江西省宜春市洪塘中学2021年高三数学文联考试题含解析

江西省宜春市洪塘中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.中心在远点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为A. B.C. D.参考答案：D由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,∴-2=-×4,∴a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,∴e===.3.若实数a、b满足（）A．8

B．4

C．

D．参考答案：B略4.函数处分别取得最大值和最小值，且对于任意则

A．函数一定是周期为4的偶函数

B．函数一定是周期为2的奇函数

C．函数一定是周期为4的奇函数

D．函数一定是周期为2的偶函数参考答案：A5.函数在(0,+∞)内有且只有一个零点，则a的值为（

）A.3 B.－3 C.2 D.－2参考答案：A【分析】求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.6.为了研究性格和血型的关系，抽查80人实验，血型和性格情况如下：O型或A型者是内向型的有18人，外向型的有22人，B型或AB型是内向型的有12人，是外向型的有28人，则有多大的把握认为性格与血型有关系A．99.9℅

B．99℅

C．没有充分的证据显示有关

D．1℅参考数据：P（K2≥k0）0.50.100.0100.001k00.4552.7066.63510.828参考答案：C7.圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．x2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y+3）2=1参考答案：A【考点】J1：圆的标准方程．【分析】设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得1=，解出b，即得圆心坐标，根据半径求得圆的方程．【解答】解：设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得1=，∴b=2，故圆心为（0，2），故所求的圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选：A．8.对任意实数，直线与圆的位置关系一定是A．相离

B.相切

C.相交且不过圆心

D.相交且过圆心参考答案：C9.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设（x）是函数y=f（x）的导数，（x）是（x）的导数，若方程（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x3x2+3x，则g+g+…+g

A．2013

B．2014

C．2015

D．2016参考答案：B10.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=（A）{2}（B）{1，2，4}（C）{1，2，4，6}（D）{x∈R|－1≤x≤5}参考答案：B,选B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间.例如，当.现有如下命题：①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且④若函数有最大值，则.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．A1A2B3①③④

解析：（1）对于命题①“”即函数值域为R，“，，”表示的是函数可以在R中任意取值，

故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．∴-≤≤．例如：函数满足-2＜＜5，则有-5≤≤5，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题；

（3）对于命题③若函数，的定义域相同，且∈A，∈B，

则值域为R，∈（-∞，+∞），并且存在一个正数M，使得-≤g（x）≤．∴+∈R．则+?B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数（＞-2，）有最大值，

∴假设＞0，当→时，→0，→，∴→，则→．与题意不符；

假设＜0，当→-2时，→，→，∴→，则→．与题意不符．∴=0．

即函数=（＞-2）

当＞0时，+≥2，∴≤,即0＜≤；

当=0时，=0；

当＜0时，+≤?2，∴?≤＜0，即?≤＜0．

∴?≤≤．即．故命题④是真命题．

故答案为①③④．【思路点拨】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论12.在长方形中，，为的中点，若，则的长为

参考答案：213.双曲线的焦距是______，渐近线方程是______.参考答案：8

【分析】由双曲线方程求得a，b，c的值，则其焦距与渐近线方程可求．【详解】由题知，＝4，＝12，故＝＝16，∴双曲线的焦距为：，渐近线方程为：．故答案为：；．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．14.已知正方形的边长为1，点是边上的点，则的值为

。参考答案：1略15.若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为．参考答案：3

考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设的夹角为θ，过C作CM⊥AB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函数的定义可用θ表示AM，代入向量的数量积的定义=||||cosθ，最后结婚二倍角公式及正弦函数的性质即可求解解答：解：设的夹角为θ过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=∴AM=3sinθ，AB=6sinθ∵=||||cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3当sin2θ=1即θ=45°时取等号故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性16.函数的单调递增区间是

参考答案：17.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的方程为，曲线的参数方程为（Ⅰ）将的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点为上的动点，为上的动点，求的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）由已知得，即………3分（Ⅱ）由得，所以圆心为，半径为1．又圆心到直线的距离为,…5分所以的最大值为．…………7分19.某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B3：分层抽样方法；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图．（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率．②由题意得，ξ=0，1，2，3，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵第四组的人数为60，∴总人数为：5×60=300，由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300=30人，又为公差，∴第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，则P（A）=…..②由题意得，ξ=0，1，2，3，，，，，分布列为：ξ0123P…..20.（本小题满分14分）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50㎞，B，C间的距离为100㎞，从A到C，必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25㎞/h，再乘汽车到C，车速为50㎞/h，记∠BDA＝θ．

（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t(θ)；

（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？

参考答案：解：（1）∵AD＝，∴A到D所用时间t1＝

BD＝＝，CD＝100－BD＝100－∴D到C所用时间t2＝2－∴t(θ)＝t1＋t2＝＋2（θ0＜θ＜，其中tanθ0＝）··························6分

（2）＝＝····································8分

令＞0，得：cosθ＜

∴＜θ＜；∴当θ∈(，)时，t(θ)单调递增；

同理θ0＜θ＜，＜0，t(θ)单调递减·····················12分

∴θ＝，t(θ)取到最小值＋2；·························································13分

答：当θ＝时，由A到C的时间最少为＋2小时．·····························14分

21.已知椭圆C：+y2=1（a＞1），B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（，0），求线段AB长的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆中B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．得到b=c=1，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+y2=1（a＞1），B1，B2分别是其上、下焦点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．∴b=c=1，∴a=，∴椭圆方程为=1．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，解得y1+y2=k（x1+x2+2）=，∴AB中点Q（﹣，），QN直线方程为：=﹣（x+）=﹣，∴N（﹣，0），由已知得﹣，∴0＜2k2＜1，∴|AB|===，∵，∴|AB|∈（，2）．22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c=8，cosB=．（1）若=4，求b的值