，即，所以，即，所以，所以椭圆的离心率为。17.如图，的外接圆的切线与的延长线相交于点，的平分线与相交于点，若，，则______．参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．参考答案：【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…19.目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境.我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：

A小区B小区C小区D小区E小区废纸投放量（吨）55.15.24.84.9塑料品投放量（吨）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）从A、B、C、D、E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从A、B、C、D、E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）基本事件的总数为5，随机事件中含有的基本事件的个数为2，从而可得随机事件的概率.（Ⅱ）利用超几何分布可求X的分布列及期望．【详解】解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件.由题意，有两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以.

（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有，共2个小区.的所有可能取值为0，1，2.；；.所以的分布列为:012

．【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，另外，随机变量的分布列可借助于常见分布来计算概率.20.我们知道，当两个矩阵、的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相减，所得到的矩阵称为矩阵与的差，记作.已知矩阵，满足.求下列三角比的值：（1），；（2）.参考答案：（1），……………2分因为，所以………由①②解得或

……7分由③，所以………9分（2）由最后一个方程解得，1分由同角三角比基本关系式得

或

……………3分当时，；当时，…………6分

21.已知函数f（x）=lnx﹣ax（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）如果f（x）≤0，在（0，4]上恒成立，求a的取值范围．参考答案：见解析【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）问题转化为a≥在（0，4]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1=，故f（1）=﹣1，f′（1）=0，故切线方程是：y+1=0，即y=﹣1；（II）f′（x）=﹣a=，（x＞0）①当a≤0时，由于x＞0，得：1﹣ax＞0，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），②当a＞0时，f′（x）=0，得x=，在区间（0，）上，f′（x）＞0，在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；

（III）如果f（x）≤0在（0，4]上恒成立，即a≥在（0，4]恒成立，令h（x）=，x∈（0，4]，h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令h′（x）＜0，解得：e＜x≤4，故h（x）在（0，e）递增，在（e，4]递减，故h（x）max=h（e）=，故a≥．22.（10分）【选修4-1︰几何证明选讲】如右图,AB是☉O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交☉O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F。（Ⅰ）求证:DE是☉O的切线;（Ⅱ）若,求的值。参考答案：（I）略（Ⅱ）【知识点】选修4-1

几何证明选讲N1（I）连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE．又AE⊥DE，

∴DE⊥OD．而OD为半径，∴